数列通项公式与求和讲解与习题(含答案)
绝世美人儿
674次浏览
2021年01月29日 00:06
最佳经验
本文由作者推荐
幼儿园母亲节活动方案-中国药科大学排名
数列通项与求和
一．求数列通项公式
1
．定义法（①
等差数列通项公式；
②
等比数列通项公式。
）
2< br>例
．等差数列
a
n
是递增数列，前
n< br>项和为
S
n
，且
a
1
,
a
3
,
a
9
成等比数列，
S
5
a
5
．求数列
a
n
的通项
公式．
答案：
a
n
3
n
5
a
1
,(
n
1)
2
．公式法：已知
S
n
（即
a
1
a
2
L
a
n
f
(
n
)
）求
a
n
，用作差法：
a
n
S
S
,(
n
2)
n
1
n< br>例．设正整数数列
{
a
n
}
前
n
项和为S
n
，满足
S
n
答案：
a
n
2
n
1
1
(
a
n
1)
2
，求
a
n
4
f
(1 ),(
n
1)
f
(
n
)< br>3
．作商法：已知
a
1
a
2
L
a
n
f
(
n
)
求
a
n
，用作商法：
a
n
。
,(
n
2)
f
(
n
1)
2
如数列
{
a
n
}
中，
a
1
1
,
对所有的
n
2
都有
a
1
a< br>2
a
3
a
n
n
，则
a
3
a
5
；
答案：
61
16
4
．累加法：若< br>a
n
1
a
n
f
(< br>n
)
求
a
n
：
a
n
(< br>a
n
a
n
1
)
(< br>a
n
1
a
n
2
)< br>
L
(
a
2
a
1
)< br>
a
1
(
n
2)
。
例 ．
已知数列，且
a
1
=2
，
a
n
+1=
a
n
+
n
，求
a
n
．
< br>n
2
n
4
答案：
a
n
2
5
．累乘法：已知
a
n
1
a
a
a
f
(
n
)
求
a
n
，用累乘法：
a
n
n
n
1
L
2
a
1
(
n
2)
a
n
a
n
1
an
2
a
1
例
．已知数列
a
n
满足
a
1
2
n
，
an
1
a
n
，求
a
n
。< br>
3
n
1
答案：
a
n
2
3
n
6
．已知递推关系求
a
n
，用构 造法（构造等差．等比数列）
。
（
1
）形如
a
n
1
pa
n
f
n
只需构造数列
b
n
，消去
f
n
带来的差异．其中
f
n
有多种不同形 式
①
f
n
为常数，即递推公式为
a
n
1
pa
n
q
（其中p
，
q
均为常数，
(
pq
(
p
1
)
0
)
）
。
解法：转化为：< br>a
n
1
t
p
(
a< br>n
t
)
，其中
t
q
，再利用换 元法转化为等比数列求解。
1
p
例．
已知数 列
a
n
中，
a
1
1
，
a
n
1
2
a
n
3
，求
a
n
．
n
1
答案：
a
n
2
3
②
f
n
为一次多项式，即递推公式为
a
n
1
pa
n
rn
s
例
．设 数列
a
n
：
a
1
4
,
a
n
3
a
n
1
2
n
1
,
(
n
2
)
，求
a
n
．
n
1
答案：
a
n
6
3
n
1
2
③
f
(
n
)
为
n
的 二次式，则可设
b
n
a
n
An
Bn
C
；
n
n
（
2
）递 推公式为
a
n
1
pa
n
q
（其中
p
，
q
均为常数，
(
pq
(
p
1
)(
q
1
)
0)
）
。
（或
a
n
1
pa
n
rq
，
其中
p
，
q
，
r
均为常数）
解法：该类型复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边 同除以
q
n
1
，得：
a
n
1
p
a
n
1
•
n
n
1
q
q
q
q
引入辅助数列
b
n
