等比数列基础习题选附详细解答
别妄想泡我
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2021年01月29日 00:05
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野百合也有春天简谱-观察动物日记
等比数列基础习题选（附详细解答）
一．选择题（共
27
小题）
1
．已知
{a
n
}
是等比数列，
a
2
=2
，
a
5=
，则公比
q=
（
）
A
．
B
．
﹣
2
C
．
2
D
．
2
．在等比数列
{a
n
}
中，
a
1
=1，
a
10
=3
，则
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
a
8
a
9
=
（
）
A
．
8
1
B
．
2
7
C
．
D
．
2
43
3
．如果﹣
1
，
a
，
b
，
c
，﹣
9
成等比数列，那么（
）
A
．
b
=3
，
ac=9
B
．
b
=
﹣
3
，
ac=9
C
．
b
=3
，
ac=
﹣
9
D
．
b
=
﹣
3
，
ac=
﹣
9
4．
已知数列
1
，
a
1
，
a
2
，
4
成等差数列，
1
，
b
1
，
b
2
，
b
3
，
4
成等比数列，
则
的值是（
A
．
B
．
﹣
C
．
或﹣
D
．
5
．正项等比数列
{a
n
}
满足
a
2
a
4
=1
，
S
3< br>=13
，
b
n
=log
3
a
n
，则 数列
{b
n
}
的前
10
项和是（
）
A
．
6
5
B
．
﹣
65
C
．
2
5
D
．
﹣
25
6
．等比数列
{a
n
}
中，
a
6
+a
2
=34
，
a
6
﹣
a
2
=30
，那么
a
4
等 于（
）
A
．
8
B
．
1
6
C
．
±
8
D
．
±
16
9
．
（2012•北京）已知
{a
n
}
为等比数列，下面结论中正确的 是（
）
A
．
a
1
+a
3
≥2
a
2
B
．
C
．
若
a
1
=a
3
，则
a
1
=a
2
D
．
若
a
3
＞
a
1
， 则
a
4
＞
a
2
10
．
（201 1•辽宁）若等比数列
a
n
满足
a
n
a
n+1=16
n
，则公比为（
）
A
．
2
B
．
4
C
．
8
D
．
1
6
11
．
（2010•江西）等比数列
{a
n
}
中，
|a
1
|=1
，
a
5
=
﹣
8a< br>2
，
a
5
＞
a
2
，则
a
n
=
（
）
A
．
（
﹣
2
）
n
﹣
1
B
．
﹣
（﹣
2
n
﹣
1
）
C
．
（
﹣
2
）
n
D
．
﹣
（﹣
2
）
n
12
．已知等比数列
{a
n
}
中，
a
6
﹣
2a
3
=2
，
a
5
﹣
2a
2=1
，则等比数列
{a
n
}
的公比是（
）
A
．
﹣
1
B
．
2
C
．
3
D
．
4
）
1 3
．正项等比数列
{a
n
}
中，
a
2
a< br>5
=10
，则
lga
3
+lga
4
=
（
）
A
．
﹣
1
B
．
1
C
．
2
D
．
0
14
．在等比数列
{b
n
}
中，
b
3
•b
9
=9
， 则
b
6
的值为（
）
A
．
3
B
．
±
3
C
．
﹣
3
D
．
9
15
．
（文）在等比数列
{a
n
}
中，
，则
tan
（
a
1
a
4
a
9）
=
（
）
C
．
A
．
B
．
D
．
16
．若等比数列
{a
n
}
满足
a
4
+a
8
=
﹣
3
，则
a
6
（
a
2
+2a
6
+a
10< br>）
=
（
）
A
．
9
B
．
6
C
．
3
=3
，则
C
．
D
．
﹣
3
=
（
）
D
．
1
17
．设等比数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
A
．
B
．
18
．在等比数列
{a
n
}
中，
a
n
＞
0，
a
2
=1
﹣
a
1
，
a
4< br>=9
﹣
a
3
，则
a
4
+a
5
=
（
）
A
．
1
6
B
．
2
7
C
．
3
6
D
．
8
1
19
．在等比数列
{an
}
中
a
