数列专项典型练习题及解析答案
余年寄山水
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2021年01月29日 00:01
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本文由作者推荐
高中英语手抄报-聚拢的意思
数列练习及答案
一．选择题（共
11
小题）
*
1
．已知函数f
（
x
）
=
（
a
＞
0
，a
≠
1
）
，数列
{a
n
}
满足
a
n
=f
（
n
）
（
n
∈
N）
，且
{a
n
}
是单调递增
数列，则实数
a< br>的取值范围（
）
A
．
[
7
，
8
）
B
．
（
1
，
8
）
C
．
（
4
，
8
）
D
．
（
4
，
7
）
2
． 设
{a
n
}
的首项为
a
1
，公差为﹣
1< br>的等差数列，
S
n
为其前
n
项和，若
S
1< br>，
S
2
，
S
4
成等比数列，则
a
1
=
（
A
．
2
B
．
﹣
2
C
．
D
．
﹣
3
．设
S
n
是等差数列
{a
n
}
的前
n
项和，若
，则
=
（
）
A
．
1
B
．
﹣
1
C
．
2
D
．
4
．阅读图的程序框图，该程序运行后输出的
k
的值为（
）
A
．
5
B
．
6
C
．
7
D
．
8
5
．设
S
n
为等比数列
{a
n
}
的前
n
项和，< br>8a
2
+a
5
=0
，则
等于（
）
A
．
1
1
B
．
5
C
．
﹣
8
D
．
﹣
11
6
．数列< br>{a
n
}
满足
a
1
=2
，
a
n
=
，其前
n
项积为
T
n
，则
T
2014
=
（
）
A
．
B
．
﹣
C
．
6
D
．
﹣
6
7
．已知数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，满足
a
n+2
=2a
n+ 1
﹣
a
n
，
a
6
=4
﹣
a
4
，则
S
9
=
（
）
A
．
9
B
．
1
2
C
．
1
4
D
．
1
8
）
8
．已知
S
n
为等差数 列
{a
n
}
的前
n
项和，
S
7
= 28
，
S
11
=66
，则
S
9
的值为（< br>
）
4
7
4
5
3
8
A
．
B
．
C
．
9
．在等比数列
{a
n
}
中，
，则
a
3
=
（
）
3
D
．
5
4
D
．
±
9
±
3
9
A
．
B
．
C
．
10
．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出
s
的值为（
）
8
A
．
1
8
B
．
2
6
C
．
8
0
D
．
11
．在等差数列
{a
n
}
中，
4
（
a
3
+a
4
+a
5
）
+3
（
a
6
+a
8
+a
14
+a
16
）
=36
，那么该数列的前
14
项和为（
）
2
0
2
1
4
2
8
4
A
．
B
．
C
．
D
．
二．填空题（共
7
小题）
12
．
设
{a
n
}
是首项为
a
1
，
公差为﹣
1
的等差数列，
S
n
为其前
n
项和，
若
S
1
，
S
2
，
S
4
成等比数列，
则
a
1
的值为
_________
．
13
．某公司推出了下表所示的
在线等级制度，设等级为n
级需要的天数为
a
n
（
n
∈
N
）< br>，
等级
等级图标
需要天数
等级
等级图标
需要天数
1
5
7
77
2
12
8
96
3
21
12
192
4
32
16
320
5
45
32
1152
6
60
48
2496
则等级为
50
级需要的天数
a
50
=
_________
．
14
．数 列
{a
n
}
为等比数列，
a
2
+a
3=1
，
a
3
+a
4
=
﹣
2
， 则
a
5
+a
6
+a
7
=
_________
．
15
．已 知数列
{a
n
}
中，
a
n+1
=2a
n< br>，
a
3
=8
，则数列
{log
2
a
n
}
的前
n
项和等于
_________
．
16
