整数问题之一
玛丽莲梦兔
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2021年01月29日 04:14
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本文由作者推荐
家长写给老师的一封信-趾高气扬造句
第五讲
整数问题之一
整数是最基本的数 ，它产生了许多有趣的数学问题
.
在中、小学生的数学竞赛中，有关
整数的问题占有重 要的地位
.
我们除了从课本上学习整数知识以外，还必须通过课外活动来
补充一些整数 的知识，以及解决问题的思路和方法。
对于两位、三位或者更多位的整数，有时要用下面的方法来表示：
49=4×10+9，
235=2×100+3×10+5，
7064=7×1000+6×10+4，
…………………
就是
一、整
除
整除是整数问题中一个重要的基本概念
.
如果整数
a
除以 自然数
b
，
商是整数且余数为
0
，
我们就说
a能被
b
整除，或
b
能整除
a
，或
b
整 除
a
，记作
b
丨
a.
此时，
b
是
a
的一个因数
（约数），
a
是
b
的倍数
.
1.
整除的性质
性质
1
如果
a
和
b
都能被
m
整 除，那么
a+b
，
a-b
也都能被
m
整除（这里设
a>b
）
.
例如：
3
丨
18
，
3
丨
12
，那么
3
丨（
18+12
） ，
3
丨（
18-12
）
.
性质
2
如果
a
能被
b
整除，
b
能被
c
整除，那么
a
能被
c
整除。
例如：
3
丨
6
，
6
丨24
，那么
3
丨
24.
性质
3
如果
a
能同时被
m
、
n
整除，那么
a
也一定
能被
m
和
n
的最小公倍数整除
.
< br>例如：
6
丨
36
，
9
丨
26
，6
和
9
的最小公倍数是
18
，
18
丨
36.
如果两个整数的最大公约数是
1
，那么它们称为互质的
.
例如：
7
与
50
是互质的，
18
与91
是互质的
.
性质
4
整数
a
，能分别被
b
和
c
整除，如果
b
与c
互质，那么
a
能被
b×c
整除
.
例如：
72
能分别被
3
和
4
整除，由< br>3
与
4
互质，
72
能被
3
与
4
的乘积
12
整除
.
性质
4
中，“两数互质”这一条件是必不可少的
.72
分 别能被
6
和
8
整除，但不能被乘
积
48
整除，这就 是因为
6
与
8
不互质，
6
与
8
的最大公约 数是
2.
性质
4
可以说是性质
3
的 特殊情形
.
因为
b
与
c
互
质，它们的最小公倍数是
b×c.事实上，根据性质
4
，我们常常运用如下解 题思路：
要使
a
被
b×c
整除，如 果
b
与
c
互质，就可以分别考虑，
a
被
b
整除与
a
被
c
整除
.
能被
2
，
3
，
4
，
5
，
8
，
9
，
11
整除的数都是有特征的，我们可以通过下面讲到的一些特
征来判断许 多数的整除问题
.
2.
数的整除特征
（
1
）能被
2
整除的数的特征：
如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被
2
整除
.
（
2
）能被
5
整除的数的特征：
如果一个整数的个位数字是
0
或
5
，那么它必能被
5
整除
.
（
3
）能被
3
（或
9
）整除的数的特征：
如果一个整数的各位数字之和能被
3
（或
9
） 整除，那么它必能被
3
（或
9
）整除
.
（
4
）能被
4
（或
25
）整除的数的特征：
如果一个整数的末两位数能被
4
（或
25
）整 除，那么它必能被
4
（或
25
）整除
.
（
5
）能被
8
（或
125
）整除的数的特征：
如果一个整数的末三位数能被
8
（或
125
） 整除，那么它必能被
8
（或
125
）整除
.
（
6
）能被
11
整除的数的特征：
如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被
11
整除，那么
它必能被
11
整除
.
是什么数字？
解：
18=2×9，并且< br>2
与
9
互质，根据前面的性质
4
，可以分别考虑被
2
和
9
整除
.
要被
2
整除，
b
只能是
0
，
2
，
4
，
6
，
8.
再考虑被
9
整除，四个数字的和就要被9
整除，已有
7+4=11.
如果
b=0
，只有
a=7
，此数是
7740
；
如果
b=2
，只有
a=5
，此数是
7542；
如果
b
＝
4
，只有
a
＝
3
，此数是
7344
；
如果
b
＝
6
，只有
a
＝
1
，此数是
7146
；
如果
b
＝
8
，只有
a
＝
8
，此数是< br>7848.