2
=3
，则
a
1
a
2
a
3
=
（
）
A
．
8
1
B
．
2
7
C
．
2
2
D
．
9
20
．等比数列
{a
n
}
各项均为正数且
a
4
a
7
+a
5a
6
=16
，
log
2
a
1
+log
2
a
2
+…+log
2
a
10
=
（
）
A
．
1
5
B
．
1
0
C
．
1
2
D
．
4
+log
2
5
21
．等比数列
{a
n
}
中
a
4
，
a
8
是方程
x
2
+3x+2=0
的两根，则
a
5
a
6
a
7
=
（
）
A
．
8
B
．
±
2
C
．
﹣
2
D
．
2
22
．在等比数列
{a
n
}
中，若
a
3
a
4
a
5
a< br>6
a
7
=243
，则
的值为（
）
C
．
3
D
．
2
A
．
9
B
．
6
23
．在
3
和
9
之间插入两个正数， 使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两
个数的和是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
2 4
．已知等比数列
1
，
a
2
，
9
，…，则 该等比数列的公比为（
）
A
．
3
或﹣
3
B
．
3
或
C
．
3
D
．
25
．
（2011•江西）已 知数列
{a
n
}
的前
n
项和
s
n
满足：
s
n
+s
m
=s
n+m
，且
a1
=1
，那么
a
10
=
（
）
A
．
1
B
．
9
C
．
1
0
D
．
5
5
26
．在等比数列
{an
}
中，前
7
项和
S
7
=16
，又< br>a
1
2
+a
2
2
+…+a
7
2=128
，则
a
1
﹣
a
2
+a
3﹣
a
4
+a
5
﹣
a
6
+a
7
=
（
）
A
．
8
B
．
C
．
6
D
．
2 7
．等比数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S< br>n
，
a
1
=1
，若
4a
1
，
2a
2
，
a
3
成等差数列，则
S
4
=< br>（
）
A
．
7
B
．
8
C
．
1
6
D
．
1
5
二．填空题（共
3
小题）
28
．已知数列
{a< br>n
}
中，
a
1
=1
，
a
n
=2a
n
﹣
1
+3
，则此数列的一个通项公式是
_________
．
29
．数列
的前
n
项之和是
_________
．
，
则公比
q
等于
_________
．
30
．等比数列
{a
n
}
的首项
a
1
=
﹣
1
，
前
n
项和为
S
n
，
若
参考答案与试题解析
一．选择题（共
27
小题）
1
．
（2008•浙 江）已知
{a
n
}
是等比数列，
a
2
=2
，
a
5
=
，则公比
q=
（
）
A
．
等比数列．
B
．
﹣
2
C
．
2
D
．
考
点
：
专
计算题．
题
：
分
根据等比数列所给 的两项，写出两者的关系，第五项等于第二项与公比的三次方的乘
析：
积，代入数字，求出公比的三次方，开方即可得到结果．
解
解：∵{an
}
是等比数列，
a
2
=2
，
a
5< br>=
，
答：
设出等比数列的公比是
q
，
∴a
5
=a
2
•q
3
，
∴
=
=
，
∴q=
，
故选
D
点
本题考查等比数列的基本量之间的关系，若已知等比数列的两项， 则等比数列的所有
评：
量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解．
2
．
（2 006•湖北）在等比数列
{a
n
}
中，
a
1
=1
，
a
10
=3
，则
a
2
a
3a
4
a
5
a
6
a
7
a
8a
9
=
（
）
A
．
8
1
等比数列．
2
7
B
．
C
．
D
．
2
43
考
点
：
分
由等比数列的性质知（
a
2
a
9
）
=
（
a
3
a
8
）
=
（
a
4
a
7
）
=
（
a
5
a
6
）
=
（
a
1
a
10
）
．
析：
解
解：因为数列
{a
n
}
是等比数 列，且
a
1
=1
，
a
10
=3
，
答：
所以