．已知数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，并满足
a
n+2< br>=2a
n+1
﹣
a
n
，
a
6
=4< br>﹣
a
4
，则
S
9
=
_________
．
17
．记 等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n，已知
a
2
+a
4
=6
，
S
4
=10
．则
a
10
=
_________
．
*
18
．设
S
n
是等比数列
{a
n
}
的前
n
项和，
S
3
，
S
9
，
S
6
成等差数列， 且
a
2
+a
5
=2a
m
，则
m=
_________
．
三．解答题（共
12
小题）
19
．设
{a
n
}
是等差数列，
{b
n
}
是各项都为正数的等比数列， 且
a
1
=b
1
=1
，
a
3
+b< br>5
=21
，
a
5
+b
3
=13
（ Ⅰ）求
{a
n
}
、
{b
n
}
的通项公式；
（Ⅱ）求数列
20
．已知数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n=
﹣
a
n
﹣
+2
（
n
∈
N< br>）
，数列
{b
n
}
满足
b
n
=2< br>a
n
．
*
n
的前
n
项和
S
n
．
（
1
）求证数列
{b
n
}
是等差数列，并求数列
{a
n
}
的通项公式；
（
2
）设数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
T
n
，证明 ：
n
∈
N
且
n
≥
3
时，
T
n
＞
n
n
﹣
1
*
*
；
*
（
3
）设数列
{c
n
}
满足
a
n
（
c
n
﹣
3
）
=
（﹣
1）
都有
c
n+1
＞
c
n
．
λ
n
（
λ
为非零常数，
n
∈
N
）
，问是否存在 整数
λ
，使得对任意
n
∈
N
，
21
．在等差数列
{a
n
}
中，
a
1
=3
，
其前
n
项和为
S
n
，
等比数列
{b
n
}
的各项均为正数，
b
1
=1
，
公比为
q
，
且
b
2
+S
2
=12
，
（ Ⅰ）求
a
n
与
b
n
；
（Ⅱ）设
c
n
=a
n
•
b
n
，求数列
{c
n
}
的前
n
项和
T
n
．
．
22
．已知等差数列
{a
n
}
满足< br>a
3
+a
4
=9
，
a
2
+a
6
=10
；又数列
{b
n
}
满足
nb
1
+
（
n
﹣
1
）
b
2
+
…
+2b
n
﹣
1
+b
n
=S
n
，其 中
S
n
是首项
为
1
，公比为
的等比数列的前
n
项和．
（
1
）求
a
n
的表达式；
（
2
）若
c
n
=
﹣
a
n
b
n
，试问数列
{c
n
}
中是否存在整数
k
，使得对任意的正整 数
n
都有
c
n
≤
c
k
成立？并证明你的结 论．
23
．已知等比数列
{a
n
}中，
a
1
=
，公比
q=
．
（Ⅰ）< br>S
n
为
{a
n
}
的前
n
项和，证明 ：
S
n
=
（Ⅱ）设
b
n
=log
3
a
1
+log
3
a
2
+
…
+ log
3
a
n
，求数列
{b
n
}
的通项公 式．
24
．已知等差数列
{a
n
}
的前< br>n
项和为
s
n
=pm
﹣
2n+q
（
p
，
q
∈
R
）
，
n
∈
N
（
I
）求
q
的值；
（Ⅱ）若
a
3
=8
，数列
{b
n
}}
满足
a
n
=4log
2
b
n
，求数列
{b
n
}
的 前
n
项和．
25
．已知数列
{a
n
}
（
n
∈
N
）是等比数列，且
a
n＞
0
，
a
1
=3
，
a
3
=2 7
．
（
1
）求数列
{a
n
}
的 通项公式
a
n
和前项和
S
n
；
（
2
）设
b
n
=2log
3
a
n
+1，求数列
{b
n
}
的前项和
T
n
．
*
2
*
26
．已知等差数列
{a
n
}
的前
n
项 和为
S
n
，
a
2
=9
，
S
5=65
