考研数学：必考的定理证明整理
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2021年01月29日 14:37
最佳经验
本文由作者推荐
创业金点子-雷锋作文
考研数学的定理证明是一直考生普遍感觉不太有把握的内容，
而
2016
年考 研数学真题
释放出一个明确信号
——
考生需重视教材中重要定理的证明。
下面 跨考教育为考生梳理一下
教材中那些要求会证的重要定理。
一、求导公式的证明
2015
年真题考了一个证明题：证明两个函数乘积的 导数公式。几乎每位同学都对这个
公式怎么用比较熟悉，而对它怎么来的较为陌生。实际上，从授课的角 度，这种在
2015
年
前从未考过的基本公式的证明，
一般只会在基础阶段讲 到。
如果这个阶段的考生带着急功近
利的心态只关注结论怎么用，
而不关心结论怎么来 的，
那很可能从未认真思考过该公式的证
明过程，
进而在考场上变得很被动。
这里给
2017
考研学子提个醒：
要重视基础阶段的复习，
那些真题中未考过 的重要结论的证明，有可能考到，不要放过。
当然，该公式的证明并不难。先考虑
f (x)*g(x)
在点
x0
处的导数。函数在一点的导数自
然用导数定义考察 ，可以按照导数定义写出一个极限式子。该极限为
“0
分之
0”
型，但不能< br>用洛必达法则，
因为分子的导数不好算
(
乘积的导数公式恰好是要证的，
不能用
!)
。
利用数学
上常用的拼凑之法，加一项，减一项。这个
“
无中生有
”
的项要和前后都有联系，便于提公因
子。之后分子的四项两两配 对，除以分母后考虑极限，不难得出结果。再由
x0
的任意性，
便得到了
f( x)*g(x)
在任意点的导数公式。
类似可考虑
f(x)+g(x)，
f(x)-g(x)
，
f(x)/g(x)
的导数公式的证明。
二、微分中值定理的证明
这一部分内容比较丰富，包括费马引理、罗尔定理、拉 格朗日定理、柯西定理和泰勒
中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理要求会证。
费马引理的条件有两个：
1.f'(x0)
存在
2. f(x0)
为
f(x)
的极值，
结论为
f'(x0)=0
。
考虑函数在一点的导数，
用什么方法
?
自然想到导数定义。
我们可以按照导数定义 写出
f'(x0)
的极限形
式。往下如何推理
?
关键要看第二个条件 怎么用。
“f(x0)
为
f(x)
的极值
”
翻译成数学语言 即
f(x)
-f(x0)<0(
或
>0)
，对
x0
的某去心邻域成立。结合导数定义式中函数部分表达式，不难想到考
虑函数部分的正负号。若能得出函 数部分的符号，如何得到极限值的符号呢
?
极限的保号性
是个桥梁。
费马引理中的
“
引理
”
包含着引出其它定理之意。
那么它引出的定 理就是我们下面要讨论
的罗尔定理。
若在微分中值定理这部分推举一个考频最高的，
那 罗尔定理当之无愧。
该定理
的条件和结论想必各位都比较熟悉。条件有三：
“
闭区间连续
”
、
“
开区间可导
”
和
“
端值 相等
”
，
结论是在开区间存在一点
(
即所谓的中值
)
，使得函数在该点的导数为
0
。该定理的证明不好
理解，需认真体会：条件怎么用< br>?
如何和结论建立联系
?
当然，我们现在讨论该定理的证明
是
“
马后炮
”
式的：已经有了证明过程，我们看看怎么去理解掌握。如果在罗尔生活的时 代，
证出该定理，那可是十足的创新，是要流芳百世的。
闲言少叙，言归正传。既然 我们讨论费马引理的作用是要引出罗尔定理，那么罗尔定
理的证明过程中就要用到费马引理。
我 们对比这两个定理的结论，
不难发现是一致的：
都是
函数在一点的导数为
0< br>。话说到这，可能有同学要说：罗尔定理的证明并不难呀，由费马引
理得结论不就行了。
大方向对，
但过程没这么简单。起码要说清一点：
费马引理的条件是否
满足，为什么满 足
?
前面提过费马引理的条件有两个
——“
可导
”
和“
取极值
”
，
“
可导
”
不难判断是成立的，那
么
“
取极值
”
呢
?
似乎不能由条件直接得到。那么 我们看看哪个条件可能和极值产生联系。注
意到罗尔定理的第一个条件是函数在闭区间上连续。
我们知道闭区间上的连续函数有很好的
性质，哪条性质和极值有联系呢
?
不难想到最值 定理。那么最值和极值是什么关系
?
这个点
需要想清楚，
因为直接影响下面推 理的走向。
结论是：
若最值取在区间内部，
则最值为极值
;