五年级下册数学思维训练讲义-第二单元第三讲奇数和偶数及数的奇偶性人教版
萌到你眼炸
557次浏览
2021年01月29日 07:44
最佳经验
本文由作者推荐
一口咬住多半截-无恙的意思
第三讲
奇数和偶数及数的奇偶性
第一部分：趣味数学
数字王国里，奇数与偶数是一 对形影不离的好朋友。不知为啥，他俩却吵了起来，好学的
聪聪连忙前来劝架。
奇数 先上前拉住聪聪的手说：
“聪聪哥哥，
你写作文时总是偏爱我们，
对吧！
”< br>“说来听听。
”
聪聪忙说。
“就成语来说，有‘一帆风顺’
、
‘一马当先’
、
‘一日三秋’
、
‘三申五令’
、
‘三教九< br>流’
、
‘九牛一毛’……我一口气能说出这么一大堆，对吧！
”奇数 说完，脸上浮现出得意的
神情。
偶数不甘示弱，连忙拉住聪聪的手说：
“聪 聪哥，你写作文时，不更偏爱我吗？‘两袖清
风’
、
‘十全十美’
、
‘百发百中’
、
‘四通八达’
、
‘四平八’
、
‘四面八方’ ……这些词语里不就有
我们偶数的身影吗？聪聪哥，你说是不是啊？况且，人们还常说‘无独有偶’哩！
”
奇数听了，忙说：
“这有什么，你不也听说过‘独一无二’吗？你有作何 解释？何况连国
王都宠爱我们，说话都是‘一言九鼎’呐！
”奇数又进行反驳，偶数听了，忙着 争辩。
聪聪停住了他俩的争吵，说：
“奇数，你难道没听见国王说‘一言既出，驷马 难追’吗？
这里既有你，也有他，你们别争了，争了半天，我也弄明白了。你们看问题比较片面，没看到
事物的本质。其实在成语里，更多的是你们同时登场，比如说‘一箭双雕’
、
‘三心二 意’
、
‘一
本万利’
、
‘四分五裂’
、
‘一刀两断 ’……你们各有所长，谁也离不开谁。我们人类不会‘朝三
暮四’
，也不会‘低三下四’
，更不会在背后‘不三不四’地议论你们。因为你们是我们人类的
好朋友。只要你们‘万众一心’团结 起来，拧成一股绳，就能成为一个自然数整体，成为一对
真正的好兄弟。你们说，是不是？”聪聪的一席 话，如重槌敲在了奇数和偶数的心坎上。兄弟
俩面红耳赤，都低下头了。
聪聪起身走时，看见奇数和偶数的手紧紧地拉在了一起。
奇数偶数的争吵
第二部分：奥数小练
【例题
1
】
1 +2 +3 +4 +5 +...... +119 +120
的结果是奇数还是偶数
?
【思路导航】
1
到< br>120
有
120
个数，
其中有
60
个奇数，
60
个偶数。
60
个奇数的和是偶数，
60
个偶数的和是偶数，偶数 十偶数
=
偶数。
1+2+3+4+5+
……
+119+120
的结果是偶数。
练习一
：
1. 1
十
2 +3 +4 +5 +
……
+198 +199
的结果是奇数还是偶数
?
2. 1+2+3+
⋯
+1993
的和是奇数？还是偶数？
3.
有
100
个自然数，
它们的和是偶数
.
在这
100
个自然数中，
奇数的个数比偶数的个数多
.
问：这些数中至多有多少个偶数？
【例题
2
】
一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差
150
，
这个数是多少？
【思路导航】解法
1
：相邻两个奇数相差
2
，
150
是这个要求数的
2
倍。
这个数是
150
÷
2=75
。
解法
2
：设这个数为
x
，设相邻的两个奇数为
2a+1
，
2a-1
（
a
≥
1
）
，则有
（
2a+1
）
x-
（
2a-1
）
x=150
，
2ax+x-2ax+x=150
，
2x=150
，
x=75
。
这个要求的数是
75
。
练习二
1.
有一串数，最前面的四个数依次是
1
、
9、
8
、
7.
从第五个数起，每一个数都是
它前面相邻四个数之和 的个位数字
.
问：在这一串数中，会依次出现
1
、
9
、8
、
8
这四个数吗？
2.
求证：四个连续奇数的和一定是
8
的倍数。
3.
把任意
6
个整数分别填入右图中的
6
个小方格内，试说明一定 有一个矩形，它的四个
角上四个小方格中的四个数之和为偶数。
【例题
3
】
元旦前夕，
同学们相互送贺年卡。
每 人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，
那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？< br>
【思路导航】此题初看似乎缺总人数
.