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
a
8
a
9
=
（
a
2
a
9
）
（
a
3
a
8
）
（
a
4
a
7
）
（
a
5
a
6
）
=
（
a
1
a
10
）
4
=3
4
=81
，
故选
A
点
本题主要考查等比数列的性质．
评：
3
．
（2006•北京）如果﹣
1
，
a
，
b
，
c
，﹣
9
成等比数列，那么（
）
A
．
b
=3
，
ac=9
等比数列．
B
．
b
=
﹣
3
，
ac=9
C
．
b
=3
，
ac=
﹣
9
D
．
b
=
﹣
3
，
ac=
﹣
9
考
点
：
分
由等比数列的等比中项来求解．
析：
解
解：由等比数列的性质可得
ac=
（﹣
1
）×（﹣
9
）
=9
，
答：
b×b=9
且
b
与奇数项的符号相同，
∴b=﹣
3
，
故选
B
点
本题主要考查等比数列的等比中项的应用．
评：
4< br>．
已知数列
1
，
a
1
，
a
2
，
4
成等差数列，
1
，
b
1
，
b
2
，
b
3
，
4
成等比数列，
则
的值是
（
）
A
．
B
．
﹣
C
．
或﹣
D
．
考
等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．
点
：
专
计算题．
题
：
分
由
1，
a
1
，
a
2
，
4
成等差数列，利用 等差数列的性质求出等差
d
的值，进而得到
a
2
﹣
a
1
析：
的值，然后由
1
，
b
1
，b
2
，
b
3
，
4
成等比数列，求出
b
2
的值，分别代入所求的式子中即
可求出值．
解
解：∵1 ，
a
1
，
a
2
，
4
成等差数列，
答：
∴3d=4﹣
1=3
，即
d=1
，
∴a
2
﹣
a
1
=d=1
，
又< br>1
，
b
1
，
b
2
，
b
3< br>，
4
成等比数列，
∴b
2
2
=b
1
b
3
=1×4=4，解得
b
2
=±2，
又
b
1
2
=b
2
＞
0
，∴b
2
=2
，
则
故选
A
点
=
．
本题以数列为载体，考查了等比数列的性质，以及等差数列 的性质，熟练掌握等比、
评：
等差数列的性质是解本题的关键，等比数列问题中符号的判断是易错点
5
． 正项等比数列
{a
n
}
满足
a
2
a
4=1
，
S
3
=13
，
b
n
=log< br>3
a
n
，则数列
{b
n
}
的前
10
项和是（
）
A
．
6
5
B
．
﹣
65
C
．
2
5
D
．
﹣
25
考
等差数列的前
n
项和；等比数列的通项公式．
点
：
专
计算题．
题
：
分
由题意可得
=a
2
a
4
=1
，
解得
a
3
=1
，
由
S
3
=13
可得
a
1
+a
2
=12
，
，
则有
a
1
q
2
=1
，
a
1
+a
1
q=12
，
析：
解得
q
和
a
1
的值，
由此得到
a
n
的解析式，从而得到
b
n
的解析式，由等差数列的求和公式求出它的前
10
项和．
解
解：∵正项等比数列
{a
n
}
满足
a
2
a
4
=1
，
S
3
=13
，
b
n
= log
3
a
n
，
=a
2
a
4
=1
，解得
a
3
=1
．
∴
答：
由
a
1
+a
2
+a
3
=13
，可得
a
1
+a
2
=12
．
设公比为
q
，则有
a
1
q
2
=1
，
a
1
+a
1
q=12
，解得
q=
，
a
1
=9
．
故
a
n
=9×
=3
3
﹣
n
．
=
﹣
25
，
故
b
n
=log< br>3
a
n
=3
﹣
n
，则数列
{b
n< br>}
是等差数列，它的前
10
项和是
故选
D
．
点
本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等差数列的前
n
项和公
评：
式的应用，求出
a
n
=3
3
﹣
n
，是解题的关键，属于基础题．
6
．等比数列
{a
n
}
中，
a
6
+a
2
=34
，
a
6
﹣
a
2
=30
，那么
a
4
等于（
）
A
．
8
B
．
1
6
C
．
±
8
D
．
±
16
考
等比数列的通项公式．
点
：
专
计算题．
题
：
分
要求
