初中数学竞赛中常用重要定理(优选.)
玛丽莲梦兔
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2021年01月29日 14:41
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3
、三角形的三条中线交于一点，并且 ，各中线被这个点分成
2
：
1
的两部分
4
、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点
5
、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6
、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7
、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点
8
、设三 角形
ABC
的外心为
O
，垂心为
H
，从
O
向
BC
边引垂线，设垂足不
L
，则
AH=2OL
9
、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。
10
、
(
九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆
)
三角形中，三边中心、从各顶点向其对边
所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，
11
、欧 拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线
(
欧
拉线
)
上
12
、库立奇
*
大上定理：
(
圆内 接四边形的九点圆
)
圆周上有四点，过其中任三点
作三角形，这四个三角形的九点圆 圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点
圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13
、
(
内心
)
三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径 公式：
r=(s-a)(s-
b)(s-c)ss
为三角形周长的一半
< br>14
、
(
旁心
)
三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的 外角平分线交于一点
15
、中线定理：
(
巴布斯定理
)
设三角形
ABC
的边
BC
的中点为
P
，则有
AB2+AC2=2(AP2+BP2)
16
、斯图尔特定理：
P
将三 角形
ABC
的边
BC
内分成
m:n
，则有
n×AB2+m×
AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2
17
、波罗摩及 多定理：圆内接四边形
ABCD
的对角线互相垂直时，连接
AB
中
点
M
和对角线交点
E
的直线垂直于
CD
18
、阿 波罗尼斯定理：到两定点
A
、
B
的距离之比为定比
m:n(
值不为
1)
的点
P
，位于将线段
AB
分成
m:n< br>的内分点
C
和外分点
D
为直径两端点的定圆周上
1 / 7
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19
、托勒密定理：设四边形
ABCD< br>内接于圆，则有
AB×
CD+AD×
BC=AC
20
、以 任意三角形
ABC
的边
BC
、
CA
、
AB
为底边，分别向外作底角都是
30
度的等腰△
BDC
、△
CEA、△
AFB
，则△
DEF
是正三角形，
21
、爱尔可斯定理
1
：若△
ABC
和三角形△都是正三角形，则由线段
AD
、
BE
、
CF
的重心构成的三角形也是正三角形。
< br>22
、爱尔可斯定理
2
：若△
ABC
、△
DEF、△
GHI
都是正三角形，则由三角形
△
ADG
、△
B EH
、△
CFI
的重心构成的三角形是正三角形。
23
、梅涅劳斯定理：设△
ABC
的三边
BC
、
CA
、
AB
或其延长线和一条不经过
它们任一顶点的直线的交点分别为
P
、
Q
、
R
则有
BPPC×
CQQA×
ARRB=1
初中竞赛需要，重要
24
、梅涅劳斯定理的逆定理：
(
略
)
25
、 梅涅劳斯定理的应用定理
1
：设△
ABC
的∠
A
的外角平分 线交边
CA
于
Q
、∠
C
的平分线交边
AB
于
R
，、∠
B
的平分线交边
CA
于
Q
，则
P
、
Q
、
R
三点共线。
26
、梅涅劳斯定理的应用定理
2
：过任意△
ABC
的三个顶点
A
、
B
、
C
作它的
外接圆的切线，分别和
BC
、< br>CA
、
AB
的延长线交于点
P
、
Q
、
R
，则
P
、
Q
、
R
三点共线
27
、塞瓦定理：设△
ABC
的三个顶点
A
、
B
、
C
的不在三角形的边或它们的延
长线上的一点
S
连接面成的三条直 线，分别与边
BC
、
CA
、
AB
或它们的延长
线交 于点
P
、
Q
、
R
，则
BPPC×
CQQA ×
ARRB()=1.