．
（
I
）求
{a
n
}
的通项公式：
（
II
）令
27
．已知等比数列
{a
n
}
满足
a
2
=2
，且
2a
3
+a
4
=a
5
，
a
n
＞
0< br>．
（
1
）求数列
{a
n
}
的通项公式；
< br>n
（
2
）设
b
n
=
（﹣
1
）
3a
n
+2n+1
，数列
{b
n
}
的前 项和为
T
n
，求
T
n
．
28
．已知等比数列
{a
n
}
的公比为
q
，前
n
项的和为
S
n
，且
S
3
，
S
9
，
S
6
成等差数列．
3
（
1
）求
q
的值；
（
2）求证：
a
2
，
a
8
，
a
5
成等差数列．
29
．已知
S
n
是等比 数列
{a
n
}
的前
n
项和，
（
I
）求
a
n
；
（
II
）若
，求数列
{b
n
}< br>的前
n
项和
T
n
．
，
．
，求数列
{b
n
}
的前
n
项和
T
n
．
30
．已知< br>{a
n
}
是等差数列，其前
n
项和为
S
n< br>，已知
a
2
=8
，
S
10
=185
．
（
1
）求数列
{a
n
}
的通项公式；
< br>（
2
）设
a
n
=log
2
b
n（
n=1
，
2
，
3
…
）
，证明
{b
n
}
是等比数列，并求数列
{b
n
}
的前< br>n
项和
T
n
．
高一数列专项典型练习题
参考答案与试题解析
一．选择题（共
11
小题）
*
1
．< br>（
2014
•
天津模拟）已知函数
f
（
x
）
=
（
a
＞
0
，
a
≠
1
）
，数列
{a
n
}
满足
a
n
=f
（
n
）
（
n
∈
N
）
，
且
{ a
n
}
是单调递增数列，则实数
a
的取值范围（
）
A
．
[
7
，
8
）
B
．
（
1
，
8
）
C
．
（
4
，
8
）
考点
：
数列的函数特性．
专题
：
等差数列与等比数列．
分析：
利用一次函数和指数函数的单调性即可得出．
解答：
解：∵
{a
n
}
是单调递增数列，
D
．
（
4
，
7
）
∴
，
解得
7
≤
a
＜
8
．
故选：
A
．
点评：
本题考查了分段函数的意义、一次函数和指数函数的单调性，属于中档题．
2
．
（
2014
•
天津）设
{a
n
}
的首项为
a
1
，公差为﹣
1
的等差数列，< br>S
n
为其前
n
项和，若
S
1
，
S< br>2
，
S
4
成等比数列，则
a
1
=
（
）
2
A
．
B
．
﹣
2
C
．
D
．
﹣
考点
：
等比数列的性质；等差数列的性质．
专题
：
等差数列与等比数列．
分析：
由等差数列的前
n
项和求出
S
1
，
S
2
，
S
4
， 然后再由
S
1
，
S
2
，
S
4
成等 比数列列式求解
a
1
．
解答：
解：∵
{a
n
}
是首项为
a
1
，公差为﹣
1
的等 差数列，
S
n
为其前
n
项和，
∴
S1
=a
1
，
S
2
=2a
1
﹣
1
，
S
4
=4a
1
﹣
6
，
由
S
1
，
S
2
，
S
4
成等比 数列，得：
即
，解得：
，
．
故选：
D
．
点评：
本题考查等差数列的前n
项和公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．
3
．
（
2014
•
河南一模）设
S
n
是等 差数列
{a
n
}
的前
n
项和，若
1
A
．
B
．
﹣
1
2
C
．
，则
=
（
）
D
．
考点
：
等差数列的前
n
项和．
分析：
由等差数列的求和公式和性质可得
=
，代入已知可得．
解答：
解：由题意可得
=
=
=
=1
故选
A
点评：
本题考查等差数列的求和公式，涉及等差数列的性质，属基础题．
4
．
（
2014
•
河东区一模）阅读图的程序框图，该程序运行 后输出的
k
的值为（
）
5
6
7
8
A
．
B
．
C
．
D
．
考点
：
等比数列的前
n
项和；循环结构．
专题
：
计算题．
分析：
分析程序中各变量、
各语句的作用，< br>再根据流程图所示的顺序，
可知：
该程序的作用是利用循环计算变量
