欧拉定理99617知识讲解
余年寄山水
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2021年01月29日 14:36
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拉
定
理
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1
欧
7
精品资料
欧拉定理
认识欧拉
欧拉，瑞士数学家，
13
岁进巴塞 尔大学读书，得到著名数学家贝努利的
精心指导．欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19
岁开始发
表论文，直到
76
岁，他那不倦的一生，共写下了
886
本书籍和论文，其中
在世时发表了
700
多篇论文。彼得堡科学院为了 整理他的著作，整整用了
4
7
年。
欧拉著作惊人的高产并不是偶然 的。他那顽强的毅力和孜孜不倦的
治学精神，可以使他在任何不良的环境中工作：他常常抱着孩子在膝盖 上完
成论文。即使在他双目失明后的
17
年间，也没有停止对数学的研究，口述
了好几本书和
400
余篇的论文。当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离
开了人 世。欧拉永远是我们可敬的老师。
欧拉研究论著几乎涉及到所有数
学分支，对物理力 学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究！
有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等 是以欧拉名字命名的。欧拉
写的数学教材在当时一直被当作标准教程。
19
世纪伟大的 数学家高斯（
Gau
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2
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ss
，
1777-1855< br>）曾说过
“
研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法
”
。欧
拉还是数学符号发明者，他创设的许多数学符号，例如
π
，
i
，
e< br>，
sin
，
co
s
，
tg
，
Σ，
f (x)
等等，至今沿用。
欧拉不仅解决了彗星轨迹的计算问题，
还解决了使牛顿头痛的月离问题。对著名的
“
哥尼斯堡七桥问题
”
的 完美解答
开创了
“
图论
”
的研究。欧拉发现，不论什么形状的凸多面 体，其顶点数
V
、
棱数
E
、面数
F
之间总有关系< br>V+F-E=2
，此式称为欧拉公式。
V+F-E
即欧
拉示性数，已成 为
“
拓扑学
”
的基础概念。那么什么是
“
拓扑学
”
？
欧拉是如何
发现这个关系的？他是用什么方法研究的？今天让我们沿着欧 拉的足迹，怀
着崇敬的心情和欣赏的态度探索这个公式
......
初等数论中的欧拉定理
定理内容
在数论中 ，
欧拉定理
（也称
费马
-
欧拉定理
）是一个关于同余的性质 。欧
拉定理表明，若
n,a
为正整数，且
n,a
互素，
(a ,n) = 1
，则
a^φ(n) ≡ 1 (mod n)
证明
首先证明下面这个命题：
对于集合
Zn={x1,x2,...,xφ(n)},
其中< br>xi(i=1,2,…φ(n))
是不大于
n
且与
n
互素的数 ，即
n
的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系
)
，考虑集合
S = {a
*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)}
则
S = Zn
1) < br>由于
a,n
互质，
xi
也与
n
互质，则
a* xi
也一定于
p
互质，因此
任意
xi
，
a*xi(mod n)
必然是
Zn
的一个元素
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2)
对于
Zn
中两个元 素
xi
和
xj
，如果
xi ≠ xj
则
a*xi(mod n) ≠ a*xi(mod n)
，这个由
a
、
p
互质和消去律可以得出。
所以，很明显，
S=Zn
既然这样，那么
（
a*x1 × a*x2×...×a*xφ(n)
）
(mod n)
=
（
a*x1(mod n) ×
a*x2(mod n) ×
... ×
a*x
φ
(n)(mod n)
）
(mod n)
=
（
x1 ×
x2 ×
... ×
x
φ
(n)
）
(mod n)
考虑上面等式左边和右边
左边等于
(a*
（
x1 × x2 × ... × xφ(n)
）
) (mod n)
右边等于
x1 ×
x2 ×
... ×
x
φ
(n)
）
(mod n)
而
x1 ×
x2 ×
... ×
x
φ
(n)(mod n)
和
n
互质
根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：
a^
φ(n) ≡ 1 (mod n)
推论：对于互质的数
a
、
n
，满足
a^(φ(n)+1) ≡ a (mod n
)
费马定理
:
a
是不能被质数
p
整除的正整数，则有
a^(p-
1) ≡ 1 (mod p)
证明这个定理非常简单，由于
φ(p) = p
-1
，代入欧拉定理即可证明。
同样有推论：对于不能被质数
p
整除的正整数
a
，有
a^p ≡ a (mod p)
平面几何里的欧拉定理
定理内容
设三角形的外接圆半径为
R
，内切圆半径为
r
，外心与内心的距离为
d
，
则
d^
2=R^2-2Rr
．< br>
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证明
O
、
I
分别为⊿
ABC
的外心与内心．
连
AI
并延长交⊙
O
于点
D
，由
AI
平分
Ð
BAC
，故
D
为弧
BC
的中
点．
连
DO
并延长交 ⊙
O
于
E
，则
DE
为与
BC
垂直的⊙O
的直径．
由圆幂定理知，
R
2-d 2=(R+d)(R-d)=IA·
ID
．（作直线
OI
与⊙
O交于两
点，即可用证明）
但
DB
=< br>DI
（可连
BI
，证明
Ð
DBI
=Ð ;
DIB
得），
故只需证
2
Rr
=
IA
·
DB
，即
2
R
∶
DB< br>=
IA
∶
r
即可．
而这 个比例式可由⊿
AFI
∽⊿
EBD
证得．故得
R
2-d2= 2Rr
，即证．
拓扑学里的欧拉公式
V +F-E=X(P)
，
V
是多面体
P
的顶点个数，
F
是多面体
P
的面数，
E
是
多面体
P
的棱的条数< br>,X(P)
是多面体
P
的欧拉示性数。
如果
P
可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀成一个球面），那么
X(P)=2
，如果
P
同胚于一个接有
h
个环柄的 球面，那么
X(P)=2-2h
。
X(P)
叫做
P
的拓扑不变量，是拓扑学研究的范围。
V+F-E=2
的证明
方法
1
：（利用几何画板）
逐步减少多面体的棱数，分析
V+F-E
先以简单的四面体
ABCD
为例分析证法。
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去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V
、棱数
E
与剩下的面
数
F1
变形后都没有变。因此， 要研究
V
、
E
和
F
关系，只需去掉一个面变
为平面 图形，证
V+F1-E=1
（
1
）去掉一条棱，就 减少一个面，
V+F1-E
不变。依次去掉所有的面，
变为
“
树枝形
”
。
（
2
）从剩下的树枝形中， 每去掉一条棱，就减少一个顶点，
V+F1-E
不
变，直至只剩下一条棱。
以上过程
V+F1-E
不变，
V+F1-E=1
，所以加上去掉的一个面，
V+F-E =
2
。
对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公
式对任意简单多面体都是 正确的。
方法
2
：计算多面体各面内角和
设多面体顶点数
V
，面数
F
，棱数
E
。剪掉一个面 ，使它变为平面图形
（拉开图）
,
求所有面内角总和
Σα
一方面，在原图中利用各面求内角总和。
设有
F
个面，各面的边数为
n1,n2
，
…
，
nF
，各面内角总和为：
Σα
= [(n1-2 )·
180
度
+(n2-2)·
180
度
+…+(nF-2) ·
180
度
]
= (n1+n2+…+nF
-2F) ·
180
度
=(2E-2F) ·
180
度
= (E-F) ·
360
度
（
1
）
另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。
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