详解第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛
绝世美人儿
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2021年01月29日 14:39
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详解第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题
A
（小学高年级组）
一、填空题（每小题
10
分
,
共
80
分）
1
、如右图
,
边长为
12
米的正方形池塘的周围是草地
,
池塘边
A, B, C, D
处各
有一根木桩
,
且
CD
＝
BC
＝
AB
＝
3
米
.
现用长
4
米的绳子将一头羊拴
在其中的某根木桩上。为了使羊在草地上活动区域的面积最大
,
应将绳子拴在
A, B, C, D
处的哪个木桩上？
解：因为
BC
＝
AB
＝
3
米，拴在
A< br>桩和
C
桩上活动范围一样大，都是一个
半径为
4
米的半圆加上 一个半径为
1
米的
桩上活动范围最大，是一个半径
4
米的
2
、在所有是
20
的倍数的自然数中
,
不超过
3000
并且是
14
的倍数的数之和是
。
解：
20
和
14
的最小公倍数是：
［
20
，
14
］＝
140
不超过
3000
并且是
14
的倍数的数 有：
［
3000
140
3
4
1
4
圆；拴在
D
桩上活动范围是一个半径为
4
米的半圆；
而拴在
B
圆。所以，绳子应当拴在
B
处的木桩上。
］＝
21
（个）
是
14
的倍数的数之和是：< br>14
0
×（
1
＋
2
＋
3
＋„＋21
）＝
32340
。
3
、从
1
～
8
这八个自然数中任取三个数，其中没有连续自然数的取法有
种。
解法一：枚举法：
①、三个数字同为奇数：
135
、
13 7
、
157
、
357.
共有
4
种；
②、三数字同为偶数：
246
、248
、
268
、
468.
共有
4
种；
③、三数字两奇一偶：
136
、138
、
158
、
147
、
358
、
257.
共有
6
种；
④、三数字两偶一奇：
247、
258
、
146
、
148
、
168
、
368.
共有
6
种；
总计：< br>4
＋
4
＋
6
＋
6
＝
20
（ 种）
解法二：排除法：
3
1~8
中任取三个数，有< br>C
8
＝
56
种不同的取法，其中三个连续数有
6
种（
123 ~ 678
）
两个连续数有
5+4+4+4+ 4+4+5
＝
30
种（如
124
、
125
、
126
、
127
、
128
等）
则满 足题意的取法有
56
－
6
－
30
＝
20
种
4
、
如右图所示
,
网格中每个小正方格的面积都为
4
平方厘米
.
小明在网格
纸上画了一匹红鬃烈马的
剪影
（马的轮廓由小线段组成
,
小线段的端点在格子
点上或在格线上）
,
则这个剪影的
面积为多少平方厘米？
.
解：
解格点与面积的问题，
一般通过分割和采用格点面积公式的计算来求得。
本题，
我们采用数格和计算相结合的 办法来解答。如下图：
绿色部分的面积：
32
（
cm
2
）
马耳部分：
0.5
（
cm
2
）
马鬃部分，用梯形减去蓝色部分：
（
3
＋
4
）×
1
÷
2
－
3
×
1
÷
2
＝
2
（
cm
2
）
；
马头及马嘴：
2
×（
1
＋
3
）÷
2
＝
4
（
cm
2
)
前腿部分（黄＋黄＋红＋蓝）
：
3
×
1
÷
2
＋（
1
＋
1.5
）×
1
÷
2
＋
1.5
×
1
÷
2
＋（
1
＋
3< br>）×
1
÷
2
＝
1.
5
＋
1.25
＋
0.75
＋
2
＝
5.5
（
cm
2
）
马腹部分，两个红三角形的和：
2
（
cm
2
）
马后腿：黄＋红＋蓝－蓝＋红
＝
1.