s
，
k
的值，最后输出
k
的值，列举出循环的各个情况，不难得到输出结果．
解答：
解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：
循环前：
k=0
，< br>s=0
，每次循环
s
，
k
的值及是否循环分别如下
第一圈：
S=2
°
＜
100
，
k=1
；是
1
第二圈：
S=2
°
+2
＜
100，
k=2
；是
1
2
第三圈：
S=2
°
+2
+2
＜
100
，
k=3
；是
1
2
3
第四圈：
S=2
°
+2
+2
+ 2
＜
100
，
k=4
；是
1
2
3
4
第五圈：
S=2
°
+2
+2
+2
+2
＜
100
，
k=5
；是
1
2
3
4
5
第六圈：
S=2
°
+2
+2
+2+2
+2
＜
100
，
k=6
：是
1
2
3
4
5
6
第七圈：
S=2
°
+ 2
+2
+2
+2
+2
+2
＞
100
，k=6
：否
满足
S
＞
100
，退出循环，此 时
k
值为
7
故选
C
点评：
本小题主 要考查循环结构、等比数列等基础知识．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这
一模块最重要的题型，
5
．
（< br>2014
•
河西区三模）设
S
n
为等比数列
{an
}
的前
n
项和，
8a
2
+a
5=0
，则
1
1
5
A
．
B
．
C
．
﹣
8
考点
：
等比数列的性质．
专题
：
等差数列与等比数列．
分析：
由题意可得数列的公比
q
，代入求和公式化简可得．
解答：
解：设等比数列
{a
n
}
的公比为
q
，
（
q
≠
0
）
4
由题意可 得
8a
2
+a
5
=8a
1
q+a
1
q
=0
，解得
q=
﹣
2
，
等于（
）
D
．
﹣
11
故
=
=
=
=
﹣
11
故选
D
点评：
本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的求和公式，属中档题．
6
．
（
2014
•
河西区二模）数列
{a
n< br>}
满足
a
1
=2
，
a
n
=
A
．
考点
：
数列递推式．
专题
：
计算题；点列、递归数列与数学归纳法．
分析：
根据数列
{a
n
}
满足
a
1
=2
，
a
n
=
，可得数列
{a
n
}
是周期为
4
的周期 数列，且
a
1
a
2
a
3
a
4
=1
，即可得出结
，其前
n
项积为
T
n
，则
T
2014
=
（
）
6
C
．
D
．
﹣
6
B
．
﹣
论．
解答：
解：∵
a
n
=
，
∴
a
n+1
=
，
∵
a
1
=2
，∴
a
2
=
﹣
3
，
a
3< br>=
﹣
，
a
4
=
，
a
5
=2
，
…
，
∴数列
{a
n
}
是周期 为
4
的周期数列，且
a
1
a
2
a
3
a
4
=1
，
∵
2014=4
×
503+2
，
∴
T
2014
=
﹣
6
．
故选：
D
．
点评：
本题考查数列递推式，考查 学生分析解决问题的能力，确定数列
{a
n
}
是周期为
4
的 周期数列，且
a
1
a
2
a
3
a
4
=1
是关键．
7
．
（
2014•
河西区一模）已知数列
{a
n
}
的前
n
项和 为
S
n
，满足
a
n+2
=2a
n+1
﹣< br>a
n
，
a
6
=4
﹣
a
4
， 则
S
9
=
（
）
9
1
2
1
4
1
8
A
．
B
．
C
．
D
．
考点
：
数列递推式．
专题
：
点列、递归数列与数学归纳法．
分析：
直接由数列递推式得到数 列为等差数列，再由等差数列的性质结合
a
6
=4
﹣
a
4< br>得到
a
5
的值，然后直接代入前
n
项和得答案．
解答：
解：∵
a
n+2
=2a
n+1
﹣
a
n
，
∴
2a
n+1
=a
n
+a
n+2
∴数列
{a
n
}
是等差数列．
又
a
6
=4
﹣
a
4
，
∴
a
4
+a
6
=4
，
由等差数 列的性质知：
2a
5
=a
4
+a
6
=4
，
得
a
