成都美食图片-庞然大物什么意思

2021年1月29日发(作者：安和桥北)
数列知识总结


S
1
(
n

1
)
①
S
n

a
1

a
2



a
n
；

②
a
n


.
S

S
(
n

2
)
n

1

n

等差数列

1.
等差数列的概念

如果一个数列从第二项起 ，
每一项与它前一项的差等于同一个常数
d
，
这个数列叫做等差数列，
常数
d
称为等差数列的公差
.
2.
通项公式与前
n
项和公式

⑴通项公式
a
n< br>
a
1

(
n

1
)
d< br>，
a
1
为首项，
d
为公差
.
⑵前
n
项和公式
S
n

n
(
a
1
< br>a
n
)
1
或
S
n

na
1

n
(
n

1
)
d
.
2
2
3.
等差中项

如果
a
,
A
,
b
成等差数列，那么
A
叫做
a
与
b的等差中项
.
即：
A
是
a
与
b
的等 差中项

2
A

a

b

a，
A
，
b
成等差数列
.
4.
等差数列的判定方法

⑴定义法：
a
n
1

a
n

d
（
n

N
，
d
是常数）


a
n

是等差数列；

⑵中项法：
2
a
n

1

a
n

a
n

2
(
n

N

)


a
n

是等差数列< br>.
5.
等差数列的常用性质

⑴数列

a
n

是等差数列，则数列

a
n

p
< br>、

pa
n

（
p
是常数）都是等差数列；

⑵在等差数列

a
n

中，等距离取出若干项也 构成一个等差数列，即
a
n
,
a
n

k
,
a
n

2
k
,
a
n

3
k
,

为等差
数列，公差为
kd
.
⑶< br>a
n

a
m

(
n

m< br>)
d
；
a
n

an

b
(
a
,
b
是常数
)
；
S
n

an
2

bn
(
a
,
b
是常数，
a

0
)
⑷若
m

n

p< br>
q
(
m
,
n
,
p
,
q< br>
N

)
，则
a
m

a
n

a
p

a
q
；


S

⑸若等差数列

a
n

的前
n
项和
S
n
，则

n

是等差数列；

n

S
a
⑹当项数为
2
n
(
n

N

)
，则
S
偶

S奇

nd
,
偶

n

1
；< br>
S
奇
a
n
S
偶
n

1

当项数为
2
n

1
(
n

N
)
，则
S
奇

S
偶

a< br>n
,
.

S
奇
n
等比数列

1.
等比数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于 同一个常数
q
(
q

0
)
，这个数列叫做等
比数

列，常数
q
称为等比数列的公比
.
2.
通项公式与前
n
项和公式

⑴通项公式：
a
n

a
1
q
n

1
，
a
1
为首项，
q
为公比
.
⑵前
n
项和公式：①当< br>q

1
时，
S
n

na
1

a
1
(
1

q
n
)
a
1

a
n
q
②当
q

1
时，
S
n

.

1

q
1
q
3.
等比中项

如果
a
,
G
,b
成等比数列，那么
G
叫做
a
与
b
的等比中项
.
即：
G
是
a
与
b
的等差中项

a
，
A
，
b
成等差数列

G
2

a

b
.
4.
等比数列的判定方法

a
⑴定义法：
n

1

q
（
n< br>
N

，
q

0
是常数）


a
n

是等比数列；

a
n
⑵中项法 ：
a
n

1

a
n

a
n

2
(
n

N

)
且
a
n

0


a
n

是等比数列
.
2
5.
等比数列的常用性质

⑴数列

a
n

是等比数列，则数列

pa
n

、

pa
n

（
q

0
是常数） 都是等比数列；

⑵在等比数列

a
n

中，等距 离取出若干项也构成一个等比数列，即
a
n
,
a
n

k
,
a
n

2
k
,
a
n

3
k
,

为等比
数列，公比为
q
k< br>.
⑶
a
n

a
n

m
m

q
(
n
,
m

N

)

⑷若
m

n

p

q
(
m
,
n
,
p
,
q

N

)
，则
a
m

a
n

a
p

a
q
；

⑸若等比数列

a
n

的前
n
项和
S
n
，则
S
k
、
S
2
k

S
k
、
S
3
k

S
2
k
、
S
4
k

S
3
k
是等比数列
.
求前
n
项和
S
n


一


裂项相消法：































二、分组求和

1
1

2

1
2

3

1
3

4

L

1
（
n
n

1
）

1
1
1
1
(
1
1

1
1
2
)

(
1
2

1
3
)

(
1
3

1
4
)

