等比数列的性质练习题
余年寄山水
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2021年01月28日 23:52
最佳经验
本文由作者推荐
交通事故处理协议书-电脑声音设置
等比数列性质
一、选择题
a
2
a< br>1
1
,
b
1
,
b
2
,< br>b
3
4
b
2
的值为
( )
1.
已知数列
1
,
a
1
,
a< br>2
,
4
成等差数列
,
成等比数列，则
1
1
1
1
1
A
、
2
B
、—
2
C
、
2
或—
2
D
、
4
2.
等比数列
5.
等比数列
{
a
n
}
中，
a
n
0 ,
a
1
,
a
99
a
a
a
为方程
x
10
x
16
0
的两根，则
20
50
80
的值为（
）
2
A
.32
B
.64
C
.256
D
.
64
a
n
的各项均为正数，且
a
5
a
6
a
4
a< br>7
＝
18
，则
log
3
a
1
log
3
a
2
L
log
3
5
log
3
a
10
＝
( )
A
．
12 B
．
10 C
．
8 D
．
2
＋
a
2
a
3
a
S
6.
n
是公 差不为
0
的等差
n
的前
n
项和，且
S
1< br>,
S
2
,
S
4
成等比数列，则
a
1
等于
（
）
A. 4 B. 6 C.8
7.
公差不为零的等差数列
a
n
的 前
n
项和为
S
n
，若
a
4
是
a< br>3
与
a
7
的等比中项，
S
10
6 0,
则
S
8
等于
2
S
2
，则公比为（
）
A
、
28 B
、
32 C
、
36 D
、
40
8.
等比数列
a
n
的前
n
项和为
S
n，若
S
4
1
1
或－
1 C.
2
或
2
或－
2
9.
已知等比数列
{an }
的公比为< br>2
，前
4
项的和是
1
，则前
8
项的和为
A
．
15 B
．
17 C
．
19 D
．
21
二、填空题
13.
设等比数列
{
15.
等比数列
{
16.
等比数列
三、解答题
a
n
}< br>的前
n
项和为
s
n
。若
a
1
1
,
s
6
4
s
3
，则
a< br>4
=
，则
{
a
n
}
的公比
q
0
,
已知
a
2
=1
，
a
n
2
a
n
1
6
a
n
a
n
}
的前
4项和
S
4
=
a
n
的前
n
项和
S
n
=
a
2
n
a
2
，则
a
n=_______.
4
1
n
1
2
S
a
2
n
n
a
n
3
3
3
，
n
1
,
2
,
3
,
17.
（
200 6
全国Ⅰ卷理）设数列
的前
n
项的和，
n
2
n3
T
n
T
i
a
1a
n
S
n
1
,
2
,
3,
2
i
1
n
（Ⅰ）求首项与通项
；
（Ⅱ）设
，
，证明：
- 1 -
4
1
2
4
1
2
3.
解
: (
Ⅰ
)
由
Sn=
an
－
×
2n+1+
, n=1,2,3
，…
,
①
得
a1=S1=
a1
－
×
4+
所以
a1=2.
3
3
3
3
3
3
4
1
2
再由①有
Sn
－
1=
an
－
1
－
×
2n +
, n=2,3
，
4,
…
3
3
3
4
1
将①和②相减得
: an=Sn
－
Sn
－
1=
(an
－
an
－
1)
－
×
(2n+1
－
2n),n=2,3,
…
3
3
整理得
: an+2n=4(an
－
1+2n
－
1),n=2,3,
…
,
因而数列
{ an+2n}
是首项为
a 1+2=4,
公比为
4
的等比数列
,
即
:
an+2n=4
×
4n
－
1= 4n, n=1,2,3,
…
,
因而
an=4n
－
2n, n=1,2,3,
…
,
4
1
2
1
(
Ⅱ
)
将
an=4n
－
2n
代入①得
Sn=
×
(4n
－
2n)
－
×
2n+1 +
=
×
(2n+1
－
1)(2n+1
－
2)
3
3
3
3
2
=
×
(2n+1
－
1)(2n
－
1)
3
2n
3
2n
3
1
1
Tn=
=
×
=
×
(
－
)
Sn
2
(2n+1
－
1)(2n
－
1)
2
2n
－
1
2n+1
－
1
所以
,
T
i
1
n
i
3
=
2
(
i
1
n
1
1
3
1
1
3
－
) =
×
(
－
) <
2i
－
1
2i+1
－
1
2
21
－
1
2i+1
－
1
2
1
2
a
,
S
n
a
n
n
n
1
,
n
1,2,
1
n
a
n
S
2
8.
