泛函中三大定理的认识
巡山小妖精
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2021年01月29日 14:33
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泛函中三大定理及其应用
泛函分析科学体系的建立得益于
20
世纪 初关于巴拿赫空间的三大基本定
理，即
Hahn-Banach
定理，共鸣定理和开映 射、逆算子及闭图像定理。其中：一
致有界定理，
该定理描述一族有界算子的性质；
谱 定理包括一系列结果，
其中最
常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学
数学描述中起核心作用；罕
-
巴拿赫定理（
Hahn- Banach
Theorem
）研究了如何
保范地将某算子从某子空间延拓到整个空 间。
另一个相关结果则是描述对偶空间
非平凡性的；开映射定理和闭图像定理。
1
、
Hahn-Banach
延拓定理
定理：
设
G
为线性赋范空间
X
的线性子空间，
f
是
G
上的任一线性有界泛函，
则存在
X
上的线性有界泛函
F
，满足：< br>
(1)
当
x
G
时，
F
(x
)
f
(
x
)
；
(2)
F
其中
F
X
X
f
G
；
G
表示
F
作为
X
上的线性泛函时的范数；
f
表示
G
上的线性泛函的范数．
延拓定理被应用于
Riesz定理、
Liouville
定理的证明及二次共轭空间等的研究中．
2
、逆算子定理
在微积分课程中介绍过反函数的概念，
并且知道< br>“单调函数必存在反函数”
，
将此概念和结论推广到更一般的空间．
定义
1
逆算子
(
广义上
)
：
设
X
和
Y
是同一数域
K
上的线性赋范空间，
G
X，
算子
T
：
G
Y
，
T
的定 义域为
D
(
T
)
G
；
值域为
R
(
T
)
．
用
T
1
表示从
R
(
T
)
D
(
T
)
的
逆映射
(
蕴含
T
是单射
)
，则称
T
< br>1
为
T
的逆算子
(invertiable operator)
．
定义
2
正则算子：设
X
和
Y
是同一数域
K
上的线性赋范空间，若算子
T
：
G
(
X
)
Y
满足
(1)
T
是可逆算子；
(2)
T
是满射，即
R
(
T
)
Y
；
(3)
T
1
是线性有界算子，
则称
T
为正则算子
(normal operator)
．
注：
①若
T
是线性算子，
T
1
是线性算子吗②若
T
是线性有界算子，
T
1
是线
性有界算子吗
性质
1
若
T
：
G
(< br>
X
)
Y
是线性算子，则
T
1
是线性算子．
证明
：
y
1
,
y
2
Y
，
,
K
，由
T
线性性知：
T
(
T
1
(
y
1
y
2
)
T
1
y
1
T
1
y
2
)
TT
1
(
y
1
y
2
)
TT
1
y
1
TT
1
y< br>2
(
y
1
y< br>2
)
y
1
y
2< br>
0
由于
T
可逆，即
T
不是零算子，于是
T
1
(
y
1
y
2
)
T
1
y
1
T
1
y
2
，故
T
1
是线性算
子．□
定理
2
逆算子定理：设
T是
Banach
空间
X
到
Banach
空间
Y
上的双射
(
既单
又满
)
、线性有界算子，则
T
1
是线性有界算子．
例
1
设线性赋范空间X
上有两个范数
1
和
2
，如果
(
X
,
1
)
和
(
X
,
2
)
均是
Banach
空间，而且
2
比
1
强，那么范数
1
和
2
等 价
．
(
等价范数定理
)
证明：
设
I是从由
(
X
,
2
)
到
(
X
,
1
)
上的恒等映射，由于范数
2
比
1
强，所以
存在
M
0
，使得
x
X
有
Ix
1
x
1
M
x
2
于是
I
是线性有界算子，加之
I
既是单射又满射，因此根据逆算子定 理知
I
1
是线性有界算子，即存在
M'
0，使得
x
X
有
I
1
x
x
2
M'
x
1
．
2
故范数
1
和
2
等价。
3
、一致有界原理
定义
1
一致有界：
设
X
和
Y
是同一数域
K
上的线性赋范空间，
F
B
(
X
Y
)
，
如果
{
T< br>
T
F
}
是有界集，则
称算子族
F
为一致有界．
Y
是线性赋范空间，
定理
1
共鸣定理 ：
设
X
是
Banach
空间，
算子族
F
B
(
X
Y
)
，
那么：
{
T
T
F
}
是有界集
(F
一致有界
)
x
X
，
{
Tx
T
F
}
为有界集．
T
F
，
证明：
(1)
必要性
因为
{
T
T
F
}
是有界集，
所以存在
M
0
，
有
T
M
，
于是
x
X
，不妨设
x
a
，那么
Tx
T
x
M
x
M
a
因此
{
Tx
T
F
}
为有界集．
(2)
充分性< br>
x
X
，
定义
x
下面证明(
X
,
F
)
完备．
如果
x
m
x
n
x
X
，使得
x
n
x
0
(
n
)
．
F
F
显然
F
是
X< br>上的范数且比
强，
x
sup
Tx
，T
F
x
m
x
n
sup
T
(
x
m
x
n
)
0
(
m
,
n
)
，由
X
是
Banach
空间知存在
T
F
又因为
0
，
N
N
，使得只 要
m
,
n
N
，便有
sup
T x
m
Tx
n
．
T
F
从而
T
F
有
Tx
n
Tx
Tx
n
Tx< br>m
Tx
m
Tx
Tx
n
Tx
m
T
x
m
x
0
(
n
)
．
因此得
x
n
x
sup
T
(
x
n
x
)
0
(
n
)
，即
x
n
x
T
F
F
0
，可见
(
X
,
F
)
完备．
根据等价范数定理知范数
F
和
等价，从而存在M
0
，使得
x
X
有
sup
Tx
x
sup
Tx
x
T
F
T
F
F
M
x
于是可得
T
F
有
T
< br>M
．□
注：
共鸣定理也称为一致有界定理
(或原理
)
，由共鸣定理知，当
F
不一致