数学实验 Mathematic实验九 无穷级数
巡山小妖精
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2021年01月30日 01:15
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天水师范学院数学与统计学院
实验报告
实验项目名称
无穷级数
所属课程名称
数学实验
实
验
类
型
微积分实验
实
验
日
期
2011.11.16
班
级
学
号
姓
名
成
绩
一、实验概述：
【实验目的】
1.
掌握用
Mathematica
求无穷级数的和
;
2.
用
Mathematica
求幂级数的收敛域
;
3.
用
Mathematica
展开函数为幂级数以及展开周期函数为傅里叶
级数 的方法
.
【实验原理】
1.
求无穷和命令
Sum.
Sum
命令也可以用来求无穷和
.
Sum[1/n^2
，
{n
，
1
，
Infinity}]
2.
把函数展开为幂级数命令
Series.
该命令的使用格式是
Series[y[x ]
，
{x
，
x0
，
n}]
Series[y[x]
，
{x
，
0
，
5}]
3.
去掉余项命令
Normal.
在把
f
(
x< br>)
展开成幂级数后，有时为了近似计算或作图，需要把余
项去掉，只要使用
No rmal
命令，例如输入
Series[Exp[x]
，
{x
，
0
，
6}]
Normal[%]
4.
强制求值命令
Evaluate.
如果 函数是用
Norma1
命令定义的，则当对它进行作图或其他数
值计算时，可能会出现 问题，例如输入
fx=Normal[Series[Exp[x]
，
{x
，
0
，
3}]]
1
Plot[fx
，
{x
，
-3
，
3}]
则只能得到去掉余项后的展开式，得不到函数的图形，这时要使
用强制求值命令
Evaluat e
，改成输入
Plot[Evaluate[fx]
，
{x
，
-3
，
3}]
便可以得到函数的图形
5.
作散点图命令
ListPlot.
ListPlot[Table[j ^2
，
{j
，
16}]
，
PlotStyle
P ointSize[0.012]]
6.
用符号“／；
”定义分段函数
.
符号“／；
”用于定义某种规则，
“／；
”后面是条件，例如输入
Clear[g
，
gf]
；
g[x_]:=x/
；
0
x<1
g[x_]:=-x/
；
-1
x<0
g[x_]:=g[x-2]/
；
x
1
gf=Plot[g[x]
，
{x
，
-1
，
6}]
用
which
命令也可以定义分段函数，
从这个例子中看到，
用“„
(
表
达式
)/
；„
(
条件
)”来定义周期性分段函数更方便些
.
用
Plot
命令可
以作出分 段函数的图形，
但用
Mathematica
命令求分段函数的导数或
积分时 往往会有问题
.
用
which
定义的分段函数可以求导，但不能积
分
.Mathematica
内部函数中有一些也是分段函数，如：
Mod[x
，
1]
，
Abs[x]
，
Floor[x]
和
Un itstep[x].
其
中
只
有
单
位
阶
跃
函
数
Uniltstep[x]
可以用
Mathematica命令来求导和求定积分
,
因此在求
分段函数的傅里叶系数时，对分段函数的积分往 往要分区间来积
,
在
2
被积函数可以用单位阶跃函数
U nitstep
的四则运算和复合运算表达
时，计算傅里叶系数就比较方便了
.
【实验环境】
Mathematic 4
二、实验内容：
【实验方案】
1.
数项级数
;
2.
求幂级数的收敛域
;
3.
函数的幂级数展开
;
4.
傅里叶级数
.
【实验过程】
（实验步骤、记录、数据、分析）
1.
数项级数
Sum[1/(4n^2+8n+3)
，
{ n
，
1
，
Infinity}]
例
9.1
求级数
n
1
n
1
2
8
n
1
的和
.
例
9.2
求级数
n
1
x
3
k
的和
. < br>Sum[x^(3k)
，
{k
，
1
，
Infinit y}]
例
9.3
设
a
n
10
n
n
!
，求
n
1
a
n< br>.
Clear[a]
；
a[n_]=10^n/(n!)
