五年级奥数—数的奇偶性(一)精编版
余年寄山水
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2021年01月29日 07:55
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第
7
讲
奇偶性（一）
整数按照能不能被
2
整除，可以分为两类：
（
1
）能被
2
整除的自然数叫
偶数
，例如
0
，
2
，
4
，
6
，
8
，
10
，
12
，
14
，
16
，…
（
2
）不能被
2整除的自然数叫
奇数
，例如
1
，
3
，
5
，
7
，
9
，
11
，13
，
15
，
17
，…
整数由小到大排列， 奇、偶数是交替出现的。相邻两个整数大小相差
1
，所以肯定是一奇一
偶。因为偶数能 被
2
整除，所以偶数可以表示为
2n
的形式，其中
n
为整数 ；因为奇数不能
被
2
整除，所以奇数可以表示为
2n+1
的形式，其 中
n
为整数。
每一个整数不是奇数就是偶数，
这个属性叫做这个数 的奇偶性。奇偶数有如下一些重要性
质：
（
1
）两个奇 偶性相同的数的和（或差）一定是偶数；两个奇偶性不同的数的和（或差）
一定是奇数。反过来，两个数 的和（或差）是偶数，这两个数奇偶性相同；两个数的和（或
差）是奇数，这两个数肯定是一奇一偶。< br>
（
2
）奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差） 是偶数。任意多个偶数
的和（或差）是偶数。
（
3
）两个奇数的乘积是奇数，一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数。
（
4
）若干个数相乘，如果其中有一个因数是偶数，那么积必是 偶数；如果所有因数都
是奇数，那么积就是奇数。反过来，如果若干个数的积是偶数，那么因数中至少有 一个是
偶数；如果若干个数的积是奇数，那么所有的因数都是奇数。
< br>（
5
）在能整除的情况下，偶数除以奇数得偶数；偶数除以偶数可能得偶数，也可能得< br>奇数。奇数肯定不能被偶数整除。
（
6
）偶数 的平方能被
4
整除；奇数的平方除以
4
的余数是
1
。
因为（
2n
）
2
=4
n
2=4
×
n
2
，所以（
2n
）
2
能被4
整除；
因为（
2n+1
）
2
=4n
2
+4n+1=4
×（
n
2
+n
）
+1
，所以（
2n+1
）
2
除以
4
余1
。
（
7
）相邻两个自然数的乘积必是偶数，其和必是奇数。
（
8
）
如果一个整数有奇数个约数
（包括
1和这个数本身）
，
那么这个数一定是平方数；
如果一个整数有偶数个约数，那么这 个数一定不是平方数。
整数的奇偶性能解决许多与奇偶性有关的问题。
有些问题表面看来似乎与奇偶性一点关
系也没有，
例如染色问题、
覆盖问题、
棋类问题等，
但只要想办法编上号码，
成为整数问题，
便可利用整数的奇偶性 加以解决。
例
1
下式的和是奇数还是偶数？
1+2+3+4+
…
+1997+1998
。
分析与解
：
本题当然可以先求出算式的和，
再来判断这 个和的奇偶性。
但如果能不计算，
直接分析判断出和的奇偶性，那么解法将更加简洁。根据奇偶 数的性质（
2
），和的奇偶性
只与加数中奇数的个数有关，与加数中的偶数无关。1
～
1998
中共有
999
个奇数，
999
是 奇
数，奇数个奇数之和是奇数。所以，本题要求的和是奇数。
例
2
能否在下式的□中填上“
+
”或“
-
”，使得等式成立？
1
□
2
□
3
□
4
□
5
□
6
□
7
□
8
□
9=66
。
分析与解
：等号左端共有
9
个数参加加、减运算 ，其中有
5
个奇数，
4
个偶数。
5
个奇
数的和或差 仍是奇数，
4
个偶数的和或差仍是偶数，因为“奇数
+
偶数
=
奇数”，所以题目的
要求做不到。
例
3
任意给出一个五位数，将组成这个五位数的
5
个数码的顺序任意改变，得到一个
新的五位数。那么，这两个五位数的和能不能等于
99999
？
1
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分析与解
：假设这两个五位数的和等于
99999
，则有下式：
其中组成两个加数的
5
个数码完全相同。因为两个个位数相加，和不会大于
9+9=18
，
竖式中和的个位数是
9
，所以个位相加没有向上进位，即两个 个位数之和等于
9
。同理，十
位、百位、千位、万位数字的和也都等于
9。所以组成两个加数的
10
个数码之和等于
9+9+9+9+9=45
，是奇数。
另一方面，因 为组成两个加数的
5
个数码完全相同，所以组成两个加数的
10
个数码之和，等于组成第一个加数的
5
个数码之和的
2
倍，是偶数。
奇数≠偶数，矛盾的产生在于假设这两个五位数的和等于
99999，所以假设不成立，即
这两个数的和不能等于
99999
。
例
4
在一次校友聚会上，久别重逢的老同学互相频频握手。请问 ：握过奇数次手的人
数是奇数还是偶数？请说明理由。
分析与 解
：通常握手是两人的事。甲、乙两人握手，对于甲是握手
1
次，对于乙也是握
手
1
次，两人握手次数的和是
2
。所以一群人握手，不论人数是奇数还是偶 数，握手的总次
数一定是偶数。
把聚会的人分成两类：
A
类是握手次数是偶数的人，
B
类是握手次数是奇数的人。
A
类中每人握手的次数都是偶数，所以
A
类人握手的总次数也是偶 数。又因为所有人握
手的总次数也是偶数，偶数
-
偶数
=
偶数，所以
B
类人握手的总次数也是偶数。
握奇数次手的那部分 人即
B
类人的人数是奇数还是偶数呢？如果是奇数，
那么因为
“奇
数 个奇数之和是奇数”，
所以得到
B
类人握手的总次数是奇数，与前面得到的结论矛盾， 所
以
B
类人即握过奇数次手的人数是偶数。
例
5
五（
2
）班部分学生参加镇里举办的数学竞赛，每张 试卷有
50
道试题。评分标准
是：答对一道给
3
分，不答的题，每道 给
1
分，答错一道扣
1
分。试问：这部分学生得分的
总和能不能确定 是奇数还是偶数？
分析与解
：
本题要求出这部分学生 的总成绩是不可能的，
所以应从每个人得分的情况入
手分析。因为每道题无论答对、不答或答错 ，得分或扣分都是奇数，共有
50
道题，
50
个奇
数相加减，
结果是偶数，
所以每个人的得分都是偶数。因为任意个偶数之和是偶数，所以这
部分学生的总 分必是偶数。
2