2 群论 公理 定理 公式
玛丽莲梦兔
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2021年01月29日 14:39
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定理
每一个元素自逆的的群是一个阿贝尔
群
设群
G
{
E
A
1
,
A
2
,
,
A
n
}
，若对
A
k< br>
G
有：
A
k
A
k
E
(
A
k
1
A
k
)
，
证明此群必为阿贝尔群。
【证明】
任取
A
i
,
A
j
G
，则有
A
l
A
i
A
j
G
,
A
k
A
j
A
i
G
由题给条件知
A
l
A
k
(
A
i
A
j
)(
A
j
A
i
)
A
i
(
A
j
A
j
)
A
i
)
A
i
A
i
E
因而有
A
l
A
k
亦即
A
i
A
j
A
j
A
i
定理
重排定理
定理
1.1
（重排定理）
：在一个群的乘法表中，群中所有元素在每一行（列）
中必须出现且仅能出现一次；
群乘表中 任意两行
（列）
是群中全体元素的不同的
排列。
重排定理告诉我们 ，对于
a
G
，
G
和
aG
是同 一个集合，只不过排列顺序
不同而已，于是有下列重要推论
推论
重排定理的推论
推论
：设
G
为群，
f
(
x
)
（
x
G
）是定义在
G
上的 函数。根据重排定理有：
j
1
x
j
G
f
(
x
)
f
(
ax
)
j
j
j
1
x
j
G
n
n
(1.1)
a
G
定理
由群
G
中一个
m
阶元素
g
可以生成一
k
个
m
阶的循环群
m
2
3
m
1
{< br>E
g
k
,
g
k
,
g
k< br>,
g
k
,
,
g
k
}
；< br>
定理
若一个
n
阶群中至少有一个
n
阶的 元
素，则此群必为
n
阶循环群。
定理
群的阶数与群中任何一个元素的阶数
的商是一个整数；
定理
任何素数阶的群都是循环群。
定理
共轭的性质
共轭是一种等价关系，满足
a)
自反性。即群中任何一个元素都与自身共轭。事实上，对于
A
G
，总
有
E
G
，使得：
EAE
1
A
；
b)
对称性。即若
A
是
B
的共轭元素，则
B
也
是
A
的共轭元素；
c)
传递性。即若
A
与
B
共轭，
B
与
C
共轭，则
A
与
C
共轭。 事实上，对
于
A
,
B
,
C
G
，若有
X
,
Y
G
，使得：
XAX
1
B
,
YBY
1< br>
C
则必有：
YBY
1
YXAX
1
Y
1
ZAZ
1
C
（
Z< br>
YX
G
,
Z
1
X
1
Y
1
G
）
定理
类的性质
a)
群中共轭的元素必在同一个类中（两个共轭元素的共轭类相同）
；
b)
群中不共轭的元素属于不同的类（非共轭元素的共轭类完全不同）
；
c)
群的任意两个相异类的交为零；
d)
群的所有类的和（并）等于群；
e)
第
3
、< br>4
条可以合并为一条：群的所有的类构成群的一个划分；
f)
类与群中任何一个元素对易，即若
C
是群
G
的一个类，则对
< br>A
G
有
ACA
1
C
或：
AC
CA
；
(1.2)
证
：
(1)
AA< br>
A
1
ACA
1
A
C
AA
A
1
A
C
，即
AA
A
1
C
；
(2)
又设
A
C
，则必存在A
C
使得
AA
A
1
A
A
ACA
1
，即
C
ACA
1
。
g)
同一类中的元素有相同的阶数。
m
证
：设
XA
X
1
A
，且
A
E
。则
m
n
A
(
XA
X
1
)
m
< br>(
XA
X
1
)(
XA
X
1
)
(
XA
X
1
)
(
XA
X
1
)< br>
E
。
定理
陪集性质
定理
1.2
设
H
是群
G
的一个子群，则有：
(1)
子群和它的任何一个陪集没有共同元素，即，对任意
X
G
但
X
H
有：
XH
H
HX
H
（
表示空集和）
；
(2)
子群的任何两个左陪集（右陪集）要么完全相同，要么完全不同，即，
对任意
X
,
Y
G
但
X
,
Y< br>
H
有：
XH
YH
，或：
XH
YH
HX
HY
，或：
HX
HY
(3)
群< br>G
的子群
H
群与它的所有相异左（右）陪集定义群
G
的一个划 分
*
。
即若群
G
的子群
H
有
k
- 1
个相异左（右）陪集
X
i
H
(
i
1< br>,2,
,
k
1)
，
则
G
H
X
1
H
X
2
H
X
k
1
H
【
证明
】
(1)
设
XH
H
，
则存在
XH
j
XH
,
H< br>k
H
，使得
XH
j
H
k
1
X
H
k
H
j
H
显然与条件
X
H
矛盾，故结论
(1)
成立；
(2)
设
XH
YH
，
则存在
H
j
,
H
k
H
，使得
1
XH
j
YH
k
,
Y
1
X
H
k
H
j
H
，于是由重排定理得到
Y
1
XH
H
XH
YH
(3)
设
H
共有
k-
1
个不同的左陪集：
X< br>i
H
,
i
1
,2,
,
k
1
根据陪集的性质有：
H
X< br>i
H
,
i
1
,2,
,
k
1
X
i
H
X
j
H
,
i
,
j
1
,2,
,
k
1
,
i
j
H
G
,
X
i
H
G
,
i
1
,2,
,
k
1
令：
G
H
X
1
H
X
2
H
X
k
1
H