；
vals=Table[a[n]，
{n
，
1
，
25}]
；
List Plot[vals
，
PlotStyle
PointSize[0
.01 2]]
Sum[a[n]
，
{n
，
1
，
Infi nity}]
3
2.
求幂级数的收敛域
.
例
9.4
求
n
0
Clear[a]
；
4
2
n
(
x
3)
n
1n
收敛域与和函数
.
a[n_]=4^(2n)*(x-3)^n/(n+1)
；
stepone=a[n+1]/a[n]//Simplify
steptwo=Limi t[stepone
，
n
Infinity]
ydd=Solve[steptwo
1，
x]
zdd=Solve[steptwo
-1
，
x]
Simplify[a[n]/.x
(49/
16)]
Simplify[a[n]/.x
(47/16)]
Sum[4^(2 n)*(x-3)^n/(n+1)
，
{n
，
0
，
Infi nity}]
3.
函数的幂级数展开
.
例
9.5
求
cos
x
的
6
阶麦克劳林展开式
.
Series[Cos[x]
，
{x
，
0
，
6}]
例
9.6
求
ln
x
在
x
1< br>处的
6
阶泰勒展开式
.
Series[Log[x]
，
{x
，
1
，
6}]
例
9.7
求
arctan
x
的
5
阶麦克劳林展开式
. ser1=Series[ArcTan[x]
，
{x
，
0
，< br>5}]
；
poly=Normal[ser1]
Plot[Eva luate[{ArcTan[x]
，
poly}]
，
{x
，
-3/2
，
3/2}
，
PlotStyle
{Dashing[ {0.01}]，
GrayLevel[0]}
，
AspectRatio
1]
4
例
9.8
求
e
(
x
1)
(
x
1)
2
2在
x
1
处的
8
阶泰勒展开，
并通过作图比较 函
数和它的近似多项式
.
Clear[f]
；
f[x_]=Exp[-(x-1)^2*(x+1)^2]
；
poly2 =Normal[Series[f[x]
，
{x
，
1
，
8 }]]
Plot[Evaluate[{f[x]
，
poly2}]
，{x
，
-1.5
，
1.5}
，
PlotRange{
-2
，
3/2}
，
PlotStyle
{Das hing[{0.01}]，
GrayLevel[0]}]
例
9.9
求 函数
sin
x
在
x
0
处的
3
，
5
，
7
，„，
9l
阶泰勒展开，
通过作图比较函数 和它的近似多项式，并形成动画进一步观察
.
Do[Plot[{Sum[(-1)^j*x ^(2j+1)/(2j+1)!
，
{j
，
0
，
k}]，
Sin[x]}
，
{x
，
-40
，
40}< br>，
PlotStyle
{RGBColor[1，
0
，
0]
，
RGBColor[0
，
0
，
1]}]
，
{k
，
1
，
45}]
4.
傅里叶级数
.
例
9.10
设
f
(
x
)
是周期为
2
的周期函数它在一个周期内的表达式
为
1,
0
x
1
f
(
x
)
x
,
1
x
0
求它的傅立叶级数展开式的前
5
项和前
8
项，作出
f
(
x
)
和它的近
似三角级数的图形
.
