因数与倍数应用题答案
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2021年01月29日 14:15
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因数与倍数应用题答案
一、求因数的个数类应用题
1
、筐内有
96
个苹果， 如果不一次拿出，也不一个一个地
拿，要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少，
共 有多少种拿法？
分析解答：依题意，每次拿出的苹果数×拿的次数
=9 6
，
这个等式说明了什么呢？说明了每次拿的苹果数和拿的次
数是
96
的因数（或约数）
，这样一分析，我们就知道解答此
题实际上是要求
96
的 因数分个数有多少个。
96=3
×
25
，因因数个数定理公式 知：
96
的因数个数是：
（
1+1
）×（
5+1
）
=12
个；
12
个因数包括了
1
和
96
这两个因数，题目要求不能一次
拿完，即：
1
次×
96
个
=96
个，这种情况要排除；同时也不
能一个一个地拿，即：
96
次×
1
个
=96
个也要排除；
所以共有：
12
—
2=10
（种）拿法。
2
、
（
1996
年日本算术奥林匹克竞赛）有
50
张卡片，分 别
写着
1
—
50
这
50
个数字，正反两面写的数字 相同，卡片一
面是红，一面是蓝，某班有
50
名学生，老师把
50
张 卡片中
蓝色的一面朝上摆在桌子上，对同学们说：
“请你们按学号
顺序逐个到前面来翻 卡片，规则是：凡是卡片上的数是自己
学号的倍数，就把它翻过来，蓝翻红，红翻蓝”
，那么当 每
个同学都翻完后，红色朝上的卡片有几张？
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分析解答：由“凡是卡片上的数是学号的倍数，把它翻过
来”知道，卡片翻几次的由卡片上的数的因数个数决定的，
卡片上的数的因数个数是几，就翻动 几次。那么一张卡片翻
动几次红色朝上呢？我们需要找规律，
怎样找规律呢？老师
讲过 ——从特殊到一般找规律。我们要一下找出
50
张卡片
的规律有困难，
我们只 研究一张卡片。
开始时是
“蓝色朝上”
——翻动一次，红色朝上；——翻动两次蓝色朝 上（还原到
原来的状态）
——翻动
3
次又的红色朝上——翻动
4次蓝色
朝上……；
从中找到规律：
翻动奇数次的卡片是红色朝上的；
翻动 偶数次的卡片是蓝色朝上。下面思考，
1
——
50
这
50
个 数中那些数的因数个数是奇数？我们学习了因数的个数
定理：一个完全平方数的因数是奇数个，其它的数 的因数是
偶数个
（包括
1
和自身因数）
，
这样问题就得到了 解决，
看
1
——
50
中那几个数是完全平方数，显然只有：
1
，
4
，
9
，
16
，
25
，36
，
49
。下面的问题就是怎么叙述解答过程，
关于怎么叙述问题，这是现在五年级学生面临的一个难
点，因为此题的解答过程包含证明推理，而命题 的证明要到
初中二年级才开始学习。
为了家长帮助学生建立这方面的能
力，
什 么是推理和证明？推理是反映从已知判断得出新的判
断的思维形式。一般地讲逻辑推理只有两种形式，即 ：假设
判断——如果
A
推出
B
（大前提）
，如果有A
这个条件（小
前提）
，则必定有
B
（结论）
；第二种 形式就是选言判断，或
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者
B成立或者
B
的否定成立（大前提）
，如果
B
的否定不成
立，
（小前提）
，则必有
B
成立（结论）
。数学问题解答过程
虽然不必规定唯一的叙述形式，但应有统一的要求，即叙述
形式应合乎逻辑。五年级学生没有学习命题 的证明，只要能
够把推理的过程说清楚就可以了，
现在说明推理的过程是有
一定的困难 ，不要紧，从现在去慢慢练习，也为上中学作准
备。下面叙述如下：
解 答示范：每张卡片翻动奇数下红色朝上，根据规则，凡
是卡片上的数是学生学号的倍数，就把卡片翻动一 次。也就
是
1
—
50
这
50
