2012年流行歌曲-当你离开的时候

2021年1月29日发(作者：易安居士是)









数列的综合应用

【考纲说明】

1
．会用公式法、倒序相 加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的

和；

2
．能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题；

3 .
理解数列作为函数的特性，能够抽象出数列的模型；


【知识梳理】

考点一：通项公式的求解技巧


1.

归纳、猜想数列的通项
.
2.

迭代法求一阶递推式的通项公式
.
3.

用等差（等比）数列的通项公式求数列的通项公式
.
S
n

1
4.

已知数列
{a
n
}
前
n
项和
S
n
，则
a
n



S
1

S
n

2
.
n

1

n
5.

已知
a
n
-a
n-1
=f(n)(n

2),
则可用叠加 法求
a
n
.
a
n
6.

已知
= f(n)(n

2),
则可用叠乘法求
a
n
.
a
n-1

T
1

n

1

7.

已知数列
{a
n
}
前
n
项之积
T
n
，一般可求
T
n-1
，则
a
n
=

T
n
.

T
n

2

n

1
8.

已知混合 型递推式
f(a
n
,S
n
)=0,
可利用
a
n
=S
n
-S
n-1
(n

2)
将关系 式转化为只含有
a
n
或
S
n
的递推式
,
再 求
a
n
或先间接
求出
S
n
再求出
a
n
.
9.

已知数列
{a
n
}
的递推 关系，研究它的特点后，可以通过一系列的恒等变形如
:
倒数、通分、约分、裂项、等式
两边同时乘以或除以同一个式子、因式分解、平方、开方、配方、取对数、辅助数列、待定系数等等构造得出< br>新数列
{f(a
n
)}
为等差或等比数列
.
nn+1
例如
:
形如
a
n+1
=Aa
n
+f(n)
或
a
n+1
=Aa
n
+q
,
均 可以两边同时除以
A
后进行求解
,
也可以通过待定系数法将其转化为
a
n-1
等比数列求解
;
形如
a
n
＝
的递 推数列可以两边同时倒数来求通项
.
ka
n-1
+b


考点二：数列求和的技巧

一、公式法

1
、等差数列的前
n
项和公式


1










S
n

n
(
a
1

a
n
)
n
(
n

1
)
d


na
1

2
2
2
、等比数列的前
n
项和公 式


na
1
(
q

1
)


S
n


a
1
(
1

q
n
)
a
1

a
n
q


1

q

1

q
(
q

1
)

3
、常用几个数列的求和公式

（
1
）
S
n

n

k

1

2

3



n

k

1
n
1
n
(
n

1
)

2
1
n
(
n

1
)(
2
n

1
)

6
（
2
）
S
n


k
2

1
2

2
2

3
2



n
2

k

1
n
（
3
）
S
n

1
3
3
3
3
3
k

1

2

3



n

[
n
(
n

1
)]
2


2
k

1

二、错位相减法


用于求数列
{
a
n

b
n
}
的前
n
项和，其中
{
a
n
}
，
{
b< br>n
}
分别是等差数列和等比数列。

三、裂项相消法

1
1
1
1
1
适用于
{
}
其中
{ a
n
}
是各项不为
0
的等差数列。即
:
=
(
-
),
a
n
a
n+1
a
n
a
n+1
d
a
n
a
n+1
特别
:
1
1
1
1
1
1
1



(

)
.
;
n
(
n

1
)
n
n

1
n
(
n

2
)
2
n
n

2
1
n

1

n

n

1

n


a
n


四、倒序相加法


推导等 差数列的前
n
项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序）
，再把它< br>

与原数列相加，就可以得到
n
个
(
a
1

a
n
)
。


五、分组求和法


有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等


差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。


考点三：数列的综合应用

一、数列与函数的综合

二、等差与等比数列的综合


2









三、数列的实际应用


数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合

【经典例题】

【例
1
】
(2011
年高考天津 卷理科
4)
已知

a
n

为等差数列，其公差为< br>-2
，且
a
7
是
a
3
与
a
9
的


等比中项，
S
n
为

a
n

的前
n
项和
,
n

N
,
则
S
10
的值为

*
A
．
-110

B
．
-90

C
．
90
D
．
110
【解析】
D
【例
2
】
(2 011
年高考江西卷理科
5)
已知数列
{
a
n
}< br>的前
n
项和
S
n
满足
:
S
n