5
＋
2＋
0.5
－
1
＝
3
（
cm
2
）
马臀部分
粉红：
2
×
3
÷
2
＝
3
（
cm
2
）
蓝色：< br>3
×
1
÷
2
＝
1.5
（
cm
2
）
黄色：
（
2
＋
3
）×
1
÷
2
＝
2.5
（
cm
2
）
大红：
0.5
（
cm
2
）
所以，红鬃烈马的剪影面积为
56.5
平方厘米。
5< br>、如果
解：将
再将
7
11
7
4
5
＜
4
5
＜
成立
,
则
“
○
”
与
“
□
”
中可以填入的非零自然数之和最大是多少？
7
通分，把分母统一为□×
5
，根据
4
5
，推知，□≥
9
11
通分，能得到
11
77
11
，
推知，○×□＜
77.
而○×□的积最大为
76
，
而
76
＝
1
×
76
＝
2
×
3 8
＝
4
×
19.
题意要求
“
○
”
与
“
□
”
中的和最大，那么，两数的差也应最大。
所以，当 ○＝
1
，□＝
76
时，两数之和最大，为：
1
＋
7 6
＝
77.
6
、
如右图
,
三个圆交出七个部分
.
将整数
1
～
7
分别填到七个部分中
,
要求每个圆内的四个数字的和都相等
.
那么和的最大值是多少？
解：要求和的值最大，最大的数字应放在中心重 叠
3
次的地方，把次
大的数字放在重叠
2
次的地方，数字
1
、
2
、
3
用来调节三个圆圈中和的多少。
三个圆 圈中和的最大值是：
4
＋
6
＋
2
＋
7
＝< br>3
＋
7
＋
4
＋
5
＝
1
＋< br>5
＋
6
＋
7
＝
19
7
．学校组织
1511
人去郊游，租用
42
座大巴和
25
座中 巴两种汽车．如果要求恰好每人一座且每座一
人，则有
种租车方案。
解：设大巴
x
辆，中巴
y
辆
.
根据题意列不定方程
42
x
＋
25y=1511
y
1511
42
x
则
251
1
－
42a
，< br>42a
个位数字应为
6
，才能被
5
整除。经试验
25
当
x
＝
8
时，
y
＝
47
当
x
＝
8
＋
25
＝
33
时，b
＝
5
，共
2
组整数解。
所以，共有两种租车方案。
8
．
平面上的五个点
A
，
B
，
C
，
D
，
E
满足：< br>AB
＝
8
厘米，
BC
＝
4
厘米，
A D
＝
5
厘米，
DE
＝
1
厘米，
AC
＝
12
厘米，
AE
＝
6
厘米．如果△
EAB的面积为
24
平方厘米，则点
A
到
CD
的距离是多少厘 米？
解
：由
8
×
6
÷
2
＝24
，而
S
△
EAB
＝
24
平方厘米，因此< br>AE
即是△
EAB
的高，因而∠
EAB
是直角．
< br>由
AB
＝
8
厘米，
BC
＝
4
厘米，
AC
＝
12
厘米，因此
A
、
B
、
C
三点在一
直线上，由
AD
＝
5
厘米，
DE
＝
1
厘米，
AE
＝
6
厘米，因此
A
、< br>D
、
E
三点在
一直线上，故△
ACD
是直角三角形， 两条直角边
AC
＝
12
厘米，
AD
＝
5
厘
米，根据勾股定理
12
2
＋
5
2
＝169
＝
13
2
因此，知斜边
CD
长
13
厘米，而点
A
到
CD
的距离即斜边
CD
上的 高
又△
ACD
的面积＝
12
×
5
÷2
＝
30
（平方厘米）
斜边
CD
上的高，即点
A
到
CD
的距离。
点
A
到
CD
的距离为
30
×
2
÷
13
＝
60
13
（厘米）
二、解答下列各题（每题
10
分，共
40
分，要求写出简要过程）
9
、把
n
个相同的正方形纸片无重叠地放置在桌面上
,
拼成至少两层的多层长方形（含正方形）组成
的图形
,
并且每一个上层正方 形纸片要有两个顶点各自在某个下层的正方形纸片一边的中点上。下图给出
了
n
＝
6
时所有的不同放置方法
,
那么
n
＝
9
时有多少种不同放置方法
?
解：当层数为
2
时：
（
1
）
8
＋
1
有
7
种；
（
2
）
7
＋
2
有
5
种；
（
3
）
6
＋
3
有
3
种；
（
4
）
5
＋
4
有
1
种；
当层数为
3
时：