因此其中最小数是
7146.
根据不同的取值，分情况进行讨论，是解决整数问题常用办法，例
1
就是一个典型.
例
2
一本老账本上记着：
72
只桶 ，共□67.9□元，其中□处是被虫蛀掉的数字，请把
这笔账补上
.
解：
把□67.9□写成整数
679
，
它应被
72
整除
.72
＝9×8，
9
与
8
又互质
.
按 照前面的性
质
4
，只要分别考虑
679
被
8
和被< br>9
整除
.
从被
8
整除的特征，
79
要被8
整除，因此
b
＝
2.
从
6792
能被
9
整除，按照被
9
整除特征，各位数字之和
+24
能被
9
整除，因此
a
＝
3.
这笔帐是
367.92
元
.
例
3
在
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数（有些数字
可以重复出现 ），使得能被组成它的每一个数字整除，并且组成的数要尽可能小
.
解 ：
如果选数字
5
，组成数的最后一位数字就必须是
5
，这样就不能被 偶数
2
，
4
，
6
整
除，也就是不能选
2< br>，
4
，
6.
为了要选的不同数字尽可能多，我们只能不选
5< br>，而选其他五个
数字
1
，
2
，
3
，
4
，
6.1+2+3+4+6
＝
16
，为了能整除
3
和
6
，所用的数字之和要能被
3
整除，
只能再添上一个
2
，
16+2
＝
18
能被
3
整除
.
为了尽可能小，又要考虑到最后两位数能被
4
整
除
.
组成的数是
122364.
例
4
四位数
7□4□能被
55
整除，求出所有这样的四位数
.
解：
55
＝5×11，
5
与
11
互质， 可以分别考虑被
5
与
11
整除
.
要被
5
整除，个位数只能是
0
或
5.
再考虑被
11
整除
.
（
7+4）
-
（百位数字
+0
）要能被
11
整除，百位数字只能 是
0
，所得四位数是
7040.
（
7+4< br>）
-
（百位数字
+5
）要能被
11
整除，百位数字只 能是
6
（零能被所有不等于零的
整数整除），所得四位数是
7645.
满足条件的四位数只有两个：
7040
，
7645.
例
5
一个七位数的各位数字互不相同，并且它能被< br>11
整除，这样的数中，最大的是哪
一个？
，要使它被
11
整除，要满足
（
9+7+5+b
）
-
（
8+6+a
）
=
（
21+b
）
-
（
14+a
）
能被
11
整除，也就是
7+b-a
要能被
11< br>整除，但是
a
与
b
只能是
0
，
1
，
2
，
3
，
4
中的两
个数，只有
b
＝
4
，
a
＝
0
，满足条件的最大七位数是
9876 504.
再介绍另一种解法
.
先用各位数字均不相同的最大的七位数除以
11
（参见下页除式）
.
要满足题目的条件，这个数是
9876543
减
6，或者再减去
11
的倍数中的一个数，使最
后两位数字是
0
，< br>1
，
2
，
3
，
4
中的两个数字
.
43-6
＝
37
，
37-11＝
26
，
26-11
＝
15
，
15-11＝
4
，因此这个数是
9876504.
思考题：如果要求满足条件的数最小，应如何去求，是哪一个数呢？
（答：
1023495
）
例
6 < br>某个七位数
1993□□□能被
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
，
8
，
9
都整除，那么它的最后三个
数字组成的三位数是多少？
与上例题一样，有两种解法
.
解一：
从整除特征考虑
.
这个七位数的最后一位数字显然是
0.
另外，只要再分别考虑 它能被
9
，
8
，
7
整除
.
1
＋
9
＋
9
＋
3
＝
22
，要被
9
整除，十位与百位的数字和是
5
或
14
，要被8
整除，最后三
位组成的三位数要能被
8
整除，因此只可能是下面三个数 ：
1993500
，
1993320
，1993680
，
其中只有
199320
能被
7
整除，因此所求的三位数是
320.
解二：
直接用除式来考虑
.
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
，
8
，
9
的最小公倍数是
2520
，这个七位数要被
2520< br>整除
.
现在用
1993000
被
2520
来除，具体的除式如下：
因为
2520-2200
＝
320
，所以
1993000+320=1993320
能被
2520
整除
.
