数学竞赛中的数论问题 (习题部分)
玛丽莲梦兔
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2021年01月29日 08:11
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数学竞赛中的数论问题
第二部分
数论题的范例讲解
主要讲几个重要类型：奇数与偶数，约数与倍数（素数与合数）
，平方数，整除，同余，
不定方程，
数论函数等．
重点是通过典型范例来分析解题思路、
提炼解题方法和巩固 基本内
容．
一、奇数与偶数
整数按照能否被
2
整除可以分为两类，一类余数为
0
，称为偶数，一类余数为
1
，称为
奇数．偶数可以表示为
2
n
，奇数可以表示为
2
n
1
或
2
n
1
．一般地，整数被正整数
m
去
除，
按照余数可以分为
m
类，
称为模
m
的剩余 类
C
i
x
x
i
modm
，
从每类中各取出
一个元素
a
i
C
i
，可得模
m
的完全剩余系（剩余类派出的一个代表团）
，0,1,2,
L
,
m
1
称
为模
m< br>的非负最小完全剩余系
.
通过数字奇偶性质的分析而获得解题重大进展的技巧，常称作 奇偶分析，这种技巧与
分类、染色、数字化都有联系，在数学竞赛中有广泛的应用．
关于奇数和偶数，有下面的简单性质：
（
1
）奇数
偶数．
（
2
）偶 数的个位上是
0
、
2
、
4
、
6
、
8
；奇数的个位上是
1
、
3
、
5
、
7、
9
．
（
3
）奇数与偶数是相间排列的；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；．
（
4
）奇数个奇数的和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；偶数跟 奇数的和是奇数；
任意多个偶数的和是偶数．
（
5
）除
2
外所有的正偶数均为合数；
（
6
）相邻偶数的最大公约数为
2
，最小公倍数为它们乘积的一半．
（
7
）偶数乘以任何整数的积为偶数．
（
8
）两 数和与两数差有相同的奇偶性，
a
b
a
b< br>
mod2
．
（
9
）乘积为奇数的充分必要条件是各个因数为奇数．
（
10
）
n
个偶数的积是
2
的倍数．
< br>（
11
）
1
1
的 充分必要条件是
k
为偶数，
1
1
的充分必要条件是
k
为
奇数．
（
12
）
2
n
0
mod
4
,
2
n
1
1
mod
4
,
2
n
< br>1
1
mod8
．
（
13
）任何整数都可以表示为
n
2
……
例
1
（
1906
，匈牙利）假设
a
1< br>,
a
2
,
L
,
a
n
是
1,
2,
L
,
n
的某种排列，证明：如果
n
是奇
数，则乘积
a
1
1
a
2
2
L
a
n
n
m
2
2
2
k
k
n
2
k
1
．
1
是偶数．
类似题：
例< br>1-1
（
1986
，英国）设
a
1
,
a2
,
L
,
a
7
是整数，
b
1
,
b
2
,
L
,
b
7
是它们的一个排列，证 明
a
1
b
1
a
2
b
2
L
a
7
b
7
是偶数．
（
a
1
,
a
2
,
L
,
a
7
中奇数与偶数个数不等）
例
1-2
的前
24
位数字为
< br>
3.979323846264
，记
a
1
,
a2
,
L
,
a
24
为该
24
个数字的任 一排列，求证
a
1
a
2
a
3
a
4
L
a
23
a
24
必为偶数．
（暗藏
3,1,4,1,5,9 ,2,6,5,3,5,8,9,7,9,3,2,3,8,4,6,2,6,4
中奇数与偶数个数不等 ）
例
2
能否从
1,2,
L
,15
中选出
10
个数填入图的圆圈中 ，
使得每两个有线相连的圈中的
数相减（大数减小数）
，所得的
14
个差恰好为
1,2,
L
,14
？
2
例
3
有一大筐 苹果和梨分成若干堆，如果你一定可以找到这样的两堆，其苹果数之和与梨
数之和都是偶数，问最少要把 这些苹果和梨分成几堆？
例
4
有
n
个
数
x
1
,
x
2
,
L
,
x
n
1
,
x
n
，
它
们
中
的
每
一
个
要
么
是
1
，
要
么
是
1
．
若
x
1
x
2
x
2
x
3
L
L
x
n
1
x
n
x
n
x
1
0
，求证
4
|
n
．
例
5
n
个整数
a
1
,
a
2
,
L
,
a< br>n
1
,
a
n
，其积为
n
，其和为
0
，试证
4
|
n
．
例
6
在数轴上给定两点
1
和
2
，在区间
(1,
2)内任取
n
个点，在此
n
2
个点中，每相
邻两 点连一线段，可得
n
1
条互不重叠的线段，证明在此
n
1
条线段中，以一个有理点和
一个无理点为端点的线段恰有奇数条．
3
二、约数与倍数
最大公约数与最小公倍数的求法．
（
1
）短除法．
（
2
）分解质因数法．设
