认识平面几何的61个著名定理
玛丽莲梦兔
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2021年01月29日 14:26
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【认识平面几何的
61
个著名定理，自行画出图形来学习，★部分要求证明出来】
★
1
、勾股定理（毕达哥拉斯定理）
★
2
、射影定理（欧几里得定理）
★
3
、三角形的三 条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成
2
：
1
的两部分
4
、四边形两边中心的连线和两条对角线中心的连线交于一点
5
、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
★
6
、三角形各边的垂直平分线交于一点。
★
7
、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点
8
、设三角形
ABC
的外心为
O
，垂心为
H
，从
O
向
BC
边引 垂线，设垂足不
L
，则
AH=2OL
9
、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。
10
、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆 ）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以
及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在 同一个圆上，
11
、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上
12
、库立奇大上定理：（圆内接四边形的九点圆）
圆周上有四点，过其中 任三点作三角形，这四个
三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内 接四边形的九点圆。
★
13
、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：
r
s
a
s
b
s
c
，
s
为三角形周长的一半
s
★
1 4
、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点
15
、中线定理：（巴布斯定理）设三角形
ABC< br>的边
BC
的中点为
P
，则有
AB
2
+AC< br>2
=2(AP
2
+BP
2
)
16
、
斯图尔特定理：
P
将三角形
ABC
的边
BC
分成
m
和
n
两段，
则有
n×
AB
2
+m×
AC
2
=BC×
（
AP
2
+mn
）
17
、波罗摩及多定理：圆内接四边形
ABCD
的对角线互相垂直时，连接
AB
中点
M
和对角线交 点
E
的直线垂直于
CD
18
、阿波罗尼斯定理：到两定点
A
、
B
的距离 之比为定比
m:n
（值不为
1
）的点
P
，位于将线段
AB
分
成
m:n
的内分点
C
和外分点
D
为直径两端点的定圆周上
★
19
、托勒密定理：设四边形
ABCD
内接于圆，则有
AB×CD+AD×
BC=AC×
BD
★
20
、以任意三角形
ABC
的边
BC
、
CA
、
AB
为底边，分别向外作底角都是
30
度的等腰△
B DC
、△
CEA
、△
AFB
，则△
DEF
是正三角 形，
21
、爱尔 可斯定理
1
：若△
ABC
和△
DEF
都是正三角形，则由线 段
AD
、
BE
、
CF
的重心构成的三角
形也是正三 角形。
22
、爱 尔可斯定理
2
：若△
ABC
、△
DEF
、△
GHI
都是正三角形，则由三角形△
ADG
、△
BEH
、△
CFI
的重心构成的三角形是正三角形。
★
23
、梅涅劳斯定理：设△
ABC
的三边
BC
、
CA
、
AB
或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线
的交点分别为
P
、
Q
、
R
则有
BP/PC×
CQ/QA×
AR/RB=1
★
24
、梅涅劳斯定理的逆定理：（略）
★
25
、梅涅劳斯定理的应用定理
1
：设△
ABC
的∠
A
的外角平分线交边
CA
于
Q
、∠
C
的平分线交边
AB
于
R
，、∠< br>B
的平分线交边
CA
于
Q
，则
P
、
Q
、
R
三点共线。
★
26
、梅涅劳斯定理的应用定理
2
：过任意△
ABC
的三个顶点
A
、
B
、
C
作它的外接圆的切线 ，分别
和
BC
、
CA
、
AB
的延长线交于点
P
、
Q
、
R
，则
P
、
Q
、R
三点共线
★
27
、塞瓦定理：设△
ABC
的三个顶点
A
、
B
、
C
的不在三角形的边或它们的延长线上的一点
S
连接
面成 的三条直线，分别与边
BC
、
CA
、
AB
或它们的延长线交 于点
P
、
Q
、
R
，则
BP/PC×
CQ/ QA×
AR/RB=1.
★
28
、塞瓦定理的应用定理：设平行于△
ABC
的边
BC
的直线与两边
AB
、
AC
的交点分别是
D
、
E，
又设
BE
和
CD
交于
S
，则
AS< br>一定过边
BC
的中心
M
★
29
、塞瓦定理的逆定理：（略）
★
30
、塞瓦定理的逆定理的应用定理< br>1
：三角形的三条中线交于一点
★
31
、塞瓦定理的逆定理的应用定理
2
：设△
ABC
的内切圆和边
BC
、
CA
、
AB
分别相切于 点
R
、
S
、
T
，则
AR
、
BS< br>、
CT
交于一点。
★
32
、西摩松定理：从△
ABC
的外接圆上任意一点
P
向三边
B C
、
CA
、
AB
或其延长线作垂线，设其
垂足分别是
D
、
E
、
R
，则
D
、
E
、R
共线，（这条直线叫西摩松线）
★
33
、西摩松定理的逆定理：（略）
34
、史坦纳定理：设△
ABC
的垂心为
H
，其外接圆的任意点
P
，这时关于△
ABC
的点
P
的西摩松线
通过线段
PH
的中心。
35
、史坦纳定理的应用定理：△
ABC
的外接圆上的一点
P
的关于边
BC
、
CA
、
AB
的对称点和△
ABC
的垂心
H
同在一条（与西摩松线平行的） 直线上。这条直线被叫做点
P
关于△
ABC
的镜象线。
36
、波朗杰、腾下定理：设△
ABC
的外接圆上的三点为
P
、
Q
、
R
，则P
、
Q
、
R
关于△
ABC
交于一点
的 充要条件是：弧
AP+
弧
BQ+
弧
CR=360
°的倍数< br>