数列练习题(含答案)基础知识点
玛丽莲梦兔
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2021年01月28日 23:55
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数列基础知识点和方法归纳
S
S
nd
，
S
奇
a
n
.
1.
等差数列的定义与性质
定义：
a
n
1
a
n
d
（
d
为常数）
，
a
n
a
1
n
1
d
等差中项：
x
，
A
，
y
成等差数列
2
A
x
y
< br>前
n
项和
S
a
1
a
n
n
n
2
na
n
n
1
1
2
d
性质：
a
n
是等差数列
（
1
）若
m
n
p
q
，则a
m
a
n
a
p
aq
；
（
2
）数列
a
2
n
1
,
a
2
n
,
a
2
n
1
仍为等差数列，
S
n，
S
2
n
S
n
，
S
3n
S
2
n
……
仍为等差数列，
公差为
n
2
d
；
（
3
）若三个成等差数列，可设为< br>a
d
，
a
，
a
d
< br>（
4
）若
a
a
m
S
2
m
n
，
b
n
是等差数列，且前
n
项和分别为
S
n
，
T
n
，则
b
1
T
m
2
m
1
（
5
）
a
n
为等差数列
S
n
an
2
bn
（
a
，
b
为常数，是关于
n< br>的常数项为
0
的二次函
数）
S
n
的最值可 求二次函数
S
2
n
an
bn
的最值； 或者求出
a
n
中的正、负分界项，
即：当< br>a
0
，
d
0
，解不等式组
< br>
a
n
0
1
可得
a
S
n
达到最大值时的
n
值
.
n
1
0
当
a
d
0
，由
a
n
0
1
0
，
可得< br>
a
S
n
达到最小值时的
n
值
.
n
1
0
(6)
项数为偶数
2
n
的等差数列
a
n
，
有
S
2
n
n
(
a
1
a
2
n
)
n
(
a
2
a
2
n
1
)
n
(
a
n
a
n
1
)(
a
n
,
a
n
1
为中间两项
)
偶
奇
S
偶
a
n
1
（
7
） 项数为奇数
2
n
1
的等差数列
a
n< br>
，
有
S
2
n
1
< br>(
2
n
1
)
a
n
(
a< br>n
为中间项
)
，
S
奇
S
偶
a
S
奇
n
n
，
S
偶
n
1
.
2.
等比数列的定义与性质
定义：
a
n
1
q
（
q
为常数，
q
0
）
，< br>a
n
1
a
n
a
q
1< br>
n
.
等比中项：
x
、
G
、
y成等比数列
G
2
xy
，或
G
< br>
xy
.
前
n
项和：
S
na
1
(
q
1)
n
< br>a
1
1
q
n
（要注意！）
1
q
(
q
1)< br>性质：
a
n
是等比数列
（
1
）若
m
n
p
q
，则
a
m
·
a
n
a
p
·
a
q
（
2
）
S
n
，
S
2
n
S
n
，
S
3
n
S
2
n
……
仍为等比数列
,
公比为
q
n
.
注意
：由
S
n
求
a
n
时应注意什么？
n
1
时，
a
1
S
1< br>；
n
2
时，
a
n
S
n
S
n
1
.
3
．求数列通项公式的常用方法
（
1
）求差（商）法
如：数列
a
1< br>1
1
n
，
2
a
1
2< br>2
a
2
……
2
n
a
n
2
n
5
，求
a
n
1
解
n
1
时，
1
2
a
1
2
1
5
，∴a
1
14
①
n
2
时，
1
2
a
1
1
1
2
2
a
2
……
2
n
1
a
n
1
2
n
1
5
②
①—②得：
1
2
n
a
n
2
，∴
a
n
1
14
(
n
1)
n
2
，∴
a
n
2
n
1
(
n
2)
［练 习］数列
a
5
n
满足
S
n
S
n
1
3
a
n
1
，
a
1
4
，求
a
n
注意到
a
1
n
1
S
n
1
S
n
，代入得
S
n
S
4
又
S
1
4
，∴
S
n
是等比数列，
S
n
4
n
n
；
n
2
时，
a
n
S
n
S
n
1
……
3
·< br>4
n
1
（
2
）叠乘法
如：数列
a
a
n
n
中，< br>a
1
3
，
n
1
a
< br>1
，求
a
n
n
n
解
a
2
·
a
3
……
a
n
1
·
2
……
n
1
，∴
a
n1
3
a
1
a
2
a
n
12
3
n
a
又
a
1
3，
∴
a
n
1
n
n
.
