初中平面几何四个重要定理
绝世美人儿
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2021年01月29日 14:44
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初中数学知识重点整理
－平面几何四个重要定理
四个重要定理：
梅涅劳斯
(Menelaus)
定理（梅氏线）
△ABC
的三边
BC
、
CA
、
AB
或其延长线上有点
P、
Q
、
R
，
则
P
、
Q
、R
共线的充要条件是
塞瓦
(Ceva)
定理（塞瓦点）
。
△ABC
的三边
BC
、
CA
、
AB
上有点
P
、
Q
、
R
，则
AP
、
BQ
、
C R
共点的
充要条件是
托勒密
(Ptolemy)
定理
。
四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该
四边形内接于一圆。
西姆松
(Simson)
定理（西姆松线）
从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是
该点落在三角形的外接圆上。
例题：
1
．
设
AD是△ABC
的边
BC
上的中线，直线
CF
交
AD
于
F
。求证：
。
【分析】
CEF
截△ABD→
（梅氏定理）
【评注】也可 以添加辅助线证明：过
A
、
B
、
D
之一作
CF的平行线。
2
．
过△ABC
的重心G
的直线分别交
AB
、
AC
于
E
、
F
，
交
CB
于
D
。
求证：
。
【分析】
连结并延长
AG
交
B C
于
M
，
则
M
为
BC
的中
点。< br>
DEG
截△ABM→
（梅氏定理）
DGF
截△ACM→
（梅氏定理）
∴
=
=
=1
【评注】梅氏定理
3
．
D
、
E
、
F
分别在△A BC
的
BC
、
CA
、
AB
边上，
，
AD
、
BE
、
CF
交成△LMN。
求
S
△LMN
。
【分析】
【评注】梅氏定理
4
．
以△ABC
各边为底边向外作相似的
等腰△BCE、
△CAF、
△ABG。
求证：
AE
、
BF
、
CG
相交于一点。
【分析】
【评注】塞瓦定理
5
．
已 知△ABC
中，∠B=2∠C。求证：
AC
=AB
+AB·BC。
【分析】过
A
作
BC
的平行线交△ABC
的外接圆于
D
，连结
BD
。则
CD=DA=AB
，
AC=BD
。
由托勒密定理，
AC·BD=AD·BC+CD·AB。
【评注】
托勒密定理
6
．
已知正七边形
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
6
A
7
。
2
2
求证：
【分析】
【评注】托勒密定理
。（第
21
届全苏数学竞赛）
7
．
△ ABC
的
BC
边上的高
AD
的延长线交
外接圆于
P
，作
PE⊥AB
于
E
，延长
ED
交
AC< br>延长线于
F
。
求证：BC·EF=BF·CE+BE·CF。
【分析】
【评注】西姆松定理（西姆松线）
8
．
正六边形
ABCDEF
的对角线
AC
、
CE
分别被内分点
M
、
N
分成的比
为
AM
：
AC=CN
：
C E=k
，且
B
、
M
、
N
共线。
求
k
。（
23-IMO-5
）
【分析】
【评注】面积法
9
．
O
为△ABC
内一点，分 别以
d
a
、
d
b
、
d
c
表示O
到
BC
、
CA
、
AB
的距离，以
R
a
、
R
b
、
R
c
表示
O
到
A
、
B
、
C
的距离。
求证：（
1
）a·R
a
≥b·d
b
+c·d
c
;
(2) a·R
a
≥c·d
b
+b·d
c
;
(3) R< br>a
+R
b
+R
c
≥2(d
a
+d
b
+d
c
)
。
【分析】
【评注】面积法
10
．△ABC
中，
H
、
G
、
O
分别为垂心、
重心、外心。
求证：
H< br>、
G
、
O
三点共线，
且
HG=2GO
。（欧拉线）
【分析】
【评注】同一法
11
．△ABC
中，
AB=AC
，AD⊥BC
于
D
，
BM
、
BN
三等分∠ABC，与
AD
相交于
M
、< br>N
，
延长
CM
交
AB
于
E
。
求证：
MB//NE
。
【分析】
【评注】对称变换
12
．
G
是△ABC
的重心，
以
AG
为
弦作圆切
BG
于
G
，延长
CG
交圆
2
于
D
。求证：
AG
=GC·GD。< br>
【分析】
【评注】平移变换
13
．
C
是直径
AB=2
的⊙O
上一点，
P
在△ABC
内， 若
PA+PB+PC
的最小值是
，求此时△ABC
的面积
S
。
【分析】
【评注】旋转变换
费马点：
已知
O
是△ABC
内一点，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°；
P
是△ABC
内任一点，
求证：
PA+PB+PC≥OA+OB+OC。
（< br>O
为费马点）
【分析】
将
C
C‘，
O
O’，
P
P‘，
连结
OO’、
PP‘。
则△B OO’、△B PP‘都是正三角形。
∴OO’=OB，PP‘=PB。显然△BO’C‘≌△BOC，△BP’C‘≌△BPC。
由于∠BO’C‘=∠BOC=120°=180°
-
∠BO’O，∴A、
O
、O‘、C’四点共线。
∴AP+PP‘+P’C‘≥AC’=AO+OO‘+O’ C‘，即
PA+PB+PC≥OA+OB+OC。
14
．
(
95
全国竞赛
)
菱形
ABCD
的内切圆
O
与各边
分别交于
E
、
F
、G
、
H
，在弧
EF
和弧
GH
上分别作
⊙O
的切线交
AB
、
BC
、
CD
、
DA< br>分别于
M
、
N
、
P
、
Q
。
求证：
MQ//NP
。
【分析 】由
AB∥CD
知：要证
MQ∥NP，只需证
∠AMQ=∠CPN，
结合∠A=∠C
知，只需证
△AMQ∽△CPN
←
，AM·CN=AQ·CP。
连结
AC
、
BD
，其交点为内切圆心
O
。设
MN
与⊙O
切于
K，连结
OE
、
OM
、
OK
、
ON
、< br>OF
。
记∠ABO=φ，∠MOK=α，∠KON=β，则
∠EOM=α，∠FON=β，∠EOF=2α+2β=180°
-
2φ。
∴∠BON=90°
-
∠NOF
-
∠COF=90°
-β
-
φ=α
∴∠CNO=∠NBO+∠NOB=φ+α=∠AOE+∠MOE=∠AOM
又∠OCN=∠MAO，∴△OCN∽△MAO，于是
∴AM·CN=AO·CO
同理，AQ·CP=AO·CO。
【评注】
，
15
．
(
96
全国竞赛
)⊙O
1
和⊙O
2
与
ΔABC
的三边所在直线
都相切，
E
、
F、
G
、
H
为切点，
EG
、
FH
的延长 线交于
P
。
求证：PA⊥BC。
【分析】
【评注】
16
．
(
99
全国竞赛
)如图，在四边形
ABCD
中，对角
线
AC
平分∠BAD。在CD
上取一点
E
，
BE
与
AC
相交
于
F
，延长
DF
交
BC
于
G
。求证：∠GA C=∠EAC。
证明：连结
BD
交
AC
于
H。对△BCD
用塞瓦定理，可得
因为
AH
是∠BAD
的角平分线 ，由角
平分线定理，
可得
，故
。
过
C
作
AB
的平行线交
AG
的延长线于
I
， 过
C
作
AD
的平行线交
AE
的延长线于
J
。