a
p
1
1
p
2
2
L
p
k
k
,
i
0,
i
1,
2 ,
L
,
k
，
b
p
1
1
p
2
2
L
p
k
k
,
i
0,
i
1,
2,< br>L
,
k
．
记
< br>i
min
i
,
i
,
i
max
i
,
i
，
则
a
,
b
p
1
1
p
22
L
p
k
k
，
a
,
b
p
1
1
p
2
2
L
p
k
k
．
（
3
）辗转相除法
a
,
b
b
,
r
r
1
,
r
2
L
r
n
1
,
r
n
r
n
,0
r
n
．
例
7
（
1
）求
838 1
,1015
，
8381
,1015
；
（
2
）
144,180,108
，
144,180,108
．
例
8
正整数n
分别除以
2,3,4,5,6,7,8,9,10
得到的余数依次为
1 ,2,3,4,5,6,7,8,9
，
则
n
的最小值为
．
．
例
9
有两个容器，一个容量为
27
升，一个容量为
15
升，如何利用它们从一桶油中倒
出
6
升油来？
4
例
10
对
每一
个
n
2
，
求
证
存
在n
个
互
不
相
同
的
正
整
数a
1
,
a
2
,
L
,
a
n，
使
a
i
a
j
a
i
a
j
，对任意的
i
,
j
1
,2,
L
,
n
,
i
j
成立 ．
例
11
1959,
IMO
21< br>n
4
1
1
证明对任意正整数
n
，分数
14
n
3
不可约．
例
12
不存在这样的多项式
f
n
a
m
m
1
m
n
a
m
1
n
L
a
1
n
a
0
，
使得对任意的正整数
n
，
f
n
< br>都是素数．
．
5
三、平方数
若
a
是整数，则
a
就叫做
a
的完全平方数，简称平方数．
1
．平方数的简单性质
（
1
）平方数的个位数只有
6
个：
0,1,4,5.6.9
．
（
2
）平方 数的末两位数只有
22
个：
00
，
01
，
21，
41
，
61
，
81
，
04
，
24
，
44
，
64
，
84
，
25
，
16
，
36
，
56
，
76
，
96
，
09
，
29
，
49
，
69
，
89
．
（
3
）
2
n
0
mod
4
,
2
n
1
1
mod
4
．
（４）
2
n
1
< br>
1
mod8
．
（
6
）凡是不能被
3
整除的数，平方后被
3
除余
1
．
（
7
）在两个相邻整数的平方数之间，不能再有平方数．
（
8
）非零平方数的约数有奇数个．
（
9
）直角 三角形的三边均为整数时，我们把满足
a
b
c
的整数< br>
a
,
b
,
c
叫做勾股
2
2
2
2
2
2
2
数．勾股数的公式为
a
m
2
n
2
,
b
2
mn
,
c
m
2
n
2
,
其中
m
,
n
为正整数，
m
,
n
1
且
m
,
n
一奇一偶．这个公式可给出全部素勾股数．
2
．平方数的证明方法
（
1
）反证法．
（
2
）恒等变形法．
（
3
）分解法．设
a
为平方数，且
a
bc
，
b
,
c
1
，则
b
,
c
均为平方数．
（
4
）约数法．证明该数有奇数个约数．
3
．非平方数的判别方法
（
1
）若
n
x
n
1
，则
x
不是平方数．
2
2
（
2
）约数有偶数个的数不是平方数．
（< br>3
）个位数为
2
，
3
，
7
，
8的数不是平方数．
（
4
）同余法：满足下式的数
n
都不是平方数．
n
2
mod3
，
n< br>
2
或
3
mod4
，
n
2
或
3
mod5
，
n
2
或
3
或
5
或
6
或
7
mod8
，
6
n< br>
2
或
3
或
7
或
8
mo d10
．
（
5
）末两位数不是：
00
，
01
，
21
，
41
，
61
，
8 1
，
04
，
24
，
44
，
64
，
84
，
25
，
16
，
36
，
56
，
76
，
96
，
09
，
29
，< br>49
，
69
，
89
．如
个位数与十位数都是都是奇数的数，
个位数是
6
、而十位数是偶数的数．
例
13
有
100
盏电灯，排成一横行，从左到右，我们给电灯编上号码
1
，
2
，…，
99
，
100
．每盏灯由一个拉线开关控制着．最 初，电灯全是关着的．另外有
100
个学生，第一个
学生走过来，
把凡是号码 为
1
的倍数的电灯的开关拉了一下；
接着第
2
个学生走过来，
把凡
是号码为
2
的倍数的电灯的开关拉了一下；
第
3
个学 生走过来，
把凡是号码为
3
的倍数的电
灯的开关拉了一下，
如此等等 ，
最后那个学生走过来，
把编号能被
100
整除的电灯的开关拉
了一 下，这样过去之后，问哪些灯是亮的？
例
14
已知直角 三角形的两条直角边分别为正整数
a
,
b
，
斜边为正整数
c
，
若
a
为素数，
求证
2
a
< br>b
1
为平方数．
例
15
求证，任意
3
个连续正整数的积不是平方数．
7