（
2006
安徽理）数列
的前
n
项和为
n
，已知
（Ⅰ）写出
S
n
与
S< br>n
1
的递推关系式
n
2
< br>，并求
S
n
关于
n
的表达式；
（Ⅱ）设
f
n
x
Sn
n
1
x
,
b
n
fn
/
p
p
R
T< br>
b
n
，求数列
n
的前
n
项和< br>n
。
n
n
1
S
S< br>n
2
1
n
1
S
n< br>
n
a
n
n
n
1< br>
n
2
S
n
n< br>(
S
n
S
n
1
)
< br>n
n
1
n
1
n< br>
2
8.
解：由
得：
，即，
，…，
2
2
n
2
3
2
n
1
1
S
n
S
2
S
1
1
S
n
2
S
1
n
1
S
1
a
1
n
1
，当
n
1
时，也成立。
2
1
n
2
相加得 ：
，又
，所以
（Ⅱ）由
f
n
x
S
n
n
1
n
n
1
/
n
x
x
b
f
p
np
n
n
n
n
1
，得< br>。
n
1
n
S
S
n< br>
1
1
n
(
n
1)
S
n
n
S
n
1
n
n
1
n
n
1
而
， 所以
，对
n
2
成立。
2
2
n
1
n
S
n
S
n
1
1
T
p
2
p
2
3
p
3
L
(
n
1 )
p
n
1
np
n
n
n
1
由
n
，
pT
n
p2
2
p
3
3
p
4
L
(
n
1)
p
n
np
n
1
，
- 2 -
(1
P
)
T
n
p
p
p
L
p
2
3
n
1
p
np
n
n
1
p
(1
p
n
)
np
n
1
1
p
a
n
Sn
1
2
S
n
n
5(
n
N
*
)
a
1
5,
n
S
n
10.
（
2005
山东文）已知 数列
的首项
前
项和为
，且
（
I
）证明数列
（
II
）令
10.解：由已知
可得
a
n
1
是等比 数列；
，求函数
f
(
x
)
在点
x
1
处的导数
f
(1)
f
(
x
)
a
1
x
a
2
x
2
L
a
n
x
n
S
n
1
2
S
n
n
5(n
N
*
)
两式相减得
n
2,
S
n
2
S
n
1
n
4
S
n
1
Sn
2
S
n
S
n
1
1
从而
，即
a
n
1
2
a
n
1
a
n
1
1
2
a
n
1
，所以
当
n
1
时
,
又
S
2
2
S
1
1
5
a
2
11
a
2
a
1
2
a
1
6
a
1
5
所以
，从而
a
2
1
2
a
1
1
故总有
a
n
1
1
2(
a
n
1)
，
n
N
*
a
n
1
1
2
a
1
5,
a
1
1
0
a
1
又
，从而n
,
即数列
a
n
1
是以
a
1
1
6
为首项，
2
为公比的等比数列；
a
n
3
2
n
1
所以
（
II
）由（
I
）知
因为
从而
f
(
x
)
a
1
x
a
2
x
2
L
a
n
x
n
f
(
x
)
a
1
2
a
2
x
L
na
n
x
n
1
f
(1)
a
1
2
a
2
L
na
n
2
n
3
2
1
2
3
2
2
1
L
=
3
n
1
2
n
1
n
(3
2
n
1)
n
(
n
1)
6
2< br>.
=
3
2
2
2< br>
L
n
2
-
1< br>
2
L
n
=
例题
2 .
（
2007
年二次月考）设数列
正数且公比为
q
的等比 数列
.
（
1
）求数列
（
2
）试比较
- 3 -
a
n
的前
n
项和为
Sn
，若
S
n
是首项为
1
，各项均为
a
n
的通项公式
a
n
；
< br>a
n
a
n
2
与
2
a< br>n
1
(
n
N
)
的大 小，并证明你的结论
.
解析：
（Ⅰ）∵
∴
S
n< br>
q
n
1
(
q
0)
S
n
是各项均为正数的等比数列
.
n
2
时
,
a
n
S
n
S
n
1
(
q
1)
q
n
2
.
.
