数的奇偶性
玛丽莲梦兔
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2021年01月29日 08:03
最佳经验
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小学辅导员工作总结-路由设置
带我们走进快乐的数学世界
第
1
讲
奇偶性（一）
在以前我们已经接触过奇数和偶数了。
对于奇数和 偶数已经源
源流长，
在实际生活中被广泛的应用。
因此我们要学好本节本领了。
规律：
1
、奇数±奇数
=
偶数
偶数±偶数
=
偶数
奇数±偶数
=
奇数
奇数
*
奇数
=
奇数
奇数
*
偶数
=
偶数
偶数
*
偶数
=
偶数
2
、连续两个整数中必是一个奇数和一个偶数。
3
、整数可以分成 奇数和偶数两大类
.
能被
2
整除的数叫做偶数，不能被
2
整 除的数叫做奇数。
偶数通常可以用
2k
（
k
为整数）表示，奇数则可以用
2k+1
（
k
为整
数）表示。
特别注意，因为
0
能被
2
整除，所 以
0
是偶数。
精典例题：
例
1
1+2+3+
…
+1993
的和是奇数？还是偶数？
分析
此题可以利用高斯求和公式直接求出和，再判别和是奇数，还是
偶数< br>.
但是如果从加数的奇、偶个数考虑，利用奇偶数的性质，同样可
以判断和的奇偶性.
此题可以有两种解法。
带我们走进快乐的数学世界
解法
1
：∵
1+2+3+
…
+1993
又∵
997
和
1993
是奇数，奇数×奇数
=
奇数，
∴原式的和是奇数。
解法
2
：∵
1 993
÷
2=996
…
1
，
∴
1
～
1993
的自然数中，有
996
个偶数，有
997
个奇数。
∵
996
个偶数之和一定是偶数，
又∵奇数个奇数之和是奇数，
∴
997
个奇数之和是奇数。
因为，偶数
+
奇数
=
奇数，
所以原式之和一定是奇数。
例
2
、
一个数分别与另外两个 相邻奇数相乘，所得的两个积相差
150
，
这个数是多少？
解法
1
：∵相邻两个奇数相差
2
，
∴
150
是这个要求数的
2
倍。
∴这个数是
150
÷
2=75
。
解法
2
：
设这个数为
x
，
设相邻的两个 奇数为
2a+1
，
2a-1
（
a
≥
1
）< br>.
则有
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（
2a+1
）
x-
（
2a-1
）
x=150
，
2ax+x-2ax+x=150
，
2x=150
，
x=75
。
∴这个要求的数是
75
。
例
3、有
7
个小碗全部朝上放在桌子上，每次翻转其中的
2
个，能否经过若干 次翻转，使
7
个小碗全部口朝下？
分析与解
：
盲目的试验 ，
可能总也找不到要领。
如果我们分析一下每次翻转后
杯口朝上的杯子数的奇偶性，就 会发现问题所在。
一开始杯口朝上
的杯子有
7
只，是奇数；第一次翻转后，杯 口朝上的变为
5
只，仍
是奇数；再继续翻转，因为只能翻转两只杯子，即只有两只杯子 改
变了上、下方向，所以杯口朝上的杯子数仍是奇数。类似的分析可
以得到，无论翻转多少次， 杯口朝上的杯子数永远是奇数，不可能
是偶数
0
。也就是说，不可能使
7只杯子全部杯口朝下。
例
4
、
有
m
（
m≥2
）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻
转其中的
（
m- 1
）
只杯子。
经过若干次翻转，
能使杯口全部朝上吗？
分 析与解
：当
m
是奇数时，（
m-1
）是偶数。由例
2
的分析
知，如果每次翻转偶数只杯子，那么无论经过多少次翻转，
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杯口朝上（下）的杯子数的奇偶性不会改变。一开始m
只杯
子全部杯口朝下，即杯口朝下的杯子数是奇数，每次翻转
（
m-1
）即偶数只杯子。无论翻转多少次，杯口朝下的杯子
数永远是奇数，不可能全部朝上。
当
m
是偶数时，（
m-1
）是奇数。为了直观 ，我们先从
m= 4
的情形入手观察，在下表中用∪表示杯口朝上，
∩
表示< br>杯口朝下，每次翻转
3
只杯子，保持不动的杯子用
*
号标记。
翻转情况如下：
由上表看出，只要翻转
4
次，并且依次保持第
1
，
2
，
3
，
4< br>只杯子不动，就可达到要求。一般来说，对于一只杯子，
要改变它的初始状态，需要翻奇数次。对 于
m
只杯子，当
m
是偶数时，因为（
m-1
）是奇数，所以 每只杯子翻转（
m-1
）
次，就可使全部杯子改变状态。要做到这一点，只需要翻转< br>m
次，并且依次保持第
1
，
2
，
…
，
m
只杯子不动，这样在
m
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次翻转中，每只杯子都有一次没有翻转，即都翻转了（
m-1
）
次。
综上所述：
m
只杯子放在桌子上，每次翻转（
m-1< br>）只。
当
m
是奇数时，无论翻转多少次，
m
只杯子不可能全部 改变
初始状态；当
m
是偶数时，翻转
m
次，可以使
m
只杯子全
部改变初始状态。
思维冲浪——我实践
时间：
辅导教师
:
1
、
1
×
2+3
×
4+5
×
6+
… …
+99
×
100
的结果是奇数还是偶数？为什么？
2
、（
1
）
2X+3Y=100
，其中
X
、
y
都是自然数，主是奇数还是偶数
（
2
）、
8a+5b=43
，其中
a
、
b
是自然数，
b
是奇数还是偶数？
带我们走进快乐的数学世界
3
、
任意取出
10
个连续的自然数，
它们的总和是奇数还是偶数？
4< br>、有
5
张扑克牌，正面向上，小明每次翻转其中的
4
张。那么他能在翻
动若干次后，使
5
张牌的正面都向下吗？
4
、放学回家，把原来开着的开关连续按了
7
次，这时灯是否亮着？
5
、房间有
6
盏灯全部关着，每 盏灯都有一个开关，每次拨动其中的
5
个开关，要使
6
盏灯全部点亮，你能做 到吗？如果能做到要拨动多少
次？
第二讲
奇偶性（二）
例
1
用
0
～
9
这十个数码组成五个两位数，
每个数字只用
一次，要求它们的和 是奇数，那么这五个两位数的和最大是
多少？
分析与解
：有时题目的要求比较多，可先考虑满足部分
要求，然后再调整，使最后结果达到全部要求。
这道题的几个要求中，
满足
“
和最大
”
是最容易的。
暂时不
考虑这五个数的和是奇数的要求。