初中数学定理证明(完整版)
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2021年01月29日 14:36
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初中数学定理证明
初中数学定理证明
第一篇：
初中数学定理证明
初中数学定理证明
数学定理
三角形三条边的关系
定理：
三角形两边的和大于第三边
推论：
三角形两边的差小于第三边
三角形内角和
三角形内角和定理三角形三个内角的和等于
180°
推论
1
直角三角形的两个锐角互余
推论
2
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和
推论
3
三角形的一个外角大雨任何一个和它不相邻的内角
角的平分线
性质定理在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
几何语言：
∵o
是∠aob
的角平分线
pe⊥oa，pf⊥ob
点
p
在
o
上
∴pe=pf
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判定定理到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上
几何语言：
∵pe⊥oa，pf⊥ob
pe=pf
∴点
p
在∠aob
的角平分线上
等腰三角形的性质
等腰三角形的性质定理等腰三角形的两底角相等
几何语言：
∵ab=a
∴∠b=∠
推论
1
等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
几何语言：
∵ab=a，
bd=d
∴∠1=∠
2
，ad⊥b
∵ab=a，∠1=∠2
∴ad⊥b，
bd=d
∵ab=a，ad⊥b
∴∠1=∠
2
，
bd=d
推论
2
等边三角形的各角都相等，并且每一个角等于
60°
几何语言：
∵ab=a=b
∴∠a=∠b=∠=60°
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等腰三角形的判定
判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边
也相等
几何语言：
∵∠b=∠
∴ab=a
推论
1
三个角都相等的三角形是等边三角形
几何语言：
∵∠a=∠b=∠
∴ab=a=b
推论
2
有一个角等于
60°的等腰三角形是等边三角形
几何语言：
∵ab=a，∠a=60°
∴ab=a=b
推论
3
在直角三角形中，如果一个锐角等于
30°，那么它所对的
直 角边等于斜边的一半
几何语言：
∵∠=90°，∠b=30°
∴b=ab
或者
ab=2b
线段的垂直平分线
定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
几何语言：
∵mn⊥ab
于，
ab=b
，
点
p
为
mn
上任一点
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∴pa=pb
逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平
分线上
几何语言：
∵pa=pb
∴点
p
在线段
ab
的垂直平分线上
轴对称和轴对称图形
定理
1
关于某条之间对称的两个图形是全等形
定理
2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线
的垂直平分线
定理3
两个图形关于某直线对称，若它们的对应线段或延长线相
交，那么交点在对称轴上
逆定理若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那这两
个图形关于这条直线对称< br>
勾股定理
勾股定理直角三角形两直角边
a
、
b< br>的平方和，等于斜边的平方，
即
a2+b2=2
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理如果三角形的三边长
a
、b
、有关系，那么这个
三角形是直角三角形
四边形
定理任意四边形的内角和等于
360°
多边形内角和
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定理多边形内角和定理
n
边形的内角的和等于·180°
推论任意多边形的外角和等于
360°
平行四边形及其性质
性质定理
1
平行四边形的对角相等
性质定理
2
平行四边形的对边相等
推论夹在两条平行线间的平行线段相等
性质定理
3
平行四边形的对角线互相平分
几何语言：
∵四边形
abd
是平行四边形
∴ad‖b，ab‖d
∠a=∠，∠b=∠d
ao=o
，
bo=do
平行四边形的判定
判定定理
1
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
几何语言：
∵ad‖b，ab‖d
∴四边形
abd
是平行四边形
判定定理
2
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
几何语言：
∵∠a=∠，∠b=∠d
∴四边形
abd
是平行四边形
判定定理
3
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
几何语言：
∵ad=b，
ab=d
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∴四边形
abd
是平行四边形
判定定理
4
对角线互相平分的四边形是平行四边形
几何语言：
∵ao=o，
bo=do
∴四边形
abd
是平行四边形
判定定理
5
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
几何语言：
∵ad‖b，
ad=b
∴四边形
abd
是平行四边形
矩形
性质定理
1
矩形的四个角都是直角
性质定理
2
矩形的对角线相等
几何语言：
∵四边形
abd
是矩形
∴a=bd
∠a=∠b=∠=∠d=90°
推论直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
几何语言：
∵△ab
为直角三角形，
ao=o
∴bo=a
判定定理
1
有三个角是直角的四边形是矩形
几何语言：
∵∠a=∠b=∠=90°
∴四边形
abd
是矩形
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判定定理
