圆的重要定理
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2021年01月29日 14:30
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切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
以及与圆有关的比例线段
【课前测试】
1. PT
切⊙O
于
T
，
CT
为直径，
D
为
OC上一点，直线
PD
交⊙O
于
B
和
A
，
B
在线段
PD
上，若
CD
＝
2
，
AD＝
3
，
BD
＝
4
，则
PB
等于（
）
A. 20 B. 10 C. 5 D.
【知识点回顾】
1.
切线长概念
切 线长是在经过圆外一点的圆的切线上，
这点和切点之间的线段的长度，
“切线长”是切线上一条 线段的长，
具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
2.
切线长定理
对于切线长定理，应明确（
1
） 若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；
（
2
）若已知两条切线平行，则圆
上两个切点的连线为直径；
（
3
）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到 一个等腰三角形；
（
4
）经过
圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点 的两个半径的夹角互补；
（
5
）圆外一点与圆心的连线，平分过这
点向圆引的 两条切线所夹的角。
3.
弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线
AB
切⊙O
于
P
，
PC< br>、
PD
为弦，图中几个弦切角呢？（四个）
4.
弦切角定理：
弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.
弄清和圆有关的角：
圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.
遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.
与圆有关的比例线段
定理
图形
已知
结论
证法
相
交弦
定
⊙O
中，
AB
、
CD
为弦，交
P A·PB＝PC·PD
.
连
结
AC
、
BD
，证
：
理
于
P.
△APC∽△DPB
.
相
交
弦
定
理的推论
⊙O
中，
AB
为直径，
CD⊥AB
PC
＝PA·PB
.
于
P.
2
用相交弦定理
.
1
切
割
线
定
理
⊙O
中，
PT
切⊙O
于
T
，
PT
＝PA·PB
割线
PB
交⊙O
于
A
2
连
结
TA
、
TB
，
证
：
△PTB∽△PAT
切
割
线
定
理推论
PB< br>、
PD
为⊙O
的两条割线，
PA·PB＝PC·PD
交⊙O
于
A
、
C
过
P
作
PT< br>切⊙O
于
T
，
用
两次切割线定理
圆幂定理
⊙O
中，
割线
PB
交⊙O
于
P'C·P'D
＝
r
－
延长
P'O
交⊙ O
于
M
，延
2
A
，
CD
为弦
OP'
长
OP'
交⊙O
于
N
，
用相交
2
2
PA·PB＝
OP
－
r
弦定理证；
过
P
作切线用
r
为⊙O
的半径
切割线定理勾股定理证
2
8.
圆幂定理：
过一定点
P
向⊙O
作任一直线，
交⊙O
于两点，
则 自定点
P
到两交点的两条线段之积为常数
|
|
（
R
为圆半径）
，因为
叫做点对于⊙O
的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
【典型例题】
例
1.
如图
1
，正方形
A BCD
的边长为
1
，以
BC
为直径。在正方形内作半圆
O< br>，过
A
作半圆切线，切点为
F
，交
CD
于
E
，求
DE
：
AE
的值。
图
1
解：
由切线长定理知：
AF
＝
AB
＝
1
，
EF
＝
CE
设
CE
为
x
，在
Rt△ADE
中， 由勾股定理
∴
，
，
例
2.
⊙O
中的两条弦
AB
与
CD
相交于
E
，若
AE
＝
6cm
，
BE
＝
2cm
，
CD
＝
7cm
，那么
CE
＝
_________cm
。
2
图
2
解：
由相交弦定理，得
AE·BE＝CE·DE
∵AE＝
6cm
，
BE
＝
2cm
，
CD
＝
7cm
，
，
∴
，
即
∴CE＝
3cm
或
CE
＝
4cm
。
故应填
3
或
4
。
点拨：
相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。
例
3.
已知
PA
是圆的切线，
PCB
是圆的割线，则
解：
∵∠P＝∠P
∠PAC＝∠B，
∴△PAC∽△PBA，
∴
，
________
。
∴
。
又∵PA
是圆的切线，
PCB
是圆的割线，由切割线定理，得
∴
，
即
，
故应填
PC
。
点拨：
利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。
【课间谜语】
经典谜语
1
：生在娘家青之绿叶，生在婆家黄皮寡瘦。
不提便罢，一提泪水连连。
经典谜语
2
：溪壑分离，红尘游戏，真何趣？名利犹虚，后事终难继。
例
4.
如图
3
，
P
是⊙O
外一点，
PC
切⊙O
于点
C
，
PAB
是⊙O
的割线，交⊙O
于
A
、
B
两点，如果
PA
：
PB
＝
1
：
4
，
PC
＝
12cm
，⊙O
的半径为
10cm
，则 圆心
O
到
AB
的距离是
___________cm
。
3
解：
∵PC
是⊙ O
的切线，
PAB
是⊙O
的割线，且
PA
：
PB< br>＝
1
：
4
∴PB＝
4PA
又∵PC＝
12cm
由切割线定理，得
∴
∴
，
∴
∴PB＝4×6＝
24
（
cm
）
∴AB＝
24
－
6
＝
18
（
cm
）
设圆心
O
到
AB
距离为
d cm
，
由勾股定理，得
故应填
。
例
5.
如图
4
，
AB
为⊙O
的直径，过
B
点作⊙O
的切线
BC< br>，
OC
交⊙O
于点
E
，
AE
的延长线交BC
于点
D
，
（
1
）求证：
；
（2
）若
AB
＝
BC
＝
2
厘米，求
CE
、
CD
的长。
点悟：
要证
证明：
（
1
）连结
BE
，即要证△CED∽△CBE。
（
2
）
。
又∵
，
∴
厘米。
点拨：
有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。
例
6.
如图
5
，
AB
为⊙O
的直径，弦
CD∥AB，
AE
切⊙O
于
A
，交CD
的延长线于
E
。
4