S
m

S
n

m
,
且


a
1

1
,
那么
a
1 0

( )
A. 1 B. 9 C. 10 D. 55
【解析】
A
【例
3
】
（
2008
年江西省高考题）数列
{a
n
}
的 通项公式是
a
n
=
1
n

n

1
，若前
n
项和为
10
，


则项数为（

）

A
、
11 B
、
99 C
、
120 D
、
121
【解析】
C
【例
4
】
（
2008
安徽） 设数列
{a
n
}
满足
a
1
=a
，
a
n+1
=ca
n
+1-c
，
n
∈
N*< br>，其中
a
，
c
为实数，
c
≠
0
1.
求数列
{a
n
}
的通项公式；

2.
设
a=
1
1
，
c=
，
b
n
=n
（
1-a
n
）
，
n
∈
N*
，求数列
{b
n
}
的前
n
项和
S
n
。

2
2

【解析】
（
1
）∵
a
n+
1-1=c
（
a
n
-1
）


∴当
a
≠
1
时，
{a
n
-1 }
是首项为
a-1
，公比为
c
的等比数列

n-1
n-1

∴
a
n
-1=
（
a-1
）
c
，即
a
n
=
（
a-1
）
c
+1

当
n=1
时，
a
n
=a
仍满足上式。

n-1

∴数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
=
（
a-1
）
c
+1
（
n< br>∈
N*
）

1
n
）
，

2
1
1
2
1
n
S
n
=b1
+b
2
+
…
+b
n
=
+2
（
）
+
…
+n
（
）

①
2
2
2
1
1
2
1
3
1
n1
n+1

S
n
=
（
）
+2
（
）
+
…
+
（
n-1
）
（
）< br>+n
（
）

②

2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
n
1
n+1

∴①
-
②得
S
n
=
+
（）
+
…
+
（
）
-n
（
）
2< br>2
2
2
2
1
1
2
1
n-1
1
n
1
n
1
n

∴
S
n
=1+
+
（
）
+
…
+
（
）
-n
（
）
=2[1-
（
）
]-n
（
）

2
2
2
2
2
2
（
2
）由（
1
）得
b
n
=n
（
1-a
）
c
=n
（
n-1

3










∴
S
n
=2-（
2+n
）
（
1
n
）

2

n
【例
5
】
（
2008
浙江省）

已知数列
{x
n
}
的首项
x
1
=3
，通 项
x
n
=2
p+nq
（
n
∈
N*
，
p
，
q
为常数）
，


且
x
1
，
x
4
，
x
5
成等差数列，求：

（
1
）

P
，
q
的值；

（
2
）

数列
{x
n
}
前
n
项和
S
n
的公式。

【解析】

（
1
）

由
x
1
=3
，得
2p+q=3
4
5
5
5

又
x
4
= 2
p+4q
，
x
5
=2
p+5q
，且
x< br>1
+x
5
=2x
4
，得
3+2
p+5q=2
p+8q

解得
p=1
，
q=1
（
2
）
S
n
=
（
2+2
+
…
+2
）
+
（
1+2+
…
+n
）
=2-2+

【例
6
】

(2011
年福建理16)
已知等比数列
{a
n
}
的公比
q=3
， 前
3
项和
S
3
=
（
I
）求数列
{ a
n
}
的通项公式；

（
II
）若函数
2
n
n+1
n
(
n

1
)

2
13
。

3
f
(
x
)

A
sin(2
x


)(
A

0,0



p


)
在
x

6
处取得最大值，且最大值


为
a
3
，求函数
f
（
x
）的解析式。

1 3
a
1
(1

3
3
)
13
得
,

【解析】
（
I
）由
q

3,
S
3

3
1

3
3
1.