当
n=1
时，
a1=1
，
当
(
n
1)
1
a
n
n
2
(
q
1)
q
(
n< br>
2)
。
∴
（Ⅱ）当
n=1
时，
3
1
a
1
a
3
2
a
2
S
1
S
1
(
q
1)
q
2
S
1
(
q
1)
[(< br>q
)
2
]
0.
a
a
3
2
a
2
2
4
∴
1
∴当
n
2
时
,
a
n
a
n
2
2
a
n
1
S
1
(
q
1
)
q
n
2
S
1
(
q
1
)
q
n
2
S
1
(
q
1
)
q
n
1
(
q
1)
3
q
n
2
n
2
q
0,
q
0.
∵< br>①当
q=1
时，
(
q
1
)
3
0
,
a
n
a
n
2
2
a
n
1
.
0
q
1
时
,
(
q
1)
3
0
,
a
n
an
2
2
a
n
1
.②当
3
③当
q
1
时
,
(
q
1
)
0
,
a
n
a
n
2
2
a
n
1
.
综上可知：
当
n=1
时，< br>a
1
a
3
2
a
2
< br>当
若
n
2
时
,
若
q
< br>1
,
则
a
n
a
n
2< br>
2
a
n
1
;
0
q< br>
1
,
则
a
n
a
n
< br>2
2
a
n
1
;
若
q
1
,
则
a
n
a
n
2
2
a
n
1
.
点评：本题考查了等比数列的基本知识，还要注意分类讨论。
考点二：求数列的通项与求和
例题
3.
（
2007年
5
月湖北省十一校）
.
已知数列
{
a
n}
中各项为：
n
n
个
个
……
12
、
1122
、
111222
、……、
（
1
）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积
.
（
2
）求这个数列前
n
项之和
Sn .
解析：先要通过观察，找出所给的一列数的特征，求出数列的通项，进一步再求和。
11
1
4
2
4
3
1
2214
2
4
3
2
1
2
a< br>n
(10
n
1)
10
n
(10
n
1)
9
9
答案：（
1
）
10
n
1
1 0
n
1
1
n
n
)
(
1)
(10
1)
(10
2)
(
3
3
9
- 4 -
< br>10
n
1
33
14
2
4
3
3
n
记：
A =
3
,
则
A=
为整数
个
a
n
= A (A+1)
，
得证
1
1
2
Q
a
n
10
2
n
10
n
9
9
9
(2)
1
1
2
S
n
(10
2
10
4
10
2
n)
(10
10
2
10
n
)
n
9
9
9
1
( 10
2
n
2
11
10
n< br>
1
198
n
210)
891
点评：本题难点在于求出数列的通项，再将这个通项“分成”
两个相邻正数的积，解决此题需要
例题
4. (
云南省
2007
年第一次高中毕业生复习统一检测
)
已知
意正整数
n
，
S
n
是数列
{
a
n
}
的前
n
项和，并且
a
1
=1
，对任
S
n
1
4
a
n
2
； 设
b
n
a
n
1
2
a
n
(
n
1
,
2
,
3
,
）
.
（
I
）证明数列
{
b
n
}
是等比数列，并求
{
b
n
}< br>的通项公式；
C
n
（
II
）设
解析：
（
I
）
b< br>n
1
,
T
n
为数列
{
}
3
log
2
C
n
1
log
2
C
n
2
的前
n
项和，求
T
n
.
S< br>n
1
4
a
n
2
,< br>
S
n
4
a
n
1
< br>2
(
n
2
),
a
n
1
4
a
n
4
a
n
1
(
n
2
),
两式相减：
a
n
1
4
(
a
n
a
n
1
)(
n
2
),
b
n
a
n
1
2
a
n
,
b
n
1
a
n
2
2
a
n
1
4
(
a
n
1
a
n
)
2
a
n
1
,
b
n
1
2
(
a
n
1
2
a
n
)
2
b
n
(
n
N
*),
b
n
1< br>
2
,
b
n
{
b
n< br>}
是以
2
为公比的等比数列，
b
1
a
2
2
a
1
,
而
a1
a
2
4
a
1
2,
a
2
3
a
1
2
5
,
b
1
5
2
3
,
b
n
3
2n
1
(
n
N
*)
1< br>1
1
b
n
n
1
< br>,
C
n
2
,
n
n
< br>1
log
2
C
n
1
log2
C
n
2
log
2
2
l og
2
2
n
(
n
1
)
3
（
II
）
1
1
1
,
T
n
(
1
1
)
(
1
1
)
(1
1
)
(
1
1
)
1
1
.
2
2
33
4
n
n
1
n
1
而
n
(
n
1
)
n
n
1
点评：本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列
的 办法求和。
考点三：数列与不等式的联系
a
n
的通项
a
n
，第二问求和用到裂项
- 5 -