a< br>4
，就要知道等比数列的通项公式，所以根据已知的两个等式左右两边相加得到
析：
a
6
，左右两边相减得到
a
2
，根据等比数列的性质 列出两个关于首项和公比的关系式，
联立求出
a
和
q
，得到等比数列 的通项公式，令
n=4
即可得到．
解
解：设此等比数列的首项为
a
，公比为
q
，
答：
由
a
6
+a
2
=34
，< br>a
6
﹣
a
2
=30
两个等式相加得到
2a< br>6
=64
，
解得
a
6
=32
；
两个 等式相减得到
2a
2
=4
，
解得
a
2
=2
．
根据等比数列的通项公式可得
a
6
=aq
5< br>=32①，
a
2
=aq=2②，
把②代入①得
q
4< br>=16
，
所以
q=2
，
代入②解得
a=1
，
所以等比数列的通项公式
a
n
=2
n
﹣
1
，则
a
4
=2
3
=8
．
故选
A
点
此题要求学生灵活运用等比数列的性质解决数学问题，会根据条件 找出等比数列的通
评：
项公式．本题的关键是根据题中的已知条件得到数列的
a
2
和
a
6
．
7
．已知数列
{a
n
}
满足
，其中
λ
为实常数，则数列
{a
n
}
（
）
A
．
不可能是等差数列，也不可能是等比数列
B
．
不可能是等差数列，但可能是等比数列
C
．
可能是等差数列，但不可能是等比数列
D
．
可能是等差数列，也可能是等比数列
考点
：
等
差关系的确定；等比关系的确定．
专题
：
等
差数列与等比数列．
分析：
由于
=n
2
+n
﹣λ，而
n
2
+n
﹣λ 不是固定的常数，不满足等比数列的定义．若是
，显然，不满足
等差数列，则由
a
1
+a
3
=2
a
2
，解得
λ=3，此时，
等差数列的定义，从而得出结论．
解答：
解：由
可得
=n
2
+n
﹣λ，由于
n
2
+n
﹣λ 不是固定
的常数，故数列不可能是等比数列．
若数列是等差数列，则应有
a
1
+a
3
=2 a
2
，解得
λ=3．
此时，
故选
A
．
点评：
本
题主要考查等差关系的确定、等比关系的确定，属于中档题．
8
．已知数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n< br>，若对于任意
n
∈
N
*
，点
P
n
（
n
，
S
n
）都在直线
y=3x+2
上，
则 数列
{a
n
}
（
）
，显然，此数列不是等差数列，
A
．
是等差数列不是等比数列
C
．
是常数列
B
．
是
等比数列不是等差数列
D
．
既
不是等差数列也不是等比数列
考点
：
等
比关系的确定；等差关系的确定．
专题
：
计
算题．
分析：
由
点
P
n
（
n
，
S
n
）都在直线
y= 3x+2
上，可得
S
n
=3n+2
，再利用
a
n< br>=S
n
﹣
S
n
﹣
1
求解．
解答：
解
：由题意，∵点
P
n
（
n，
S
n
）都在直线
y=3x+2
上
∴S
n
=3n+2
当
n≥2
时，
a
n< br>=S
n
﹣
S
n
﹣
1
=3
当
n=1
时，
a
1
=5
∴数列
{a
n
}
既不是等差数列也不是等比数列
故选
D
点评：
本
题的考点是等比关系的确定，
主要考查由 前
n
项和求数列的通项问题，
关键是利用
前
n
项和与通项的关系．
9
．
（2012•北京 ）已知
{a
n
}
为等比数列，下面结论中正确的是（
）
A
．
a
1
+a
3
≥2a
2
C
．
若
a
1
=a
3
，则
a
1
=a
2
B
．
D
．
若
a
3
＞
a
1
， 则
a
4
＞
a
2
考点
：
等
比数列的性质．
专题
：
探
究型．
分析：
a
1
+a
3
=
，当且仅当
a
2
，
q
同为正时，
a
1
+a
3
≥2a
2
成立；< br>，所以
；若
a
1
=a
3
，则
a
1< br>=a
1
q
2
，从而可
知
a
1
=a< br>2
或
a
1
=
﹣
a
2
；若
a
3
＞
a
1
，则
a
1
q
2
＞
a
1
，而
a
4
﹣
a
2
=a1
q
（
q
2
﹣
1
）
，其正负由
q
的符号
确定，故可得结论．
解答：
解：设等比数列 的公比为
q
，则
a
1
+a
3
=