例
7
下面这个
41
位数
能被
7
整除，中间方格代表的数字是几？
解：
因为
111111
＝3×7×11×13×37，所以
555555
＝5×111111
和
999999＝9×111111
都能被
7
整除
.< br>这样，
18
个
5
和
18
个
9
分别组 成的
18
位数，也都能被
7
整除
.
右边的三个加数中，
前、
后两个数都能被
7
整 除，
那么只要中间的
55□99
能被
7
整除，
原数就能被< br>7
整除
.
把
55□99
拆成两个数的和：
55A00
＋
B99
，
其中□
=A+B.
因为
7
丨
553 00
，
7
丨
399
，所以□=3+3＝
6.
注意，记住
111111
能被
7
整除是很有用的
.
例
8
甲、乙两人进行下面的游戏
.
两人先约定一个整数
N.
然后，由甲开始，轮流把
0
，< br>1
，
2
，
3
，
4
，
5
，< br>6
，
7
，
8
，
9
十个
数字之一填入 下面任一个方格中
每一方格只填一个数字，六个方格都填上 数字（数字可重复）后，就形成一个六位数
.
如果这个六位数能被
N
整除，就 算乙胜；如果这个六位数不能被
N
整除，就算甲胜
.
如果
N
小于
15
，当
N
取哪几个数时，乙能取胜？
解：
N
取偶数，甲可以在最右边方格里填一个奇数（六位数的个 位），就使六位数不能
被
N
整除，
乙不能获胜
.N
＝
5
，
甲可以在六位数的个位，填一个不是
0
或
5
的数，甲 就获胜
.
上面已经列出乙不能获胜的
N
的取值
.
如果
N
＝
1
，很明显乙必获胜
.
< br>如果
N
＝
3
或
9
，那么乙在填最后一个数时，总是能 把六个数字之和，凑成
3
的整数倍
或
9
的整数倍
.
因此，乙必能获胜
.
考虑
N
＝
7
，
11
，
13
是本题最困难的情况
.
注意到
1001
＝7×11×13，乙就有一种必胜的
办法
.
我们从左往右数这六个格子，把 第一与第四，第二与第五，第三与第六配对，甲在一
对格子的一格上填某一个数字后，
乙就在这 一对格子的另一格上填同样的数字，
这就保证所
填成的六位数能被
1001
整 除
.
根据前面讲到的性质
2
，这个六位数，能被
7
，
11
或
13
整除，
乙就能获胜
.
综合起来，使乙能获胜的
N
是
1
，
3
，
7
，
9
，
11
，
13.
记住，
1001
＝7×11×13，在数学竞赛或者做智力测验题时，常常是有用的
.
二、分解质因数
一个整数，
它的约数只有
1
和它本身，
就称为质数
（也叫素数）
.
例如，
2
，
5
，
7
，
101
，
….
一个整数除
1
和它本身外，还有其他约数，就称为合数
.
例如，
4
，
12
，
99
，
501
，….1
不是
质数，也不是合 数
.
也可以换一种说法，恰好只有两个约数的整数是质数，至少有
3
个约数< br>的整数是合数，
1
只有一个约数，也就是它本身
.
质数中只有一个偶数，就是
2
，其他质数都是奇数
.
但是奇数不一定是质 数，例如，
15
，
33
，….
例
9
○＋（□+△）
=209.
在○、□、△中各填一个质数，使上面算式成立
.
解：
209
可以写成两个质数的乘积，即
209
＝11×19.
不论○中填
11或
19
，□+△一定是奇数，那么□与△是一个奇数一个偶数，偶质数只
有
2
，不妨假定△内填
2.
当○填
19
，□要填
9
，
9
不是质数，因此○填
11
，而□填
17.
这个算式是
11×（
17
＋
2
）＝
209
，
11×（
2
＋
17
）＝
209.
解例
9
的首要一步是把
209
分解成两个质数 的乘积
.
把一个整数分解成若干个整数的乘
积，
特别是一些质数的乘积，是解决整数问题的一种常用方法，
这也是这一节所讲述的主要
内容
.
一个整数的因数中，为质数的因数叫做这个整数的质因数，例如，
2
，3
，
7
，都是
42
的质因数，
6
，
1 4
也是
42
的因数，但不是质因数
.
任何一 个合数，
如果不考虑因数的顺序，
都可以唯一地表示成质因数乘积的形式，
例如
360
＝2×2×2×3×3×5.
还可以写成
360
＝
2
×
3
×
5.
这里
2
表示
3
个
2
相乘，< br>3
表示
2
个
3
相乘
.