3
1
n

1
n

2所以
a
n


3

3
.
< br>3
解得
a
1

n

2
（
I I
）由（
I
）可知
a
n

3
,
所 以
a
3

3.

因为函数
f
(
x
)
的最大值为
3
，所以
A=3
。

因为当
x


6
时
f
(
x
)
取 得最大值，

所以
sin(2


6


)

1.

又
0




,
故



6
.

所以函数
f
(
x
)
的解析式为
f
(
x
)

3sin(2
x



6
)

2
【例
7
】
(2011
年全国新课标卷
)
等比数列

a
n

的各 项均为正数，且
2
a
1

3
a
2

1,
a
3

9
a
2
a
6
.
(1)
求数列

a
n

的通项公式
.

4









(2)
设

b
n

log
3< br>a
1

log
3
a
2

..... .

log
3
a
n
,
求数列

2

1


的前项和
.

b
n< br>
3
2
2
【解析】
（Ⅰ）设数列
{a
n}
的公比为
q
，由
a
3

9
a
2
a
6
得
a
3

9
a
4
所以
q

1
。

9
由条件可知
a>0,
故
q

1
。

3
由
2
a
1

3
a
2

1
得
2
a
1

3
a
2
q

1
，所以
a
1

故数列
{a
n
}
的通项式为
a< br>n
=
1
。

3
1
。

3
n
（Ⅱ

）
b
n

log3
a
1

log
3
a
2

. ..

log
3
a
n



(1

2

...

n
)

n
(
n

1)


2
故
1
21
1




2(

)
< br>b
n
n
(
n

1)
n
n

1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
n


...



2((1

)

(

)

...

(

))



b
1
b
2
bn
2
2
3
n
n

1
n
1
所以数列
{

【例
8
】
(2011
年高考浙江卷理科
19)
已知公差不为
0
的等差数列
{
a< br>n
}
的首项
a
1

a
(
a

R
),
设数列的前
n
项和
为
S
n，且
1
2
n
}
的前
n
项和为


b
n
n

1
1
1
1
1
1
1
1



...

，
，< br>，
成等比数列（Ⅰ）求数列
{
a
n
}
的通项公式及< br>S
n
（Ⅱ）记
A
n

a
1
a
2
a
4
S
1
S
2
S
3
S
n
B
n



1
1
1
1
，当
n

2
时，试比较
A
n
与
B
n
的大小
.



...

a
1
a
2
a
2
2
a
2
n
【解析】

（Ⅰ）
1
1
1
2



a
2

a
1
a
4

(
a
1

d
)
2

a
1
(
a
1

3
d
)

d

a
1

a

2
a
2
a
1
a
4

则

a
n

a
1

(
n

1 )
d

a
1

(
n

1)
a
1

na
1

na
，
S
n< br>
a
1
n


n
(
n
< br>1)
n
(
n

1)
n
(
n

1)
d

an

a

a

2
2
2
5









（Ⅱ）
A
n

1
1
1
1
1
1
1
1



...< br>





...

1

2
2

3
3

4
n
(
n

1)
S
1
S
2
S
3
S
n
a
a
a
a
2
2
2
2

2
1
2
1
2
1
2
1
2
1

L


(1

)


a
n
(
n

1)
a
n

1< br>a
1

2
a
2

3
a
3< br>
4
1
1

(
)
n
1
1< br>1
1
1
2

2
(1

1
)
因为
a
2
n

2
n
a
，所以B
n






...

a
2
n
a
1
a
2
a
2
2
a
2
n

1
a
1

1

2
1
1
2
0
1
2
n
当
n

2
时，
2

C
n

C
n

C
n

L

C
n

n

1
即
1


1

n
；

n

1
2

所以当
a
0
时，
A
n

B
n
；当
a

0
时，
A
n

B
n
.

