常用数学定理(绝对有用!)
余年寄山水
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2021年01月29日 14:17
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三角函数部分定理
1.
正弦定理：
a
b
c
R
（其中
R
为三角形外接圆半径）．
2
sin
A
sin
B
sin
C
2
．余弦 定理：
a
=b
+c
-2bccosA;b
=c
+a
-2accosB
；
c
=a
+b
-2abcosC
3.
三角形面积公式三角函数形式：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
几何部分定理
1.
广勾股定理：在任一三角形中，
(1 )
锐角
对边的平方，等于两夹边的平方和，减去某夹边和另一夹边在此边上的投影乘积的两倍．
(2)
钝角
对边
的平方，等于两夹边的平方和，加上某夹边与另一 夹边在此边延长上的投影乘积的两倍．
证明：设△
ABC
中，
BC
是锐角
A
的对边．作
CH
⊥
AB
于
H，
根据勾股定理：
BC^2 = BH^2 + CH²
而
BH = AB-AH , CH^2 = AC^2 - AH^2
带入后有：
BC^2 = (AB-AH)^2 + AC^2 - AH^2
简化后：
BC^2 = AB^2 +AC^2 -2AB·
AH
钝角时的证明如下，与上面有点类似：
BC^2 = BH^2 + CH^2
而
BH=AB+AH,CH^2 = AC^2 - AH^2
同理：
BC^2 = (AB+AH)^2 + AC^2 - AH^2
简化后：
BC^2 = AB^2 +AC^2 +2AB·
AH
2
．中线定理：设△
ABC
的边
BC
的中点为，则有
中线长：
m
a
2
b
2
2
c
2
a
2
2
3.
角平分线定理
（
1
）定理
1
角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
逆定理：在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
（
2
）
定理
2
三角形一个角的平分线与其对边所成的两条 线段与这个角的两边对应成比例。
AB:AC=BD:CD
（
3
）角平分线长公式：
第一形式
在△
ABC
中，∠
A
的角平分线记为
，∠
B
的角平分线记为
，∠
C
的角平分线记为
，三
边边长为
a
、
b
、
c
，则
其中
p
是半周长。
第二形式
三角形
ABC
的角平分线为
AD
，D
在
CB
上。则
第三形式
△
ABC
中，角平分线
4.
斯特瓦尔特
(Stewart)
定理：设已知△
ABC
及其底边上
B
、
C
两点间的一点
D
，
则有
AB
·
DC
+
AC
·
BD
－
AD
·
BC
＝< br>BC
·
DC
·
BD
．
2
2
2
sin
BAC
sin
BAD
sin
DAC
AD
AC
AB
5.
张角定理：
用三角形面积公式正弦形式可证
1