人教高中数学必修五第二章数列练习题
别妄想泡我
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2021年01月28日 23:55
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积极分子思想汇报范文-叶公好龙成语故事
数列基础知识点总结及训练
A
、
1
．概念与公式：
①等差数列：
1
°
.
定义：若数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
a
n
d
(
常数),
则
{
a
n
}
称等差数列；
2
°
.
通项公式：
a
n
a
1
< br>(
n
1
)
d
a
k
< br>(
n
k
)
d
;
3
°
.
前
n
项和公式：公式：
S
n
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
1
)
na
1
d
.
2
2
②等比数列：
1
°
.
定义若数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
，则
{< br>a
n
}
称等比数列；
2
°
.
通项公式：
q
（常数）
a
n
a
n
a
1
q
n
1
a
k
q
n
k
a
1
a
n
q
a
1
(
1
q
n
)
;
3
°
.
前
n
项和公式：
S
n
(
q
1
),
当
q=1
时
S
n
na< br>1
.
1
q
1
q
2
．简单性质：
①首尾项性质：设数列
{
a
n
}
:
a
1< br>,
a
2
,
a
3
,
,
a< br>n
,
1
°
.
若
{
a
n< br>}
是等差数列，则
a
1
a
n
a
2
a
n
1
a
3
a
n
2
;
2
°
.
若
{
a
n
}
是等比数列，则
a
1
a
n
a
2
a
n
1
a
3
a
n
2
.
②中项及性质：
1
°
.
设
a
，
A
，
b
成等差数列，则
A
称a
、
b
的等差中项，且
A
a
b< br>;
2
2
°
.
设
a
,G,
b
成等比数列，则
G
称
a
、
b
的等比中项，且G
ab
.
③设
p
、
q
、
r
、
s
为正整数，且
p
q
r
s
,
1
°
.
若
{
a
n
}
是等差数列，则
a
p
a
q
a
r
a
s
;
2
°
.
若
{
a
n
}
是等比数列，则a
p
a
q
a
r
as
;
④顺次
n
项和性质：
1
°< br>.
若
{
a
n
}
是公差为
d
的等差数 列，
则
a
k
,
k
1
n
n
k
n
1
2
n
a
,
a
k
k
2
n
1
3
n
2
n
3
n
k
组成公差为
n
2
d
的等差数列；
2
°
.
若
{
a
n
}
是公差为
q
的等比数列，
则
a
k
,
k
1
k
n
1
a
k
,
k
2
n
1
n
a
组成公差为
q
的等比数列
.
k< br>（注意：当
q
=
－
1
，
n
为偶数时这个结论 不成立）
⑤若
{
a
n
}
是等比数列，
则顺次
n
项的乘积：
a
1
a
2
a
n
,
a
n
1
a
n
2
a
2
n
,
a
2
n
1
a
2
n
2
a
3
n
组成公比这
q
n
的等比数列
.
⑥若
{
a
n
}
是公差为
d
的等差数列
,
1
2
1
°
.
若
n
为奇数，则
S< br>n
na
中
且
S
奇
S
偶
a
中
(
注
:
a
中
指中项
,
即
a
中
a
n
1
,
而
S
奇、
S
偶
指所有奇数项、
2
所有偶数项的和 ）
；
2
°
.
若
n
为偶数，则
S
偶
S
奇
nd
.
2
（二）学习要点：
1
．学习等差、等比数列，首先要正确理解与 运用基本公式，注意①公差
d
≠
0
的等差数列的通项公
式是项
n
的一次函数
a
n
=
an
+
b
;
②公差
d
≠
0
的等差数列的前
n
项和公式项数
n
的没有常数项的二次函数
S
n
=
an
2
+
bn
;
③公比
q
≠
1
的等比数列的前
n
项 公式可以写成“
S
n
=
a
(1-
q
n
)< br>的形式；诸如上述这些理解对学
习是很有帮助的
.
2
．解决等差、等 比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能
用课外的需要证明的性质 解题
.
