在概率的计算中的排列组合
巡山小妖精
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2021年01月29日 16:01
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预备知识
在概率的计算中经常要用到一些排列组合知识，也常常用到牛顿二项式定理。
这里罗列一些同学们在中学里已学过的有关公式，并适当作一点推广。
一
.
两个原理
1.
乘法原理
: < br>完成一项工作有
m
个步骤，第一步有
n
1
种方法，第二步有< br>n
2
种方法，…，
第
m
步有
n
m
种方法，且完成该项工作
必须依次通过这
m
个步骤
，
则完成该项工作一共有
n
1
n
2
…
n
m
种方法，这一原理称为乘法原理。
2.
加法原理
:
完成一项工作有
m
种 方式，第一种方式有
n
1
种方法，第二种
方式有
n
2
种方法，…，第
m
种方式有
n
m
种方法，且完成该项工 作
只需
选择这
m
种方式中的一种
，则完成这项工作一共有
n
1
+
n
2
+
…
+
n
m
种方法，这一原理称为加法原理。
二
.
排列
:
从
n
个元素里每次取出
r
个元素， 按一定顺序排成一列，称为
从
n
个元素里每次取
r
个元素 的排列，这里
n
和
Z
。均为正整数
(
以
下同
)
。
当这
n
个元素全不相同时，上述的排列称为无重复排列，我
们关心的是可以做成多少个排列，即排列数。
对于无重复排列，要求当
时
r
n
称为选排列，而当
r
＝
n
时称为全排列。我们 记排列数分别为
即将全排列看成选排列的特例。
利用乘法原理不难得到
由阶乘的定义
由阶乘的定义
将上面的
n
个不同的元素改为
n
类不同的元素，每一类元素
都有无数多个。今从这
n
类元素中取出
r
个元素，这
r个元素可
以有从同一类元素中的两个或两个以上，将取出的这
r
个元素
dl
成一列，称为从
n
类元素中取出
r
个元素的可重复排列，排列数记
作，由乘法原理得
显然，此处
r
可以大于
n
例
3
将三封信投入
4
个信箱，问在下列两种情形下各有几
种投法
?
1)
每个信箱至多只许投入一封信；
2)
每个信箱允许投入的信的数量不受限制。
解
1)
显然是无重复排列问题，投法的种数为
2)
是可重复排列问题，投法的种数为
三、组合
从“个元素中每次取出
r
个元素，构成的一组，称为从
n
个元
素里每次取出
r
个元素的组合。
设这
n
个元素全不相同，即得所谓无重复组合，我们来求组合数，记作
将一个组合中的
r
个元素作全排列，全排列数为
，
所有组合中的元素作全排列，共有
< br>个排列，这相当于从
n
个元素里每次取
r
个元素的选排列，排列总数为
故有
性质
(2)
的左端表示
从
中取出
r
个的组合数。我们可以固定这
n
十
1< br>个元素中的任意一个，不妨固定
于是考察所有取及所有不取。的组合数，
前者即从个中取
r
—
1
个的组合数，而后者即
从个中取
r
个的组合数
类似于可 重复排列，也有可重复组合，即从
n
类不同元素中每次取出
r
个元素，这r
个
元素可以从同一类元素中取两个或两
例
4
掷两颗银子可以有多少种点子的排列
?
多少种点子的
组合
?
解
每颗银子各有六面，分别刻有
1
，
2
，
3
，
4< br>，
5
，
6
个点，掷出的
结果可以重复。
四、较复杂的排列、组合问题
问题
1
，不全相异元素的全排列
将一个包含
n
个元素的整体分成
r
个有序的部分，其中第一部分包含
n
1
个元