2
对角线相等的平行四边形是矩形
几何语言：
∵a=bd
∴四边形
abd
是矩形
菱形
性质定理
1
菱形的四条边都相等
性质定理
2
菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组
对角
几何语言：
∵四边形
abd
是菱形
∴ab=b=d=ad
a⊥bd，
a
平分∠dab
和∠d b，
bd
平分∠ab
和∠ad
判定定理
1
四边都相等的四边形是菱形
几何语言：
∵ab=b=d=ad
∴四边形
abd
是菱形
判定定理
2
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
几何语言：
∵a⊥bd，
ao=o
，
bo=do
∴四边形
abd
是菱形
正方形
性质定理
1
正方形的四个角都是直角，四条边都相等
性质定理2
正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条
对角线平分一组对角
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中心对称和中心对称图形
定理
1
关于中心对称的两个图形是全等形
定理
2
关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，
并且被对称中心平分
逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点
平分，那么这两个图形关于这一点对称
梯形
等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等
几何语言：
∵四边形
abd
是等腰梯形
∴∠a=∠b，∠=∠d
等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
几何语言：
∵∠a=∠b，∠=∠d
∴四边形
abd
是等腰梯形
三角形、梯形中位线
三角形中位线定理三角形的中位线平行与第三边，并且等于它的
一半
几何语言：
∵ef
是三角形的中位线
∴ef=ab
梯形中位线定理梯形的中位线平行与两底，并且等于两底和的一
半
几何语言：
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∵ef
是梯形的中位线
∴ef=
比例线段
1
、比例的基本性质
如果
a∶b=∶d，那么
ad=b
2
、合比性质
3
、等比性质
平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线
段成比例
几何语言：
∵l‖p‖a
推论平行与三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比
例
定理如果 一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么
这条直线平行与三角形的第三边
垂直于弦的直径
垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧
几何语言：
∵o⊥ab，
o
过圆心
推论
1
平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
几何语言：
∵o⊥ab，
a=b
，
ab
不是直径
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的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
)
弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧
几何语言：
∵a=b，
o
过圆心
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另
一条弧
几何语言：
推论
2
圆的两条平分弦所夹的弧相等
几何语言：
∵ab‖d
圆心角、虎弦、弦心距之间的关系
定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 ，所对的弦相
等，所对的弦的弦心距也相等
推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、 两条虎两条弦或两条弦
的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等
圆周角
定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
推论
1
同弧或等弧所对的圆周角相等
;
同圆或等圆中，相等的圆周
角所对 的弧也相等
推论
2
半圆所对的圆周角是直角
;
90°的圆 周角所对的弦是直角
推论
3
如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么 这个三角
形是直角三角形
圆的内接四边形
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定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的
内对角
几何语言：
∵四边形
abd
是⊙o
的内接四边形
∴∠a+∠=180°，∠b+∠adb=180°，∠b=∠ade
切线的判定和性质
切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆
的切线
几何语言：
∵l⊥oa，点
a
在⊙o
上
∴直线
l
是⊙o
的切线
切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点半径
几何语言：
∵oa
是⊙o
的半径，直线
l
切⊙o
于点
a
∴l⊥oa
推论
1
经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点
推论
2
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
切线长定理
定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这
一点的连线平分两条切线的夹角
几何语言：
∵弦
pb
、
pd
切⊙o
于
a
、两点
∴pa=p，∠apo=∠po
弦切角
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