5
=2
．
∴
S
9
=9a
5
=9
×
2=18
．
故选：
D
．
点评：
本题考查数列递推式，考查 了等差关系得确定，考查了等差数列的性质及前
n
项和，是中档题．
8
．
（
2013
•
南开区一模）已知
S
n
为等差数列
{a
n
}
的前
n
项和，S
7
=28
，
S
11
=66
，则
S< br>9
的值为（
）
4
7
4
5
3
8
5
4
A
．
B
．
C
．
D
．
考点
：
等差数列的前
n
项和．
专题
：
等差数列与等比数列．
分析：
设公差为
d
，利 用等差数列前
n
项和列关于
a
1
、
d
的方程组，解 出
a
1
，
d
，再用前
n
项和公式可得
S< br>9
的值．
解答：
解：设公差为
d
，
由
S
7
=28
，
S
11
=66
得，
，即
，解得
，
所以
S
9
=9
×
1
=45
．
故选
B
．
点评：
本题考查等差数列的前
n
项和公式，考查方程思想，考查学生的运算能力，属基础题．
9
．
（
2013
•
天津一模）在等比数列
{a
n
}
中，
±
9
9
A
．
B
．
考点
：
等比数列的前
n
项和；等比数列的性质．
专题
：
等差数列与等比数列．
分析：
设出公比，利用条件，可得
，则
a
3
=
（
）
±
3
C
．
3
D
．
=27
，
=3
，两式相除，可得
结论．
解答：
解：设等比数列
{a
n
}
的公比为
q
，则
∵
，
∴
=27
，
=3
两式相除，可得
∴
a
3
=
±
3
故选
C
．
点评：
本题考查等比数列的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．
10
．
（
2012
•
天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序 ，则输出
s
的值为（
）
8
1
8
2
6
8
0
A
．
B
．
C
．
D
．
考点
：
数列的求和；循环结构．
专题
：
计算题．
分析：
根据框图可求得
S
1
=2
，
S< br>2
=8
，
S
3
=26
，执行完后
n
已为
4
，故可得答案．
1
0
解答：
解 ：由程序框图可知，当
n=1
，
S=0
时，
S
1
= 0+3
﹣
3
=2
；
同理可求
n=2
，< br>S
1
=2
时，
S
2
=8
；
n=3
，
S
2
=8
时，
S
3
=26；执行完后
n
已为
4
，
故输出的结果为
26
．
故选
C
．
点评：
本题考查数列的求和，看懂框图循环结构的含义是关键，考查学生推理、运算 的能力，属于基础题．
11
．
（
2012< br>•
天津模拟）
在等差数列
{a
n
}
中，
4< br>（
a
3
+a
4
+a
5
）
+3
（
a
6
+a
8
+a
14
+a
16
）
=36
，
那么该数列的前
14
项和为
（
）
2
0
2
1
4
2
8
4
A
．
B
．
C
．
D
．
考点
：
等差数列的性质；等差数列的前
n
项和．
专题
：
计算题．
分析：
由数列为等差数列，
利用等差数列的性 质得到
a
3
+a
5
=2a
4
，
a
8
+a
14
=a
6
+a
16
=2a
11< br>，
化简已知的等式，
可得出
a
4
+a
11
的 值，
再根据等差数列的性质得到
a
1
+a
14
=a
4
+a
11
，
由
a
4
+a
11
的 值得到
a
1
+a
14
的值，
然后利用等差数列的前
n
项和公式表示出该数列的前
14
项之和，将
a
1
+a14
的值代入即可求出值．
解答：
解：∵数列
{a
n
}
为等差数列，
∴
a
3
+a
5
=2a
4
，
a
8
+a< br>14
=a
6
+a
16
=2a
11
，
又
4
（
a
3
+a
4
+a
5
）
+3
（
a
6
+a
8
+a
14
+a
16
）
=36
，
∴
12a
4
+12a
11
=36
，即
a
4
+a
11
=3
，
∵
a
1
+a
14
=a
4
+a
11
=3
，
则该数列的前
14
项和
S
14
=
=21
．