Clear [f
，
a
，
b
，
fs
，
L]
；< br>
f[x_]:=1/
；
0
x<1
5
f[x_]:=-x/
；
-1
x<0
f[x_]:=f[x-2]/
；
1
x
gf=Plot[f[x]
，
{x
，
-1
，
5}]
Clear[L
，
a
，
b
，
fs
，
f1
，
f2]
；
L=1
；
a[n_ ]:=(Integrate[-x*Cos[n*Pi*x/L]
，
{x
，
-L
，
0}]+Integrate[Cos[n*Pi*x/L]
，
{x< br>，
0
，
L}])/L
b[n_]:=(Integrate[-x* Sin[n*Pi*x/L]
，
{x
，
-L
，
0}]+In tegrate[Sin[n*Pi*x/L]
，
{x
，
0
，
L}])/L
fs[k_
，
x_]:=a[k]*Cos[k*Pi*x/L]+ b[k]*Sin[k*Pi*x/L]
fourier[n_
，
x_]:=a[0 ]/2+Sum[fs[k
，
x]
，
{k
，
1
，< br>n}]
f1=fourier[5
，
x]//N
f2=fourier[10
，
x]//N
Plot[Evaluate[ {f[x]
，
f1}]
，
{x
，
-1
，
5 }
，
PlotStyle
{GrayLevel[0]，
GrayLeve l[0.4]}]
Plot[Evaluate[{f[x]
，
f2}]
，
{x
，
-1
，
5}
，
PlotStyle
{GrayLevel[0]，
GrayLevel[0.4]}]
设
g
(
x
)
是以
2Pi
为周期的周期函数，它在
[
< br>
,
]
的表达式是
1,< br>g
(
x
)
1,
x
0
0
x
，
将
g
(
x
)
展开成傅里叶级数
.
Clear[g]
；
6
g[x_]:=-1/
；
-Pi
x<0
g[x_]:=1/
；
0
x
g[x_]:=g[x-2Pi]/
；
Pi
x
Plot [g[x]
，
{x
，
-Pi
，
5Pi}
，
PlotStyle
{RGBColor[0，
1
，
0]}]
；< br>
Clear[b2
，
fourier2
，
tu
，< br>tu2
，
toshow]
；
b2[n_]:=b2[n]= 2Integrate[1*Sin[n*x]
，
{x
，
0
，
Pi}]/Pi
；
fourier2[n_
，
x_]:=Sum [b2[k]*Sin[k*x]
，
{k
，
1
，
n}]；
tu[n_]:=Plot[{g[x]
，
Evaluate[fo urier2[n
，
x]]}
，
{x
，
-Pi
，< br>5Pi}
，
PlotStyle{RGBColor[0
，
1
，
0]
，
RGBColor[1
，
0.3
，
0. 5]}
，
DisplayFunction
Identity]；
tu2=Table[tu[n]
，
{n
，
1
，
30，
5}]
；
toshow=Partition[tu2
，
2]
；
Show[GraphicsArray[toshow]]
【实验结论】
（结果）
1.
用
Mathematica
求无穷级数的和；
2.
求幂级数的收敛域；
3.
展开函数为幂级数以及展开周期函数为傅里叶级数
.
【实验小结】
（收获体会）
掌握了用
Mathematica求无穷级数的和，求幂级数的收敛域，展
开函数为幂级数以及展开周期函数为傅里叶级数的方法．< br>
三、指导教师评语及成绩：
评语等级
评
语
优
良
中
及
不及格
格
7
1.
实验 报告按时完成
,
字迹清楚
,
文字叙述流畅
,
逻辑性强
2.
实验方案设计合理
3.
实验过程（实验步骤详细
,
记录完整
,
数据合理
,
分析透
彻）
4
实验结论正确
.
成
绩：
指导教师签名：
批阅日期：
附录
1
：源
程
序
1
Sum
k
2
^
k,
k
,
1,
Infini
2
Sum
1
8
3
Sum
1
24
4
2
k
1
^
2,
k
,
1,
Infini
2
k
^
2,
k
,
1,
Infi ni
8
实验九
无穷级数
Sum
Clear
a< br>;
a
n
_
x
1
^
2
n< br>1
stepone
a
n
1
a
n
y dd
Solve
s
teptwo
1,
zdd
Solve
s
teptwo
1
1
^
k
1
k,
k
,
1,
Infini
5
^
Simp
1
5
1
steptwo
< br>Limit
s
tepone,
n
Infin
15
1
x
1
5
,
x
1
x
1
5,
x
1
x
1
5
,x
1
Simplify
a
n
.
x
1
Sqrt
Si
Simplify
a
n
.
x
1
Sqrt
Si
Sum
x
1
^
2
n
1
5
^
n,
n
,
0,
Infini
5
1
x
6
2
9