3
．
巧设
“公差、
公比”
是解决问题的一 种重要方法，
例如：
①三数成等差数列，
可设三数为
“
a,a+m, a+2m
（或
a-m,a,a+m
）
”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq
2
(
或
a
，
a,aq
)
”③四数成等差数列，可设
q
四
数
为
“
a
,a
m
,
a
2
m
,
a
3
m
(
或
a
3
m
,a
m
,
a
m
,
a
3
m
);
”
④
四
数
成
等
比< br>数
列
，
可
设
四
数
为
“
a< br>,
aq
,
aq
2
,
aq
3
(
或
a
a
3
,
,
aq
,
aq
),
”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验
.
3
q
q
由递推公式求通项公式的方法
一、a
n
1
a
n
f
(n
)
型数列，
（其中
f
(
n
)
不是常 值函数
)
此
类
数
列
解
决
的
办
法
是
累
加
法
，
具
体
做
法
是
将
通
项
变
形
为
a
n
1
a
n
f
(
n
)
，
从
而
就
有
a
2
a
1
f
(1),
a
3
a
2
f
(2),
,
a
n
a
n
1
f
(
n
1).
f
(
n
1)
，进而求解。
将上述
n
1
个式子累加，变成
a
n
a
1
f
(1)
f
(2)
例< br>1.
在数列
{
a
n
}
中
,
a1
2,
a
n
1
a
n< br>
2
n
1,
求
a
n
.
解：依题意有
a
2
a
1
1,
a
3
a
2
3
,
逐项累加有
a
n
a
1
1
3
2
n
3
,
a
n
a
n
1
2
n
3
( 1
2
n
3)(
n
1)
< br>(
n
1)
2
n
2
2
n
1
，从而
a
n
n
2
2
n
3
。
2
二、
an
1
a
n
f
(
n)
型数列，
（其中
f
(
n
)
不是常值函数)
此
类
数
列
解
决
的
办
法< br>是
累
积
法
，
具
体
做
法
是< br>将
通
项
变
形
为
a
a
2
< br>f
(1),
3
f
(2),
a
1
a
2
a
n
f
(
n
1)
a
n
1
a
n
f
(1)
f
(2)
a
1
f
(
n< br>
1)
，进而求解。
2
a
n
1
f
(
n
)
，
从
而
就
有
a
n
,
将上述
n
1
个式子累乘，变成
1
2
n
3
例
2.
已知数列
{
a
n
}
中
a
1
,
a
n
a
n
1
(
n
2)
，求
{
a
n
}
的通项公式。
3
2
n
1
a
a
a
1
3
1
a
3
a
5
2
n
3
,
将这
n
1
个式子累乘，得到
n
解：当
n
2
时，
2
,
3
,
4
,
,
n
，
a(2
n
1)(2
n
1)
a
15
a
2
7
a
3
9
a
n
1
2
n
1
1
1
3
11
1
1
1
2
从而
a
n< br>
，当
n
1
时，
2
。
a
1
，所以
a
n
2
(2< br>n
1)(2
n
1)
3
4
n
1
4
n
1
3
4
n
1
三、
a
n
1
pa
n
q
型数列
此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比 数列的性质进行求解，构造的办
a
pa
n
pm
m
法有两种，一是待定系数法构造，设
a
n
1
m
p
(
a
n
m
)
，展开整理
n
1
，比较系数有
pm
m
b
，所以
m
b
，所以
a
b
是等比数列，公比为
p
，首项为
a
b
。二是用作 差法直
1
n
p
1
p
1
p
1
接构造，
a
n
1
pa
n
q
,
a
n
pa
n
1
q
，两式相减有
a
n
1
a
n
p
(
a
n
a
n
1
)
，所以
a
n
1
a
n
是公比为
p
的等
比数列。
例
3. < br>在数列
{
a
n
}
中，
a
1
1
，当
n
2
时，有
a
n
3
a
n
1
2
，求
{
a
n
}
的通项公式。
解法
1
：设
a
n
m
3(
a
n
1
m< br>)
，即有
a
n
3
a
n
1
2
m
a
1
3
对比
a
n
3
a
n
1
2
，得
m
1
，于是得
a
n
1
3(
a
n
1
1)
，即
n
a
n
1
1
所以数列
{
a
n
1
}
是以
a
1
1
2
为首项，以
3
为公比的等比数列
则
a
n
2
3
n
1
1
。
解法
2
：由已知递推式，得
a
n
1
3
a
n
2,
a
n
3
a
n
1
2,(
n
2)
，
a
a
上述两式相减，得
a
n
1
a
n
3(
an
a
n
1
)
，即
n
< br>1
n
3
a
n
a
n< br>
1
因此，数列
{
a
n
1
a
n
}
是以
a
2
a
1
< br>4
为首项，以
3
为公比的等比数列。所以
a
n
1
a
n
4
3
n
1
，即
3
a
n
2
a
n< br>
4
3
n
1
，所以
a
n
2
3
n
1
1
。
四、
a
n
1
pa
n
f
n
型数列（
p
为常数）
< br>此类数列可变形为
a
n
a
n
1
a
n
f
n
，则
n
可用累加法求出，由此求得
a
n
.
