圣诞主持词-父爱是

2021年1月29日发(作者：一缕幽情在梦中)

平面几何中几个重要定理及其证明

一、塞瓦定理

1
．塞瓦定理及其证明

定理
：
在

ABC
内一点
P
，
该点与

ABC
的三个顶点相连所在的三条直 线分别交

ABC
三边
AB
、
BC
、
CA
于点
D
、
E
、
F
，且
D
、
E
、
F
三点均不是

ABC
的顶点，则有











AD
BE
CF



1
．

DB
EC
FA
．

D
B
A
AD
S

ADP
S

ADC


证明
：
运用面积比可得
DB
S

BDP
S

BDC
根据等比定理有

F
P
C
S

ADP
S

ADC
S

ADC
S

ADP
S

APC



S

BDP
S

BDC
S

BDC
S

BDP
S

BPC
，

E
AD
S

APC

所以
DB
S

BPC
BE
S

APB

．同理可得
EC
S

APC
CF
S

BPC

，
FA
S

APB
．

AD
BE
CF



1
．
三式相乘得
DB
EC
FA
注
：在运用三角形的面积比时，要把握 住两个三角形是“等高”还是“等底”
，这样就
可以产生出“边之比”
．

2
．塞瓦定理的逆定理及其证明

定理
：在

AB C
三边
AB
、
BC
、
CA
上各有一点
D< br>、
E
、
F
，且
D
、
E
、
F
均不是

ABC
AD
BE
CF



1
，
那么直线
CD
、
AE
、
的顶点，
若

DB
EC
FA
BF
三线共点．
证明
：设直线
AE
与直线
BF
交于点
P
，直线
CP
交
AB
于点
D
/
，则据塞瓦定理有

A
AD
/
BE
CF



1< br>．

/
D
B
EC
FA




因
为

D
/
D
B
F
P
C
AD
BE
CF



1
DB
EC
FA
，
所
以
有
E

1

AD
AD
/

/
DB
D< br>B
．由于点
D
、
D
/
都在线段
AB
上，所以点
D
与
D
/
重合．即得
D
、
E< br>、
F
三点
共线．

注
：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证．

二、梅涅劳斯定理

3
．梅涅劳斯定理及其证明

定理：一条直线与

ABC
的三边
AB
、
BC
、< br>CA

所在直线分别交于点
D
、
E
、
F，且
D
、
E
、
F
均不是

ABC的顶点，则有








A
AD
BE
CF



1
．

DB
EC
FA
D
B
E
C
G 证明
：如图，过点
C
作
AB
的平行线，交
EF
于
点
G
．

因为
（
1
）

CG
CF

CG
//
AB
，所以

————
AD
FA
F
CG
EC

因为
CG // AB
，所以

————（
2
）

DB
BE
AD
BECF
DB
BE
CF



1
．



由（
1
）÷（
2
）可得
，即得< br>DB
EC
FA
AD
EC
FA
注
：添加的辅助 线
CG
是证明的关键“桥梁”
，两次运用相似比得出两个比例等式，再
拆去“ 桥梁”
（
CG
）使得命题顺利获证．

4
．梅涅劳斯定理的逆定理及其证明

定理
：在

ABC
的边
AB
、
BC
上各有一点
D
、
E
，在边
AC
的延长线上有一点
F
，若
AD
BECF



1
，

DB
EC
FA




那么，
D
、
E
、
F
三点共线．


/
证明
：设直线
EF
交
AB
于点
D
，则据梅涅劳斯定
理有

A
D
/
D
B
E
C
F
AD
BE
CF



1
．

/
D
B
EC
FA

/
2

因为

AD
BE
CF
AD
AD
/



1
，
所以有

/
DB
D< br>B
DB
EC
FA
．
由于点
D
、
D< br>/
都在线段
AB
上，
所以点
D
与
D
/
重合．即得
D
、
E
、
F
三点共线．