成立，故< br>A
不正确；
，∴
，故
B
正确；
，当且仅当
a
2
，
q
同为正时，
a
1
+a
3
≥2a
2
若
a
1
=a
3
，则< br>a
1
=a
1
q
2
，∴q
2
=1，∴q=±1，∴a
1
=a
2
或
a
1
=
﹣
a
2
，故
C
不正确；
若
a
3
＞
a
1
，则
a
1
q
2
＞
a
1
，∴a
4
﹣
a
2
=a
1
q
（
q
2
﹣
1
）
，其正负由
q
的符 号确定，故
D
不正确
故选
B
．
点评：
本
题主要考查了等比数列的性质．属基础题．
1 0
．
（2011•辽宁）若等比数列
a
n
满足
a
n
a
n+1
=16
n
，则公比为（
）
A
．
2
B
．
4
C
．
8
D
．
1
6
考
等比数列的性质．
点
：
专
计算题．
题
：
分
令
n=1
，得到第
1
项与第
2
项的积为16
，记作①，令
n=2
，得到第
2
项与第
3
项的积
析：
为
256
，记作②，然后利用②÷①，利用等比数列的 通项公式得到关于
q
的方程，求
出方程的解即可得到
q
的值，
然后把
q
的值代入经过检验得到满足题意的
q
的值即可．
解
解：当
n=1
时，
a
1
a
2
=16① ；当
n=2
时，
a
2
a
3
=256②，
=16
，即
q
2
=16
，解得
q=4
或< br>q=
﹣
4
，
答：
②÷①得：
当
q=
﹣
4
时，由①得：
a
1
2
×（﹣4
）
=16
，即
a
1
2
=
﹣
4
，无解，所以
q=
﹣
4
舍去，
则公比
q=4
．
故选
B
点
此题考查学 生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道
评：
基础题 ．
学生在求出
q
的值后，
要经过判断得到满足题意的
q
的值 ，
即把
q=
﹣
4
舍去．
11
．
（2010•江西）等比数列
{a
n
}
中，
|a
1
|=1
，
a
5
=
﹣
8a
2
，
a< br>5
＞
a
2
，则
a
n
=
（
）
A
．
（
﹣
2
）
n
﹣
1
B
．
﹣
（﹣
2
n
﹣
1
）
C
．
（
﹣
2
）
n
D
．
﹣
（﹣
2
）
n
考
等比数列的性质．
点
：
专
计算题．
题
：
分
根据等比数列的性 质，由
a
5
=
﹣
8a
2
得到
等于
q
3
，求出公比
q
的值，然后由
a
5
＞
a
2
，
析：
利用等比数列的通项公式得到
a
1大于
0
，化简已知
|a
1
|=1
，得到
a1
的值，根据首项和
公比利用等比数列的通项公式得到
a
n
的值 即可．
解
解：由
a
5
=
﹣
8a
2
，得到
=q
3
=
﹣
8
，解得
q=
﹣
2
，
答：
又
a
5
＞a
2
，得到
16a
1
＞﹣
2a
1
，解 得
a
1
＞
0
，所以
|a
1
|=a
1
=1
则
a
n
=a
1
q
n
﹣< br>1
=
（﹣
2
）
n
﹣
1
故选
A
点
此题考查学生灵活运用等比数列的性质及前
n
项 和的公式化简求值，是一道中档题．
评：
12
．已知等比数列< br>{a
n
}
中，
a
6
﹣
2a
3
=2
，
a
5
﹣
2a
2
=1
，则等比数列
{a
n
}
的公比是（
）
A
．
﹣
1
B
．
2
C
．
3
D
．
4
考
等比数列的性质．
点
：
专
计算题．
题
：
分
根据等比数列的通 项公式化简已知的两等式，得到关于首项和公比的两个方程，分别
析：
记作①和②， 把①提取
q
后，得到的方程记作③，把②代入③即可求出
q
的值．
解
解：由
a
6
﹣
2a
3
=2
，< br>a
5
﹣
2a
2
=1
得：
，
答：
由①得：
q
（
a
1< br>q
4
﹣
2a
1
q
）=2③，
把②代入③得：
q=2
．
故选
B
点
此 题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握等比数列的性质，是一道
评：
基础题．
13
．正项等比数列
{a
n
}
中，
a
2
a
5
=10
，则
lga
3
+lga
4
=
（
）
A
．
﹣
1
B
．
1
C
．
2
D
．
0
考
等比数列的性质．