（其中
b
n
a
n
p
1
b
b
）
，得：
再应用类型（
1< br>）的方法解决。
n
1
n
q
q
q
n
例
．已知数列
a
n
中，
a
1
5
1
1
，
a
n
1
a
n
(
)
n
1
， 求
a
n
。
6
3
2
答案：
an
3
(
)
n
2
(
)
n
（
3
）递推公式为
a
n
2
pa
n
1
qa
n
（其中
p
，
q
均为常数）
。
1
2
1
3
解法：先把原递推公式转化为
a
n
2
sa
n
1
t
(
a
n< br>
1
sa
n
)
其中
s
，
t
满足
的方法求解。
例
．
已知数列
a
n
中，
a
1
1
，
a
2
2
，
a
n
2
答案：
a
n
s
t
p
，再应用前面类型（
2
）
st
q
2
1
a
n
1
a
n
，求
a
n
。
3
3
7
3
1n
1
(
)
4
43
a
n
1
或
a
n
1-
ba
n
=
ka
n
a
n
1
的递推数列都可以用倒数法求通项。
ka
n
1
b
7
．
形如
a
n
例
．
a
n
a
n
1
,
a
1
1
3
a
n
1
1
1
3
n
2
答案：
a
n
8.利用平方法、开平方法构造等差数列
例
1
．数列
a
n
的各项均为正数，且满足
a
n
1
a
n
2
a
n
1
，
a
1
2
，求
a
n
。
2
答案：
a
n
(
n
2
1)< br>
例
2
．已知
f
(
x
)
1
x
2
2
(
x
2)
，求：
（
1
）
f
1
(
x< br>)
；
（
2
）设
a
1
1,
1
f
1
(
a
n
)(
n
N
)
，求
a
n
。
a
n
1
答案：
（
1
）
f
1
(
x
)
2
1
1
(
x
0)
a
（
2
）
n
x
2
2
n
1
r
9
．
a
n
1
p
a
n
型
该类型是等式两边取对数后转化为前边的类型，然后再用递推法或待定系法构造等比数列求出 通项。
两边取对数得
r
lg
a
n
< br>1
lg(
p
a
n
)
lg
a
n
1
lg
p
rlg
a
n
设
b
n
lg
a
n
∴
原等式变为
b
n
1
rb
n
lg
p
即变为基本型。
例．
已知< br>a
1
2
,
a
n
1
2< br>a
n
，求其通项公式。
3
答案：
an
3
(
)
2
2
3
n
1
练习：
n
1
1.
已知
a
1
1
且
a
n< br>
1
2
a
n
2
，求
a
n
答案：
a
n
(
n
)2
n
n
2.
已知
a
1
3
且
a
n
1
3
a
n
2
，求
a
n
1
2
n
1
n
答案：
a
n
5
3
2
3.
已知数列
a
n
中，a
1
1
，前
n
项和
S
n
与
a
n
的关系是
S
n
n
(2
n
1
)
a
n
，试求通项公式
a
n
。
3
解：
⑴
当
n
=1
时
,
有：
S
1
=
a< br>1
=2
a
1
+(-1)
a
1
=1
；
当
n
=2
时
,
有：
S
2
=
a
1
+
a
2=2
a
2
+(-1)
2
a
2
=0< br>；
当
n
=3
时
,
有：
S
3
=
a
1
+
a
2
+
a
3
=2
a
3
+(-1)
3
a
3
=2
；
综上可知
a
1
=1,
a
2
=0,
a
3
=2
；
n
n
1
⑵
由已知得：
a
n
S
n
S< br>n
1
2
a
n
(
< br>1)
2
a
n
1
(
1)
n
1
化简得：
a
n
< br>2
a
n
1
2(
1)
上式可化为：
a
n
2
2
(
1 )
n
2[
a
n
1
(
1)
n
1
]
3
3
故数列
{
a
n
故
a
n
2
2
(
1)
n
}
是以
a
1
(
1)
1
为首项
,
公比为
2
的等比数列
.