注
：证明方法与上面的塞瓦定理的逆定理如出一辙，注意分析其相似后面的规律．

三、托勒密定理

5
．托勒密定理及其证明


A
B
定理
：凸四边形
ABCD
是某圆的内接四边形，则有

M





A
B
·
CD + B
C
·
AD = A
C
·
BD
．

证明
：设点
M
是对角线
AC
与
BD
的交点，在线 段
BD
E
上找一点，使得

DAE =

BAM
．

因为

ADB =

ACB
，
即

ADE =

ACB
，
所以

ADE
C
D
∽

ACB
，即得

AD
DE

AC
BC
，
即
A
D

B
C
A
C


D
E
————（
1
）

由于

DAE
=

BAM
，所以

DAM
=

BAE
，即

DAC
=

BAE
。而

ABD
=

ACD
，即

ABE =

ACD< br>，所以

ABE
∽

ACD
．即得






A
B
B
E

，即
AB

CD

AC

BE

————（
2
）

A
C
C
D
由（
1
）
+
（
2
）得



A
D

B
C

A
B

C
D

A

C
D

E
A

C

B
E

．
A

C
所以
A
B
·
CD + B
C
·
AD = A
C
·
BD
．

注
：巧妙构造三角形，运用三角形之间的相似推得结论．这里的构造具有特点，不容易
想到， 需要认真分析题目并不断尝试．

6
．托勒密定理的逆定理及其证明

定理
：如果凸四边形
ABCD
满足
AB×
CD + BC×
AD = AC×
BD
，那么
A
、
B
、C
、
D
四点
共圆．

证法
1
（同一法）
：

在凸四边形
ABCD
内取一点
E
，使得

EAB


DAC
，

EBA


DCA
，则

EAB∽

DAC
．

可得
AB×
CD = BE×
AC

———（
1
）


A
B
E


D
C
3

且


AE
AB

AD
AC







———
（
2
）

则由

DAE


CAB
及（
2
）可得

DAE
∽

CAB
．于是有






AD×
BC = DE×
AC

———（
3
）

由（
1
）
+
（
3
）可得

AB×
CD + BC×
AD = AC×
( BE + DE )
．

据条件可得

BD
=
BE
+
DE
，则点
E
在线段
BD
上．则由

EB A


DCA
，得

DBA


DCA
，这说明
A
、
B
、
C
、
D
四点
共圆．



证法
2
（构造转移法）



延长
DA
到
A
/
，延长
DB
到
B
/
，使
A
、
B
、
B
/
、
A
/
四点共圆．延长
DC
到
C
/，使得
B
、
C
、
C
/
、
B
/
四
点共圆．
（如果能证明
A
/
、
B
/、
C
/
共线，则命题获证）



那么，据圆 幂定理知
A
、
C
、
C
/
、
A
/< br>四点也共圆．


A
/
B
/
A
B


因此，
A
/
B
/
A/
D

AB
BD
B
/
C
/
C
/
D

，
．

BC
BD
D
C
C
/


可得

/
/AB

A
D

BC

C
D
/
/
/
/
A
B

B
C

.
BD
/
A
/
C
/
A
/
D
AC

A
D
/
/

A
C

AC
CD
，即
CD


另一方面，
．



欲证
AB

A
/
D

BC

C
/
D
BD
=
AC

A
/
D
，即证

CD
AB

CD

A
/
D

BC

CD

C
/
D

AC

BD

A
/
D< br>


即

BC

CD

C
/
D

(
AC

BD

AB< br>
CD
)
A
/
D
．



据条件有

AC

BD

AB

CD

AD

BC
，所以需证

BC
< br>CD

C
/
D

AD

BC

A
/
D
，



即证
CD

C

/
/
/
/
/
/
/
D

AD

A
/
D，
这是显然的．
所以，
A
B

B
C

A
C
，
4

圣诞主持词-父爱是

圣诞主持词-父爱是

圣诞主持词-父爱是

圣诞主持词-父爱是

圣诞主持词-父爱是

圣诞主持词-父爱是

圣诞主持词-父爱是

圣诞主持词-父爱是