（
3
）等差型递推公式
由
a
n
a
n
1
f
(
n
)
，
a
1
a
0
，求
a
n
，用迭加法
a
2
a
1
f
(2)
< br>n
2
时，
a
3
a
2
f
(3)
……
……
两边相加得a
n
a
1
f
(2)
f
(3)
……
f
(
n
)
a
n
a
n
1
f(
n
)
∴
a
n
a0
f
(2)
f
(3)
……
f
(
n
)
［练习］数列
an
1
a
1
n
中，
a
1< br>
1
，
a
n
3
a
n< br>
1
n
2
，求
a
n
（
n
2
3
n
1
）
（
4
）等比型递推公式
a
n
ca
n
1
d
（
c
、d
为常数，
c
0
，
c
1
，
d
0
）
可转化为等比数列，设
a
n
x
c
a
n
1
x
a
n
ca
n
1
c
1
x
令
(
c
1)
x
d
，∴
x
d
c
1
，∴
a< br>d
n
c
1
是首 项为
a
1
d
c
1
，
c
为公比的等比数列
∴
a
d
d
n
< br>1
n
c
1
< br>a
1
c
1
·
c< br>，∴
a
n
a
d
n
1
d
1
c
1
c
c
1
（
5
）倒数法
如：
a
1
1< br>，
a
2
a
n
n
1
a< br>，求
a
n
n
2
由已知得：
1< br>a
a
n
2
a
1
< br>1
，∴
1
1
1
n
1
2
n
2
a
n
a
n
1
a
n
2
∴
1
a
为等差数列，
1
1
，公差为
1
，∴< br>1
1
1
1
n
a
< br>n
1
·
2
n
< br>1
2
a
1
，
n
2
∴< br>a
2
n
n
1
(
附：
公式法、
利用
a
n
S
1
(
n
1)
S
n
S
n
1
(
n
2)
、
累加法、
累 乘法
.
构造等差或等比
a
n
1
pa< br>n
q
或
a
n
1
pa
n
f
(
n
)
、待定系数法、对数变换法、迭代法 、数学归纳法、换元法
)
4.
求数列前
n
项和的常用方法
(1)
裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项
.
如：< br>
n
a
n
是公差为
d
的等差数列，求
1
k
1
a
k
a
k
1
2
解：
由
1
a
1
a
1
1
1
d
0
k
·
a
k
1
a
k
k
d
d
a
k
a
k
1
n
∴
1
n
1
1
1
1
1
1
1
k
1
a
1
1
……
1
k
a
k
1
k
1
d
a
k
a
k
1
d
a
1
a
2
a
2
a
3
a
n
a
n
1
1
1
d
a
1
1
a
n
1
［练习］求和：
1
1
1
2
1
1
2
3
……
1
1
2
< br>3
……
n
a
……
……
，
S
1
n
n
2
n
1
（
2
）错位相减法
若
a
n
为等差数列，
b
n
为等比数列，
求数列
a
n
b
n
（差 比数列）
前
n
项和，
可由
S
n
qSn
，
求
S
n
，其中
q
为
b
n
的公比
.
如：
S
n
< br>1
2
x
3
x
2
4< br>x
3
……
nx
n
1
①
x
·
S
n
x
2
x
2
3
x
3
4
x
4
… …
n
1
x
n
1
nx
n
②
①—②
1
x
S
n
1
x
x
2
……
x
n
1
nx
n
n< br>x
1
时，
S
1
x
n
n
1
x
2
nx
1
x
，
x
1
时，
S
2
3
……
n
n
n
1
n
1
2
（
3
）倒序相加法
把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加
.
S
n
a
1
a
2
……
an
1
a
n
S
a
相加
2
S
n
a
1
< br>a
n
a
2
a
n< br>
1
…
a
1
< br>a
n
…
n
n
a
n< br>
1
……
a
2
a
1
f
(
x
)
x
2
［练习］已知
1
x
2
，则
f
(1)
f
(2)
f
1
f
(3)
f
1
2
f
(4)
f
< br>
3
1
4
< br>
2< br>由
f
(
x
)
f
1< br>
x
2
1
x
< br>x
2
1
x
1
< br>x
2
2
2
2
1< br>1
1
1
x
1< br>
x
x
∴原式
f
(1)
f
(2)
f
1
f
(3)
f
1
2
f
(4)
f
1
4
< br>
1
1
3
< br>
2
1
1
1< br>
3
2
二、等差等比数列复习题
一、
选择题
1
、
如
果
一个
数
列
既
是
等
差
数
列
，又
是
等
比
数
列
，
则
此
数列
（
）
（
A
）为常数数列
（
B
）为非零的常数数列
（
C
）存在且唯一
（
D
） 不存在
2.
、
在
等
差
数
列
a< br>n
中
，
a
1
4
,
且< br>a
1
,
a
5
,
a
13
成
等
比
数
列
，
则
a
n
的
通
项
公
式
为
（
）
（
A
）
a
n
3
n
1
（
B
）
a
n
n
3
（
C
）
a
n
3
n
1
或
a
n
4
（
D
）
a
n
n
3
或
a
n
4
3
、已知
a
,
b
,
c
成等比数列，且
x
,
y
分别为
a
与
b
、
b
与
c
的等差中项，则
a
c
x
y
的值为
（
）
（
A
）
1
2
（
B
）
2
（
C
）
2
（
D
）
不确定
4
、互不相等的三个正数
a
,
b
,
c
成等差数列，
x
是
a
,
b
的等比中项 ，
y
是
b
,
c
的等比中项，那
么
x
2
，
b
2
，
y
2
三个数（
）
（
A
）成等差数列不成等比数列
（
B
）成等比数列不成等差数列
（
C
）既成等差数列又成等比数列
（
D
）既不成等差数列，又不成等比数列
5
、
已
知
数
列
a
n
的
前
n
项
和
为
S
n
,
S
2
n
1
4
n
2
2
n
,
则
此
数
列
的
通
项
公
式
为
（
）
3