初中竞赛需要，重要
28
、塞瓦定理的 应用定理：设平行于△
ABC
的边
BC
的直线与两边
AB
、
AC
的
交点分别是
D
、
E
，又设
BE和
CD
交于
S
，则
AS
一定过边
BC
的中心
M
29
、塞瓦定理的逆定理：
(
略
)
30
、塞瓦定理的逆定理的应用定理
1
：三角形的三条中线交于一点
这个定理用塞瓦定理来证明将毫无几何美感，应该用中位线证明才漂亮
31
、塞瓦定理的逆定理的应用定理
2
：设△
ABC
的内切圆和边
BC< br>、
CA
、
AB
分别相切于点
R
、
S
、
T
，则
AR
、
BS
、
CT
交于一点。< br>
32
、西摩松定理：从△
ABC
的外接圆上任意一点
P< br>向三边
BC
、
CA
、
AB
或其
延长线作垂线 ，设其垂足分别是
D
、
E
、
R
，则
D
、< br>E
、
R
共线，
(
这条直线叫西
摩松线
)
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初中竞赛的常用定理
33
、西摩松定理的逆定理：
(
略
)
34
、史坦 纳定理：设△
ABC
的垂心为
H
，其外接圆的任意点
P
，这 时关于△
ABC
的点
P
的西摩松线通过线段
PH
的中心。< br>
35
、史坦纳定理的应用定理：△
ABC
的外接圆上的一点
P
的关于边
BC
、
CA
、
AB
的对称点和△ABC
的垂心
H
同在一条
(
与西摩松线平行的
)
直线上。这条直
线被叫做点
P
关于△
ABC
的镜象线。
36
、波朗杰、腾下定理：设△
ABC
的外接圆上的三点为
P
、
Q
、
R
，则
P
、
Q
、
R关于△
ABC
交于一点的充要条件是：弧
AP+
弧
BQ+
弧
CR=0(mod2∏).
37
、波朗杰、腾下定理推论
1
：设
P
、
Q
、
R
为△
ABC
的外 接圆上的三点，若
P
、
Q
、
R
关于△
ABC
的西摩松线交于一点，则
A
、
B
、
C
三点关于△
PQR
的的
西摩松线交于与前相同的一点
38
、波朗杰、腾下定理 推论
2
：在推论
1
中，三条西摩松线的交点是
A
、
B
、
C
、
P
、
Q
、
R
六点任取三 点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂
心的连线段的中点。
39、波朗杰、腾下定理推论
3
：考查△
ABC
的外接圆上的一点
P
的关于△
ABC
的西摩松线，如设
QR
为垂直于这条西摩松线该外接 圆珠笔的弦，则三点
P
、
Q
、
R
的关于△
ABC< br>的西摩松线交于一点
40
、波朗杰、腾下定理推论
4
：从△
ABC
的顶点向边
BC
、
CA
、
AB
引垂 线，
设垂足分别是
D
、
E
、
F
，且设边
B C
、
CA
、
AB
的中点分别是
L
、
M、
N
，则
D
、
E
、
F
、
L< br>、
M
、
N
六点在同一个圆上，这时
L
、
M< br>、
N
点关于关于△
ABC
的
西摩松线交于一点。
41
、关于西摩松线的定理
1
：△
ABC
的外接圆的两个端 点
P
、
Q
关于该三角形
的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上。< br>
42
、关于西摩松线的定理
2(
安宁定理
)
：在一 个圆周上有
4
点，以其中任三点
作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线， 这些西摩松线交于一
点。
43
、卡诺定理：通过△
ABC
的外接圆的一点
P
，引与△
ABC
的三边
BC
、
CA
、
AB
分别成同向的等角的直线
PD
、
PE
、
PF
，与三边的交点分别是
D
、
E
、
F
， 则
D
、
E
、
F
三点共线。
44
、奥倍尔定理：通过△
ABC
的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△
ABC
的外接圆的交点分别是
L
、
M
、
N
，在△
ABC
的外接圆取一点
P
，则
PL
、
PM
、
PN
与△
ABC
的三边
BC
、
CA
、
A B
或其延长线的交点分别是
D
、
E
、
F
，
则
D
、
E
、
F
三点共线
3 / 7