3
3
2
1
1
2
2
(
1)
n
2
n
1
∴
a
n
g
2
n
1
(
1)n
[2
n
2
(
1)
n
]
3
3
3
3
3
数列
{
a
n
}
的通项公式为：
a
n
2
n
2
[2
(
1)
n
]< br>.
3
4.
设数列
a
n
满足
a
1
3
a
2
3
2a
3
…
3
n
1
an
n
，
n
N
*
．求数列
a
n
的通项；
3
解：由
a
n
1
a
n
2
n
1
得
a
n
1
a
n
2
n
1
则
a
n
(
a
n
a
n
1
)
(
a
n
1
a
n
2
)
(
a
3
a
2
)
(
a
2
a
1
)
a
1
[
2
(
n
1
)
1
]
[
2
(
n
2
)
1
]
(
2
2
1
)
(
2
1
1
)
1
2
[(
n
1
)
(
n
2
)
2
1
]
(
n
1
)
1
2
(
n
1
)
n
(
n
1
)
1
2
所以数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
n
2
5.
已知二次函数
y
f
(
x
)
的图像经过坐标原点，其导函数为
f
(
x
)
6
x
2
，数列
{
an
}
的前
n
项和为
S
n
，
点
(
n
,
S
n
)(
n
N
)
均在函数
y
f
(
x
)
的图像上．求 数列
{
a
n
}
的通项公式；
'
解：因为
a
n
a
1
2
a
2
3
a
3
(
n
1
)
a
n
1
(
n
2
)
①
所以
a
n
1
a
1
2
a
2
3
a
3
(
n
1
)
a
n
1
na
n
②
所以
②
式－
①< br>式得
a
n
1
a
n
n a
n
则
a
n
1
(
n
1
)
a
n
(
n
2
)
则
a
n
1
n
1
(
n
2
)
a
n
a
a
n
a
n
1
3
a
2
a
n
1
a
n
2
a
2
所以
a
n
[
n
(
n
1
)
4
3
]
a
2
n
!
a
2
③
2
由
a
n
a
1
2
a
2
3
a
3
(
n
1
)
a
n
1
(
n
2
)
，
取
n=2< br>得
a
2
a
1
2
a
2< br>，
则
a
2
a
1
，
又知
a
1
1
，
则
a
2
1
，
代入
③
得
a
n
1
3
4
5
n
n
!
2
6.
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
2
a
n
3
2
n
，
a
1
2
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
n
已知
a
1
3
,
a
n
1
3
a
n
，求通项
a
n
．
n
< br>1
答案：
a
n
(3
n
1)
2
7.
已知数列
{
a
n
}满足
a
n
1
a
n
2< br>
3
n
1
，
a
1
3< br>，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
n
答案：
a
n
3
n
1
< br>8.
已知
a
1
1
且
3
S
n
1
S
n
a
n
1
，求
a
n
3
答案：
a
n
1
n
(3n
3)
9.
已知数列
{
a
n
}满足
a
n
1
3
a
n
< br>2
3
n
1
，
a
1
< br>3
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
答案：
a
n
(2
n
)
3
n
1
3
2
1
2
4
10.
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
3
a
n
，
a
1
7
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
< br>答案：
a
n
(7
3
)
3
1
3
1
n
1
3
4
11.< br>已知数列
{a
n
}
的首项
a
1
=
3
a
n
3
，
a
n+1
=
，
n=1< br>，
2
，
…
，求
{a
n
}
的通项公式 ；
2
a
n
+1
5
3
n
答案：< br>a
n
n
3
2
1
1< br>
n
，求
a
n
1
a
n
1
1
a
n
12.
设数列< br>{
a
n
}
满足
a
1
0
且
答案：
a
n
1
2
2
n
n
2
13.
已知等比 数列
{
b
n
}
，
b
1
1
，等差数列
{
a
n
}
（
d
0
）中，
a
2
,
a
5
,
a
14
为< br>{
b
n
}
中连续的三项，求
b
n