个数它有多少个因数， 卡片就翻动它的因数
个次数。因为完全平方数的因数个数是奇数，
1
——
50
中完
全平方数“
1
，
4
，
9
，
1 6
，
25
，
36
，
49
”的因数是奇数个，
这些卡片被翻动了奇数次，所以，红色卡片朝上的一共有
7
张，它们分别是：写有数的“1
，
4
，
9
，
16
，
25
，
36
，
49
”
卡片。
3
、在
100
至
300
之间，只有三个因数的数是多少？
分析及解答：通过上面一题的解答，我们知道“完全平方
数的因数个数是奇数个”
，
100
至
300
之间的数的因数个数只
有
3个的数一定是完全平方数。
但要清楚是不是完全平方数
的因数都是
3
个呢 ？我们研究一下，
42=16
是完全平方数，
它的因数个数是：
42=24< br>，根据学习过的因数个数定理：
16
的因数个数是：
4+1=5
个。同 学们发现什么规律没有？——
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只有质 数的平方的数的因数是
3
个，如
22
，
32
，
，< br>52
，
72
，
112
，
132
，……，我们 把问题转化为求“
100
至
300
之间有
那几个数是质数的平方的数 ”
。
解答：因为只有质数的平方的数的因数是
3
个， 在
100
至
300
之间只有
7
个完全平方数：
11 2
，
122
，……
172
，但只有
11
，
13
，
17
是质数。所以只有
112=121
，
132=1 69
，
172=289
这三个数的因数是
3
个。
二、分解质因数类应用题
1
、有
4
个小朋友，他们的 年龄恰好一个比一个大
1
岁，
并且他们年龄的乘积是
360
，那么其 中年龄最大的一个是多
少岁？
分析解答——像这种题，有的地方中考都 出过，主要考察
学生灵活运用知识的能力。
对于小学生此题解答的思考不会
出现干扰， 但中学生因为方程的知识比较牢固，认为问题中
的数量关系明显，列方程解答一定能够解出来。设
4
个人的
年龄分别是：
X
，
X+1
，
X+2
，
X+3
列方程是：
X
（
X+1
）
（
X+2
）
（
X+3
）
=360
，
< br>这个方程是高次方程，一般中学生是解不出
来，只有学习了奥数的同学才有办法解答。下面用学习 过小
学奥数“转化的思想”老师解答一下，再次说明，学习数学
要学习数学方法，看看小学奥数 学习过的“转化数学思想”
的作用。
X
（
X+1
）< br>（
X+2
）
（
X+3
）
=360
，
高次方程我们通过转化—
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—把它转化学习过的知识处理：初中一元二次方程。
原方程变形为：< br>（
X2+3X
）
（
X2+3X+2
）—
360=0< br>；
（
X2+3X
）
2
+2
（
X2+3X
）—
360=0
上面转化为我们学习过的一元二次方程了，
这中关键的一
步。
设：
（
X2+3X
）
=Y
，
即：
Y2+2Y
—
360=0
，
解答
Y1=
—
20
（舍去）
，
Y2=18
；
< br>因假设知：
（
X2+3X
）
=18
，解这个一元二次方程：< br>X1=
—
6
（舍去）
，
X2=3
这样
4
个人年龄中最大的是：
X+3=6
岁。
方法二，分解质因数方法
从上面解答过程看，用代数的方法解答过程是 复杂的，有
时，在解答数学问题中，算术方法更为简便。这在中学处理
有些问题中也经常用到。 特别是在解答选择和填空题时。
360=23
×
32
×
5
；
然后按 照题意，
把上面分解后的
6
个数进行组合成为
4
个
数的乘积 ，即：
360=3
×
4
×
5
×
6
；
显然最大的年龄是
6
岁。
2
，某班王老师带领全班同 学去植树，学生恰好平均分成
三组，如果老师与同学每人植树一样多，则共植树
572
棵，
那么这个班有学生多少人，每人植树多少棵？
分析解答——依题意知道
，
植树总数
=
每人植树棵数×师
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