93、排列数与组合数的性质与运算
别妄想泡我
579次浏览
2021年01月29日 16:01
最佳经验
本文由作者推荐
老同学聚会感言-茶花的养殖方法
第
92
课时
排列数与组合数的性质与运算
【教学目标】
1
．理解排列与组合数的概念；
2
．能将排列与组合实际问题按排列的定义进行抽象，运用框图进行概括；
3
．能运用乘法原理推导排列与组合公式；
4
．掌握排列与组合数公式，运用排列与组合公式解决简单的排列问题。
【教学重点】
理解排列与组合的概念及排列与组合公式的推导与运用。
【教学难点】
能用排列与组合的定义正确地鉴定实际问题是否为排列与组合问题。
【教学过程】
一．知识整理
1.
排列数定义：从
n
个不同元素中，每次取出
m (m
n)
个元素的
所有排列的个数
，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的排列数，用符号
P
n
m
表示； 当
m = n
时，叫做
n
个元素的全
排列数，用符号
Pn
n
表示，也可以用符号
P
n
表示。
2
．排列数公式：
P
n
m
n
(
n
1
)(
n
2
)
(
n
m
1
)
(
其中
n
,
m
N
且
m
n
)
注意：
从公式的 特点分析，右边第一个因数
最大
n
，
后面的每次因数都比它前面一个因
数少
1
（
递减
）
，最后一个因数为
n
–
m+1
，共有
m
个因数
（连续自然数）相乘。
（公式的特
征 ）
（
1
）
全排列数：
P
n
n
(
n
1
)(
n
2
)
3
2
1
n
!
（
n
个连续的自然数的乘积，常用记号
n!
表示，读作
n
阶乘）
。
（
2
）
排列数公式：
（解决了一般性的计算问题，介绍计算器的使用）
P
n
m
n
!
（规定：
0
！
= 1
）
(
n
m
)!
说明：排列数有二个公式：
1
个数
m
m
P
n
n
(
n
1
)(
n
2
)
(
n
m
1
)
常用于计算。
m
P
n
n
!
常用于有关恒等式证明，解方程时。
(
n
m
)!
3.
组合数的公式：
(1
）
组合数的概念：
从
n个不同元素中取出
m
m
n
个元素的所有 组合的个数，叫做从
m
C
n
个不同元素中取出
m
个元素的
组合数
．用符号
表示．
n
．．．
(2
）组合数公式的推导：
P
n
m
n
(
n
1
)(
n
2
)
(
n
m
1
)n
!
m
(
n
,
m
N
,
且
m
n
)
或
C
n
C
m
m
!
(
n
m
)!
m
!
P
m
m
n
(3
）组合数的性质
①
C
n
m
=C
n
n-m
②C
n
r
1
r
r
C
n
C
n
1
③
rC
n
r< br>=n
·
C
n-1
r-1
④
C
n< br>0
+C
n
1
+
…
+C
n
n
=2
n
⑤
C
n
0
-C
n
1+
…
+(-1)
n
C
n
n
=0
即
C
n
0
+C
n
2
+C
n
4
+
…
=C
n
1
+C
n< br>3
+
…
=2
n-1
二．例题精析
【属性】
高三复习，排列数与组合数的性质与运算
，
解答题，中档题，解决问题能力
x
1
2
x
3
C
13
【题目】
解方程：
C
1 3
；
【解答】
由原方程得
x
1
2
x
3
或
x
1
2x
3
13
，∴
x
4
或
x
5
，
1
x
1
13
又由
1
2
x
3
13
得
2
x
8
且
x
N
，∴原方程的解为
x
4
或
x
5
．
x
N
上述求解过程中的不等式组可以不解
,
直 接把
x
4
和
x
5
代入检验
,
这样运算量小得
2
多。
【属性】
高三复习，排列数与组合数的性质与运算，证明题，中档题，逻辑推理能力。
【题目】
求证：
P
n
m
mP
n
m
1
P
n
m
1
。
【解答】
证一
:
P
n
m
mP
nm
1
n
(
n
1
)
(
n
m
1
)
mn< br>(
n
1
)
(
n
m< br>
1
1
)
n
(
n
1
)
(
n
m
2
)[(
n
m
1
)
m
]
(
n
1
)
n
(
n
1
)
(
n
1
m
1
)
P
n
m
1
.
证二
:
P
n
m
mP
n
m
1
n
!
mn
!
n
!
m
[
1
]
(
n
m
)!
(n
m
1
)!
(
n
m< br>)!
n
m
1
(
n
1
)!
n
!
n
1
P
n
m
1
.
(
n
m
)!
n
m
1
(
n
1
m
)!
【属性】
高三复习，排列数与组合数的性质与运算，解答题，中档题，分析问题能力。
【题目】
从
5
个男生和
4
个女生中选出
4
名学生参加一次会议，要求至少有
2
名男生和
1
名女生参加，有多少种选法？
【解答】
问题可以分成
2
类：
2
2
第一类
2
名男生和
2
名女生参加，有
C
5
C
4
60
中选法；
3
1
第二类
3
名男生和
1
名女生参加，有
C
5
C
4
40
中选法
依据分类计数原理，共有
100
种选法
【属性】
高三复习 ，排列数与组合数的性质与运算，解答题，难题，分析问题与解决问题
能力，逻辑思维能力。
【题目】
设
a
n
=1+q+q
2
+
…+q
n-1
(n
∈
N,q
≠±
1),A
n=C
n
1
a
1
+C
n
2
a
2
+
…
+C
n
n
a
n
（
1
）求
A
n
(
用
n
和
q
表示)
（
2
）当
-3<9<1
，且
q
≠
-1
时，求
lim
n
A
n
。
n
2
【解答】
1
q
n
（1
）∵
a
n
=
1
q
3