但解决问题的实质在送贺年卡的张数的 奇偶
性上，因此与总人数无关。
由于是两人互送贺年卡，
给每人 分别标记送出贺年卡一次
.
那么贺年卡的总张数应能被
2
整
除，所以 贺年卡的总张数应是偶数。
送贺年卡的人可以分为两种：
一种是送出了偶数张贺年卡的人：他们送出贺年卡总和为偶数。
另一种是 送出了奇数张贺年卡的人：他们送出的贺年卡总数
=
所有人送出的贺年卡总数
-
所有送出了偶数张贺年卡的人送出的贺年卡总数
=
偶数
-
偶数
=< br>偶数。
他们的总人数必须是偶数，才使他们送出的贺年卡总数为偶数。
所以，送出奇数张贺年卡的人数一定是偶数。
练习三：
1.
如果两 个人通一次电话，每人都记通话一次，在
24
小时以内，全世界通话次
数是奇数的那些 人的总数为
____
。
（
A
）必为奇数，
（
B
）必为偶数，
（
C
）可能是奇数，也可能是偶数。
2.
一次 宴会上，客人们相互握手
.
问握手次数是奇数的那些人的总人数是奇数还是偶数。
< br>3.
有
12
张卡片，其中有
3
张上面写着
1
，有
3
张上面写着
3
，有
3
张上面写着
5
，有
3
张
上面写着
7
。你能否从中选出五张，使它们上面的数字和为
20
？为什么？
【例题
4
】
已知
a
、
b
、
c
中有一个是
5
，一个是
6
，一个是
7.
求证
a-1
，
b-2
，< br>c-3
的乘积
一定是偶数。
【思路导航】
a
、b
、
c
中有两个奇数、一个偶数，
a
、
c
中至少有一个是奇数，
a-1
，
c-3
中至少有一个是偶数。
偶数×整数
=
偶数，
（
a-1
）×（
b-2
）×（
c-3
）是偶数。
练习四
1. < br>如下页图，从起点始，隔一米种一棵树，如果把三块“爱护树木”的小牌分别
挂在三棵树上，那么不管怎样挂，
至少有两棵挂牌的树，
它们之间的距离是偶数
（以米为单位）< br>，
这是为什么？
2.
线段
AB
有两个 端点，一个端点染红色，另一个端点染蓝色
.
在这个
AB
线段中间插入
n
个交点，或染红色，或染蓝色，得到
n
＋
1
条小线段（不重叠的 线段）
.
试证：两个端点不同色
的小线段的条数一定是奇数。
3.
在中国象棋盘任意取定的一个位置上放置着一颗棋子“马”
，按中国象棋的走法，当棋
盘上没有其他棋子时，这只“马”跳了若干步后回到原处，问：
“马”所跳的步数是奇数还是
偶 数？
【例题
5
】
在圆周上有1987
个珠子，给每一珠子染两次颜色，或两次全红，或两次全蓝，
或一次红、一次蓝< br>.
最后统计有
1987
次染红，
1987
次染蓝
.< br>求证至少有一珠子被染上过红、蓝
两种颜色。
【思路导航】
假设没有 一个珠子被染上过红、
蓝两种颜色，
即所有珠子都是两次染同色
.
设
第一次染
m
个珠子为红色，第二次必然还仅染这
m
个珠子为红色
.< br>则染红色次数为
2m
次。
2m
≠
1987
（偶数≠奇数）
假设不成立。
至少有一个珠子被染上红、蓝两种颜色。
练习五
1.
桌上有9
只杯子，全部口朝上，每次将其中
6
只同时“翻转”
.
请说明 ：无论经
过多少次这样的“翻转”
，都不能使
9
只杯子全部口朝下。
2.
假设
n
盏有拉线开关的灯亮着，
规定每次拉动
（n-1
）
个开关，
能否把所有的灯都关上？
请证明此结论，或给出一种关 灯的办法。
3.
某校六年级学生参加区数学竞赛，试题共
40
道 ，评分标准是：答对一题给
3
分，答错
一题倒扣
1
分
.某题不答给
1
分，请说明该校六年级参赛学生得分总和一定是偶数。
第三部分：数学史话
哥德巴赫猜想
哥德巴赫
1742
年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于
2的偶数都可写成两
个质数之和。
但是哥德巴赫自己无法证明它，
于是就写信请教赫 赫有名的大数学家欧拉帮忙证
明，但是一直到死，欧拉也无法证明。因现今数学界已经不使用“
1
也是素数”这个约定，原
初猜想的现代陈述为：
任一大于
5
的整数 都可写成三个质数之和。
欧拉在回信中也提出另一等
价版本，即任一大于
2
的 偶数都可写成两个质数
之和。
今日常见的猜想陈述为欧拉的版本。
把命题< br>“任一充分大的偶数都可以表示成为一个素