在
2
中，
3
称为
2
的指数，读作
2
的
3
次方，在
3
中，
2
称为
3
的指数，读作
3
的
2
次方
.
例
10
有 四个学生，
他们的年龄恰好是一个比一个大
1
岁，
而他们的年龄的乘积是5040
，
那么，他们的年龄各是多少？
解：
我们先把
5040
分解质因数
5040
＝
2
×
3
×5×7.
再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积：
2
×
3
×5×7＝7×8×9×10.
所以，这四名学生的年龄分别是
7
岁、
8
岁、
9
岁和< br>10
岁
.
4
2
4
2
2
3
2
3
3
2
利用合数的质因数分解式，不难求出该数的约 数个数（包括
1
和它本身）
.
为寻求一般
方法，先看一个简单的例子
.
我们知道
24
的约数有
8
个：< br>1
，
2
，
3
，
4
，
6
，< br>8
，
12
，
24.
对于较大的数，如果一个一个
地去 找它的约数，将是很麻烦的事
.
因为
24
＝
2
×
3
，所以
24
的约数是
2
的约数（
1
，
2
，
2
，
2
）与
3
的约数（< br>1
，
3
）之间
的两两乘积
.
1×1，1×3，2×1，2×3，
2
×
1
，
2
×
3
，
2
×
1
，
2
×
3.
这里有
4×2＝
8
个，即
（
3
＋
1
）×（
1
＋
1
）个，即对于
24
＝
2
×
3
中的
2
，有（
3
＋
1）
种选择：
1
，
2
，
2
，
2
，对于
3
有（
1
＋
1
）种选择
.
因此共有 （
3
＋
1
）×（
1
＋
1
）种选择
.
这个方法，可以运用到一般情形，例如，
144
＝
2
×
3
.
因此< br>144
的约数个数是（
4
＋
1
）×（
2+1
）＝
15
（个）
.
例
11
在
100
至
150
之间，找出约数个数是
8
的所有整数< br>.
解：
有
8
＝
7
＋
1
；
8
＝（
3
＋
1
）×（
1
＋
1
）两种情况< br>.
（
1
）
2
＝
128
，符合要求，
3
＞
150
，所以不再有其他
7
次方 的数符合要求
.
（
2
）
2
＝
8
，
8×13＝
104
，
8×17＝
136
，符合要求
.
3
＝
27
；
只有
27×5＝
135
符合要求
.
5
＝
135
，它乘以任何质数都大于
150
，因此共有
4< br>个数合要求：
128
，
104
，
135
，
1 36.
利用质因数的分解可以求出若干个整数的最大公约数和最小公倍数
.
先把它们各自进行
质因数分解，例如
720＝
2
×
3
×
5
，
168
＝
2
×3×7.
4
2
3
3
3
3
7< br>7
4
2
2
3
3
3
2
2
3< br>3
3
3
2
3
那么每个公共质因数的最低 指数次方的乘积就是最大公约数，
上面两个整数都含有质因
数
2
，较低指数次 方是
2
，类似地都含有
3
，因此
720
与
168< br>的最大公约数是
2
×
3
＝
24.
在求最小公倍数时，很明显每个质因数的最高指数次方的乘积是最小公倍 数
.
请注意
720
中有
5
，而
168
中无
5
，可以认为较高指数次方是
51=5.720
与
168
的 最小公倍数是
2
×
3
×5×7＝
5040.
例
12
两个数的最小公倍数是
180
，
最大公约 数是
30
，
已知其中一个数是
90
，
另一个数
是多 少？
解：
180
＝
2
×
3
×
5
，
30
＝2×3×5.
对同一质因数来说，
最 小公倍数是在两数中取次数较高的，
而最大公约数是在两数中取
次数较低的，从
2与
2
就知道，一数中含
2
，另一数中含
2
；从
3
与
3
就知道，一数中含
3
，另一数中含
3
，从一 数是
90
＝2×3
×
5.
就知道另一数是
2
×3×5＝
60.
还有一种解法：
另一数一定是最大公约数
30
的整数倍，也就是在下面这些数中去找
30
，
60
，
90
，
120
，….
这就需要逐一检验，
与
90< br>的最小公倍数是否是
180
，
最大公约数是否是
30.
现在碰 巧第
二个数
60
就是
.
逐一去检验，有时会较费力
.
例
13
有一种最简真分数，
它们的分子与分 母的乘积都是
420.
如果把所有这样的分数从
小到大排列，那么第三个分数是多少？
解：
把
420
分解质因数
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
3
3