整数的奇偶性和整除性
玛丽莲梦兔
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2021年01月29日 08:07
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数学竞赛数论辅导
王顺吉
整数的奇偶性和整除性
所为整数的奇偶性就是利用整数的 奇数、
偶数的特征和性质解决问题
和分析问题。
关于奇数和偶数有如下性质：
1.
奇数
+
奇数
=
偶数；奇数
+
偶数
=
奇数；偶数
+
偶数
=
偶数。
2.
两个数之和是奇（偶）数，则这两个数的奇偶性相反（同）
。
3.
若干个整数之和为奇数，则这些数中必有奇数，且奇数的个数为
奇数个；
若 干个整数之和为偶数，
则这些整数中若有奇数，
奇数的个数必
为偶数个。
4.
奇数
奇数
=
奇数；奇数
偶数< br>=
偶数；偶数
偶数
=
偶数。
5. 若干个整数之积为奇数，则这些数必为奇数；若干个整数之积为
偶数，则这些数中至少有一个为偶数 。
6.
若
a
是整数，则
a
与
a
有相同的奇偶性。
7.
若
a
、
b
是整数，则
a
b
与
a
b
奇偶性相同。
例
1
：设
n
为奇数，
a
1
,
a
2
,
,
a
n
是
1
,
2
,
,
n
的任意一个排列，证明：
(
a
1
1
)(
a
2
2
)(
a
3
3
)
(
a
n
n
)
必为偶数。
整数的整除性是初等数论的基本内容，
虽然它的性质较为简单，
但它的解
题往往需要一定的技巧。因此在各类数学竞赛中占有一定的比 例。
定义：
设
a
、
b
是整 数，
且
b
0
，
如果存在整数
q
使得a
bq
，
则称
b
整除
a
，或称a
被
b
整除。记作
b
|
a
。否则，称
b
不整除
a
，记作
b
˧
a
。
数学竞赛数论辅导
王顺吉
显然，
1
能整除任意数；
0
能被任意数整除。
性 质
1
：设
a
,
b
,
c
是整数，
1
）
a
|
a
；
2
）若
a
|
b
，
b
|
c
，则
a
|
c
；
3
）若
a
|
b
，
a
|
c
，则对任意的整数
m
,
n
，有
a
|
bm
cn。
性质
2
：
若在等式
a
b
i
i
1
j
1
n
n
j
中，
除某一项外，
其余各项都能被
c
整除，
则这一项也能被
c
整除。
性质
3
：
1
） 若
(
a
,
b
)
1
，且
a
|
bc
，则
a
|
c
；
2
）若
(
a
,
b
)
1
且
a
|
c
,
b
|
c
，则
ab
|
c
；
3)
设
p
是素数，若
p
|
ab
，则
p
|
a
或
p
|
b
。
例
2
：试求方程
2
x
y
3
x
y
的正整数解。
例
3
：设
a
,
b
,
c
是三个互不相等的正整数，求证
2
2
2< br>a
3
b
ab
3
,
b
3
c
bc
3
,
c
3
a
ca
3
三个数中至少有一个你能被
10
整除。