【课堂练习】

1.
（
2009
江西卷文）公差不为零的等 差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
.
若
a
4
是
a
3
与
a
7
的等比中


项
,
S
8

32
,
则
S
10
等于


A. 18 B. 24 C. 60 D. 90







'
2.
（
2010
江西理数）
等比数列

a
n

中，
a
1

2
，
a
8
=4< br>，函数
f

x


x
(
x

a
1
)(
x

a
2
)
L
(
x

a
8
)
，则
f

0

（

）

A
．
2
B.
2
C.
2
D.
2

(1)
（
2010
湖北文数）
7.已知等比数列
{
a
m
}
中，各项都是正数，且
a
1
，

列，则
a
9

a
10


a7

a
8
6
9
12
15
1
a
3
,
2
a
2
成等差数

2
A.
1

2


B.
1

2



C.
3

2
2


D
3

2
2


4.
（
2010
福建理数）
设等差数列

a
n

的前n
项和为
S
n
,
若
a
1


11
,
a
4

a
6


6
,
则当
S
n

取最小值时
,n
等于

A
．
6

B
．
7

C
．
8

D
．
9
5
错
误
!
未
指
定
书
签
。
.
（
2013
年
福< br>建
（
理
））
已
知
等
比
数
列
{
a
n
}
的
公
比
为
q,
记
b
n

a
m
(
n

1)

1

a
m
(
n

1)
2

...

a
m
(
n

1 )

m
,
c
n

a
m
(
n

1)

1
•
a
m
(
n

1)

2
•
...
•
a
m
(
n

1)

m
(
m
,
n

N
*
),
则以下结论一定正确的
是
( )

6









A.
数列
{
b
n
}
为等差数列
,
公差为
q
m
B.
数列
{
b
n
}
为等比数列
,
公比为
q
2
m

C.
数列
{
c
n
}
为等比数列
,
公比为
q
m
2
D.
数列
{
c
n
}
为等比数列
,
公比为
q
m
m

6错误
!
未指定书签。
．
（
2013
年重庆
（理 ）
）
已知

a
n

是等差数列
,
a
1

1
,
公差
d

0
,
S
n
为其前
n
项和
,
若
a
1
,
a
2
,
a
5
成等比数列
,
则
S< br>8

_____

7
错误
!
未指定书签。< br>．
（
2013
年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（
WO RD
版）
）已知等比数列

a
n

是
递增 数列
,
S
n
是

a
n

的前n
项和
,
若
a
1
，
a
3
是方 程
x
2

5
x

4

0
的两个根
,
则
S
6

____________. 8
、
（
2009
年全国卷）
设等差数列
{
a< br>n
}
的前
n
项和为
s
n
，公比是正数的等比 数列
{
b
n
}
的前
n
项和为
T
n
，已知
a
1

1,
b
1

3,< br>a
3

b
3

17,
T
3

S
3

12,
求
{a
n
},{
b
n
}
的通项公式。








9
、
（
2011
浙江卷）
已知公差不 为
0
的等差数列
{
a
n
}
的首项为
a(
a

R
)
，且
（Ⅰ）求数列
{
a< br>n
}
的通项公式；

（Ⅱ）对
n

N
，试比较






10
、
（
2010
年山东卷）
已知等 差数列

a
n

满足：
a
3

7
，
a
5

a
7

26
，

a
n

的前
n
项和为
S
n

（Ⅰ）求
a
n
及
S
n
；

*
1
1
1
，
，
成等比数列．

a
1
a
2
a
4
1
1
1
1
1

2

3

...

n
与
的大小．

a
2
a
2
a
2
a
1
a
2

7

2012年流行歌曲-当你离开的时候

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