重要但常不为人知道的几何定理
玛丽莲梦兔
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2021年01月29日 14:40
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阿基米德折弦定理：
AB
和
BC
是
O
O
的两条弦（即
ABC
是圆的一条折弦），
BC>AB
,
M
是弧
ABC
的中点，则从
M
向
BC
所作垂线之垂足
D
是折弦
ABC
的中点，即
CD=AB+BD
。 从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折
弦。
角平分线定理
定理
1
:
角平分线上的点到这个角两边的距离相等。该命题逆定理成立：在角的部到一个
角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
定理
2
:
三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。该
< br>命题逆定理
成立：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的
两边对应成比例，那么
该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线。
xv=uy
燕尾定理
因此图类似燕尾而得名，是五大模型之一，是一个关于三角形的定理（如图△
E、
F
为
BC
、
CA
、
AB
上点，满足
AD
、
BE
、
CF
交于同一点
0
）。
S
^
ABC
中，
S
S
OB
:
SmOC=S
△
BDO
:
SZCDO=BD
:
CD
；
同理，
S
^
AOC
:
S
^
30C=S
△
AFO
:
S
^
BFO=AF
:
BF
;
ABC
，
D
、
SABOC
:
SABOA=S ACEO
:
SAEO=EC
:
AE
。
推论
:
共边比例定理：四边形
ABCD
（不一定是凸四边形），设
AC,BD
相交于
E
,
则有
BE
:
DE=S
△
ABC
:
S
^
ADC
。此定理是面积法最重要的定理
.
典型例题：
如图三角形
ABC
的面积是
10< br>平方厘米，
AE=ED
，
BD=2DC
，则阴影部分的面积是
_
__________
平
方厘米
.
答案：
4
解析
：
过
D
作
DM ||BF
交
AC
于
M
（如图）因为
BD=2DC
，因为
AE=DE
，所以△
ABE
的
面积
与
A
DBE
的面积相等，所以阴影部分的面积为△
DBE
的面积
+
A
AEF
的面积，即三角形
AFB
的面积，由
DM ||BF
知道
A
DMC
相似△
CBF
所以
CM
:
CF=CD
:
CB=1
:
3
，即
FM=
CF
,
因为
E F
是△
ADM
的中位线，
AF=MF
，所以
AF=AC，由此即可求出三角形
AFB
的面
积，即阴
影部分的面积
.
B
D
C
解：过
D
作
DM ||BF
交
AC
于
M
（如图）因为
BD=2DC
,
因为
AE=DE
，所以△
ABE
的面积与厶
DBE
的面积相等
所以阴影部分的面积
DBE
的面积
+
△
AEF
的面积
DM ||BF
所以△
DMC
相似△
CBF
所以
CM
:
CF=CD
:
CB=1
:
3
即
FM=CF
因为
EF
是△
ADM
的中位线，
AF=MF
,
所以
AF=AC
所以△
ABF
的面积
10
X
=4
（平方厘米）
即阴影部分的面积（即△
DBE
的面积加厶
AEF
的面积）等于
4
平方厘米
答：阴影部分的面积是
4
平方厘米，
故答案为：
4
.
共角定理：
若两三角形有一组对应角相等或互补
比。
，
则它们的面积比等于对应两边乘积的
分角定理：
在△
A BC
中，
D
是边
BC
上异于
B,C
或其延长线上的 一点，连结
BD/CD=
（
sin
/
BAD/sin
/
CAD
）
*
（
AB/AC
）
。
AD
，则有
角定理
：
在厶
ABC
中，< br>D
是
BC
上的一点，连结
AD
。那么
sin
/
BAD/AC+sin
/
CAD/AB=sin
/
BAC/AD
。
逆定理：如果
sin /BAD/AC+sin ZCAD/AB=sin ZBAC/AD
，那么
B,D,C
三点共线。
角定理定理的推论：
在定理的条件下，且
/
BAD= /CAD
，即
AD
平分
/
BAC
，贝
U B D C
共线的充要条件是：
2cos ZBAD/AD=1/AB+1/AC
中线定理（
pappus
定理），又称阿波罗尼斯定理，
形三边和中线长度关系。
是欧氏几何的定理，表述三角
定理容：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方的和的
倍。
即，对任意三角形
△
ABC
，设
I
是线段
BC
的中点，
AI
为高线，则有如下关系：
AB
2
+AC
2
=2BI
2
+2AI
2
或作
AB
2
+AC
2
=BC
2
/2+2AI
2
2
重心定理
：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的
各中线的交点，）
2/3
。（三角形的重心是
共边定理
设直线
AB
与
PQ
交于
M
，则
S
△
PAB
/S
△
QAB
=PM/QM
(
有一条公共边的三角形叫做共边三角
形
)
共边定理：设直线
AB
与
PQ
交于点
M
，贝
U S APAB/S
△
QAB=PM/QM
证明：分如下四种情况，分别作三角形高，由相似三角形可证
证法
2
:
S APAB=(S APAM-S
A
PMB)
=(S APAM/S
△
PMB+1)X S APMB
=(AM/BM+1)
X
S APMB(
等高底共线，面积比
=
底长比
)
同理，
S
A
QAB=(AM/BM+t) S
A
QMB
所以，
S
A
PAB/S
A
QAB=S APMB/S
A
QMB=PM/QM(
等高底共线，面积比
=
底长比
)
定理得证！
特殊情况：当
PB
//
AQ
时，易知
APAB
与
A
QAB
的高相等，从而
SAPAB=S
A
QAB
,
反之，
S
A
PAB=
A
QAB
，贝
U
PB
//
AQ
P
射影定理，又称
欧几里得定理”：
在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边
射影的
比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。是数
学图形计算的重要
定理。
概述图中，在
Rt
A
ABC
中，
/
ABC=90
°
BD
是斜边
AC
上的高，则有射影定理如下
:
BD2=AD -DC
AB2=AC AD
BC2=CD AC
由古希腊著名数学家、《几何原本》作者欧几里得提出。
射影定理的推广证明
欧几里得提出的面积射影定理规定
平面图形射影面积等于被射影图形的面积乘以该图形所
在平面与射影面所夹角的余弦。
（
即
COS
O
=S
射影
/S
原）。”
设二面角
M
—
AB
—
N
的度数为
a,
在平面
M
上有一条射线
AC
,
它和棱
AB
所成角为
3,
和平面
N
所
成的角为
Y
,
贝
U
sin
Y
=
S
in
a
sin
3
（如图）
若已知二面角其中一个半平面某直线与二面角的棱所成的角，以及该直线与另一半平面所
成的角，则
可以求该二面角的正弦值。
折叠角公式（又名：三余弦定理）：
设
A
为面上一点，过
A
的斜线
AO
在面上的射影
为
AB
,
AC
为面上的一条直线，那么
/
OAC,
Z
BAC,
Z
OAB
三角的余弦关系为：
cos
Z
OAC=cos
Z
BACX cos
Z
OAB
（
Z
BAC
和
Z
OAB
只能是锐角）
通俗点说就是，平面
a
的一条斜线
I
与
a
所成角为
O 1, a
的直线
m
与
I
在
a
上的射影
I
夹角为
O2
I
与
m
所成角为
O,
贝
y
cos
O
=cos
O
1*cos
O
又•叫最小角定理
或爪子定理，可以
用于求平面
斜线与平面直线成的最小角
.