求数列的通项公式列(教案+例题+习题)
别妄想泡我
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2021年01月29日 00:14
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三
.
数列的通项的求法
1.
定义法
：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
例1
．等差数列
a
n
是递增数列，前
n项和为
S
n
，且
a
1
,
a
3
,
a
9
成等比数列，
S
5
a
5
．求数列
a
n
的通项公式
.
2
解< br>：设数列
a
n
公差为
d
(
d< br>
0
)
∵
a
1
,
a
3< br>,
a
9
成等比数列，∴
a
3
2
a
1
a
9
，
即
(
a
1
2
d
)
2
a
1
(
a
1
8
d
)
d
2
a
1
d
∵
d
0
，
∴
a
1
d
………………………………①
∵
S
5
a
5
2
< br>∴
5
a
1
由①②得：
a
1
3
5
5
4
2
d
(a
1
4
d
)
…………②
2
5
3
3
3
∴
a
n
(
n
1
)
n
5
5
5
，
d
3
点评
：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）
后再写出通项。
练一练：
已知数列
3
a
n
2.
公式法
：
已知
S
n
（即
a
1
a
2
a
n
f
(
n
)
）
求
a
n
，
用作差法：
1
4
,
5
1
8
,
7
1
16
,
9
1
32
,
试写出其一个通项公式：
_________ _
；
S
1
,
(
n
1)
。
S
n
S
n
1
,
(
n
2)
n
例
2
．
已知数列
a< br>n
的前
n
项和
S
n
满足
S
n
2
a
n
(
1
)
,
n
1
．
求数列
a
n
< br>的通
项公式。
解
：由
a
1
S< br>1
2
a
1
1
a
1< br>
1
a
S
n
S
n< br>
1
2
(
a
n
a
n< br>
1
)
2
(
1
)< br>,
当
n
2
时，有
n
a
n
2
a
n
1
2
(
1)
n
1
n
,
,
a
n
1
2
a
n
2
2
(
1
)
a
n
2
n
1
n
2
……，< br>a
2
2
a
1
2
.
< br>2
n
1
a
1
2
n
n< br>
1
(
1)
2
n
1
n
2
(
1)
2
(
1)
n
2
2
2
n
1
(
1
)
[(
2
)
(
1
)
n
(
2
)
n
1
(
2
)]
n
< br>1
2
[
1
(
2
)
3< br>]
2
n
2
n
1
[< br>2
(
1
)
].
3
2
3
[
2
n
2
经验证
a
1
1
也满足上式，所以
a
n
(
< br>1
)
n
1
]
S
n< br>
< br>
n
1
点评
：利用公式
a
n
求解时，要注意对
n
分类讨论，但若
S
n
S
n
1
n
2
能合写时一定要合并
．
练一练：
①
已知
{< br>a
n
}
的前
n
项和满足
log
2
(
S
n
1)
n
1
，求
a
n
；
②
数列
{
an
}
满足
a
1
4,
S
n
S
n
1
5
3
a
n
1
，求
a
n
；
f
(1),
(
n
1)
3.
作商法：< br>已知
a
1
a
2
a
n
f
(
n
)
求
a
n
， 用作商法：
a
n
f
(
n
)
。
,
(
n
2)
f
(
n
1)
如
数列
{
a
n
}中，
a
1
1
,
对所有的
n
2
都有
a
1
a
2
a
3
an
n
2
，则
a
3
a
5< br>
______
；
4.
累加法
：
若
a
n
1
a
n
f
(
n
)
求
an
：
a
n
(
a
n
an
1
)
(
a
n
1
a
n
2
)
(a
2
a
1
)
a
1
(n
2)
。
例
3
.
已知数列
a
n
满足
a
1
1
2< br>，
a
n
1
a
n
1< br>n
n
2
1
n
n
2
，求
a
n
。
1
n
1
n
1
解
：由条件知：
a
n
1
a
n
1
n
(
n
1
)
分别令
n
1
,
2
,
3
,
,
(
n
1
)
，代
入上
式得
(
n
1
)
个等
式累
加之
，即
(
a
2
a
1
)
(
a
3
a
2
)
(
a
4
a
3
)
(
a
n
a
n
1
)
(
1
1
2
)
(
1
2
1
3
)
(
1
n
1
3
1
4
)
(
1
n
1
1
n
)
所以
a
n
a
1
1
a
1
1
2
1
2
1
1
n
3
2
1
n
，
a
n
如
已知数列
{< br>a
n
}
满足
a
1
1
，
a
n
a
n
1
a
n
1
a
n
1
n
1
n
(
n
2)
，则
a
n
=________
；
5.
累乘法：
已知
f
(
n
)
求
a
n
，用累乘法：
a
n
2
3
a
n
a
n
1
a
n
2
a
n
1
a
2
a
1
a
1
(
n
2)
。
例
4
.
已知数列
a
n
满足
a
1
解
：由条件知
a
n
1
a
n
，
a
n
1
n
n
n
1
a
n
，求
a
n
。
n
1
，分别令< br>n
1
,
2
,
3
,
< br>
,
(
n
1
)
， 代入上式得
(
n
1
)
个等式累乘之，即
a
2
a
1
a
3
a
2
a
4
a
3
a
n
a
n
1
1
2
2
3
3
4
n
1
n
a
n
a
1
1
n