n< br>
1
n
n
1
p
p
p
< br>p
例
4
已知数列
a
n
满足
a
1
1,
a
n
1
< br>3
a
n
2
n
1
,
求< br>a
n
.
解
:
将
已
知递
推
式
两
边
同
除
以
2
n
1
得
5
3
n
1
bn
2
,
从而
a
n
5< br>
3
n
1
2
n
1< br>.
n
2
a
n
1
3
a
n
a
n
3
1
b
b
2
(
b
n
2)
，
,
设
,
故
有
n
n
1
2
n
1
2
2
n
2
n
2
1
例
5
．已知数列
a
n
满足
a
1
1,
当
n
2
时
,
a
n
a
n
1
2
n
1,
求
a
n
.
2
解
:作
b
n
a
n
An
B< br>,
则
a
n
b
n
An
B
,
a
n
1
b
n
1
A
(
n
1)
B
代
入
已
知
递
推
式
中
1
1
1
1
得
:
b
n
b
n
1
(
A
2)
n
(
A
B
1)
.
2
2
2
2
3
1
A
2
0
A
4
1
令
2
这时
b
n
b
n
1< br>且
b
n
a
n
4
n
< br>6
2
1
A
1< br>B
1
0
B
6
< br>
2
2
显然
,
b
n
五、
a
n
3
3
,
所以
a
4
n
6
.
n
2
n
12
n
1
Aa
n
型数列（
A
,
B
,
C
为非零常数）
Ba
n
C这种类型的解法是将式子两边同时取倒数
,
把数列的倒数看成是一个新数列
,便可顺利地转化为
a
n
1
pa
n
q
型数列。
例
6
．已知数列
an
满足
a
1
2,
a
n
1
2
a
n
,
求
a
n
.
a
n
2
解
:
两边取倒数得
:
1
1
1
1
1
1
n
2
,
所以
(
n
1)
，故有
a
n
。
a
n
1< br>a
n
2
a
n
a
1
2
2
n< br>六、
a
n
2
pa
n
1
qa
n
型数列（
p
,
q
为常数）
这种类型的做法是用待定糸数法设
a
n
2
a
n
1
a
n
1
a
n
构造等比数列。
例
7
．数列
a
n
中，
a
1
2
,
a
2
3
,
且
2
a
n
a
n
1
a
n
1
n
N
,
n
2
，求
a
n
.
C
、求数列前
n
项和
一
.
公式法
:
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本
最重要的方法。
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
1
)
;
< br>na
1
d
2
2
(
q
1
)
na
1
等比：
S
n
a
1
(
1
q
n
)
a1
a
n
q
;
(
q
< br>1
)
1
q
1
q< br>(2)
1
2
2
2
3
2
n
2
n
(
n
1
)(
2
n
1
)
;
6
(1)
等差：
S
n
1
3
2
3
3
3
n
3
[
n
(
n
1
)
2
]
2
4