L

(
1
1
3
,2
9
,3
27
,4
81
,
L
的前
n
和是：n

n

1
)
、
（+
1
2< br>+
3
+
4
+
L
）+
（
1
1
1
1


1
1
n
3
+
9
+
27
+
81

L
）
1

n

1

n

1
三


错位相减法：凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法，


求：

S
n
=x

3x
2
5x
3

L

(2n-5)x
n-2

(2n-3)x
n-1

(2n-1)x
n
(x
1)
S
n-2
n
=x

3x
2
5x
3

L

(2n-5)x

(2n-3) x
n-1

(2n-1)x
n
(x

1)
①

xS
n
=x
2

3x
3

5x
4
L

(2n-5)xn-1

(2n-3)x
n

(2n-1)x
n+1< br> (x

1)
②

①减②得：

(1

x)S
3
n+1
n
=x


2x2

2x

L

2x
n-1

2x
n



2n

1

x< br>2

x

2x

1

x
n -1

1

x


2n

1
x
n+1


从而求出
S
n
。


错位相减法的步骤：

(1)
将要求和的杂数列前后各写出三项，列出①式



(2)
将①式左右两边都乘以公比
q
，得到②式



(3)
用①

②，错位相减








































数列

1
．
{
a
n
}
是首项
a
1
＝1
，公差为
d
＝
3
的等差数列，如果
a
n＝
2 005
，则序号
n
等于
(





)
．
A
．
667



B
．
668


C
．
669


D
．
670
2
．在各项都为正数的等比数列
{
a
n
}
中，首项
a
1
＝
3
，前三项和为
21
，则
a
3< br>＋
a
4
＋
a
5
＝
(




)
．



A
．
33



B
．
72



C
．
84



D
．
189
3
．如果
a
1
，
a
2
，…，
a
8
为各项都大于零的等差数列，公差
d
≠
0
，则
(





)
．


A
．
a
1
a
8
＞
a
4
a
5

B
．
a
1
a
8
＜
a
4
a
5


C
．
a
1
＋
a
8
＜
a
4
＋
a
5

D
．
a
1
a
8
＝
a
4
a
5

1
4
4
．已知方程
(
x
2
－
2
x
＋
m
)(
x
2
－
2
x
＋
n
)
＝
0
的四个根组成一个首项为
的等差数列，则

｜
m
－
n
｜等于
(





)
．

A
．
1



B
．


3
4


C
．


1
2


D
．


3

8
5
．等比数列< br>{
a
n
}
中，
a
2
＝
9
，
a
5
＝
243
，则
{
a
n
}的前
4
项和为
(





).

A
．
81













B
．
120













C
．
168













D
．
192
6
．若数列
{
a
n
}
是等差数列，首项
a
1
＞
0
，
a
2
003
＋
a
2
004
＞
0
，
a
2
003
·
a
2
004
＜
0
，则使前n
项和
S
n
＞
0
成立的最大自然数
n
是
(





)
．

A
．
4 005



B
．
4 006



C
．
4 007



D
．
4 008

7
．已知等差数列
{
a
n
}
的公差为
2
，若
a
1
，
a
3
，
a
4
成等比数列
,
则
a
2
＝
(





)
．

A
．－
4



B
．－
6


C
．－
8


D
．

－
10
a
5
S
5
＝
，则
9
＝
(





)
．

a
3
S
5
9
8
．设
S
n
是等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和，若
A
．
1



B
．－
1


C
．
2



D
．

a
2

a
1
的值
b
2
1
2
9
．已知数列－
1
，
a
1
，
a
2
，－
4
成等差数列，－
1
，
b
1
，
b< br>2
，
b
3
，－
4
成等比数列，则
是
(





)
．

A
．


1
2


B
．－

1
2



C
．－
或


1
2
1
2

D
．

1
4
10
．在等差数列
{
a
n
}
中，
a
n
≠
0
，
a
n
－
1
－
a
n
2
＋
a
n
＋
1
＝
0
(
n
≥
2
)
，若S
2
n
－
1
＝
38
，则
n
＝
(





)
．

A
．
38



1
2

2
x
B
．
20



C
．
10



D
．
9
11
．设
f
(
x
)＝
，利用课本中推导等差数列前
n
项和公式的方法，可求得
f
(
－
5
)
＋
f
(
－
4
)
＋ …＋
f
(0)
＋…＋
f
(
5
)
＋
f
(
6
)
的值为





















.
12
．已知等 比数列
{
a
n
}
中，
(
1
)
若< br>a
3
·
a
4
·
a
5
＝
8< br>，则
a
2
·
a
3
·
a
4
·
a
5
·
a
6
＝
















．

(
2
)
若
a
1
＋
a
2
＝
324
，
a
3
＋
a
4
＝
36
，则
a
5
＋
a
6< br>＝
















．

(
3
)
若
S
4
＝
2
，
S
8
＝
6
，则
a
17
＋
a
18
＋a
19
＋
a
20
＝


















.
13
．在
和
83
27
之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为




．

2
14
．在等差数列
{
a
n
}
中，
3
(
a
3
＋
a
5
)
＋
2
(
a
7
＋
a
10
＋
a
13
)
＝
24
，则此数列前
1 3
项之和为





.
15
．在等差数列
{
a
n
}
中，
a
5
＝
3
，
a
6
＝－
2
，则
a
4
＋< br>a
5
＋…＋
a
10
＝














.
16
．设平面内有
n
条直线
(
n< br>≥
3
)
，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一

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