数学模型与数学实验课程考核试卷
玛丽莲梦兔
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2021年01月30日 01:25
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西游记三打白骨精读后感-懊悔的近义词
荆楚理工学院
2016
—
2017
学年度第一学期期末考查
《数学模型与数学实验》试题
完成时限：一周
适用专业：
14
数学与应用
数学
期末论文选题（从以下问题中选择一个
,
完成一篇论文
)
1.
某厂用原料
A
，
B
生产甲、乙、丙三种产品，已知生产单件产品 所需原料、所获利润
等有关数据如下表所示：
A
B
单件利润
甲
6
3
4
乙
3
4
1
丙
5
5
5
原料拥有量
45
30
试分别回答下列问题：
（
1
）建立线性规划模型，求使该厂获利最大的生产计划；
（
2
）若产品乙、丙的单件利润不变，甲的单件利润增加到
6
，是否 改变生产计划
（
3
）若原料
A
市场紧缺 ，除拥有量外一时无法购进，而原料
B
如数量不足可去市
场购买，单价为，问该厂是否 购买，以购进多少为宜。
2.
某公司饲养实验用的动物以供出售。
已知这些 动物的生长对饲料中三种营养成分：
蛋
白质、矿物质、维生素特别敏感，每个动物每天至少需要 蛋白质
70g
，矿物质
3g
，维生素
10mg
，该公司能买 到
5
种不同的饲料，每种饲料
1 kg
所含的营养成分及成本如表：
饲
蛋白质
矿物质
维生素
单位重量（
1kg
）成本< br>料
（
g
）
（
g
）
（
mg
）
（元）
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
需
求量
方。
（
2
）若饲料
A
2
的成本降为每公斤
元，是否改变配方
3.
配件厂为装配线生产若干种部件，
轮换生产不同的部件时因更换设备要付出生产准备
费（与生产数量无关）
。同一部件的产量大 与需求量时因积压资金、占用仓库要付贮存费。
今已知某一部件厂的日需求量为常数
r
，日生产速率为常数
k
，
k
>
r
，每次生产准备费为
c
1
，
每天每件产品贮存费为
c
2
。
假设不允许 缺货，
当存量降到零时立即开始生产
（不计生产准备
时间）
，并且在每个生产 周期
T
内，开始的一段时间
(0<
t
<
T
0
)
一边生产一边销售，后来的一
段时间（
T
0
<
t
<
T
）只销售不生产。试安排该产品的生产计划，即确定生产周期
T
，使总 费用
70
3
10
（
1
）试建立数学模型，要求确定既能满足动物生长所需，又使总成本为最低的饲料配
最小
4.
某装饰材料公司欲以每桶
2
元的价钱 购进一批彩漆以供日后销售。
为了尽快收回资金
并获得较多的赢利，公司经理李先生打算做广告 ，于是便找到广告公司的王经理进行咨询。
李经理认为，随彩漆售价的提高，预期销售量将减少，并对此 进行了估算（见表
2
）
。他问
王经理广告有多大的效应。王经理说
“ 投入一定的钢管费后，
销售量将有一个增长，这由销
售增长因子来表示。
例如，投资< br>3
万元的广告费，
销售增长因子为，即销售量将是预期销售
量的倍。根据经验， 广告费与销售增长因子的关系有表
3
。
”
售价
预期销售量
（千桶）
广告费
（元）
销售增长
因子
表
3
广告费与销售增长因子
4
1
8
3
4
3
2
3
9
2
8
2
5
2
2
2
0
2
表
2
售价与预期销售
0
10
000
20
000
30
000
40
000
50
000
60
000
70
000
问李经理如何确定彩漆的售价和广告费，才能使公司获得的利润最大
5.
在确定像数学建模竞赛这种形式的比赛的优胜者时，
常常要评阅大量的答卷，
比如说，
有
P=100
份答卷。
一个由
J
位评阅人组成的小组来完成 评阅任务，
基于竞赛资金对能够聘请
的评阅人数量和评阅时间的限制，如果
P=100
，通常
J=8
。理想的情况是每个评阅人看所有
的答卷，并将它们一一排序， 但这种方法工作量太大。另一种方法是进行一系列的筛选，在
一次筛选中每个评阅人只看一定数量的答卷 ，
并给出分数。
为了减少所看答卷的数量，
考虑
如下的筛选模式：如果答卷是 被排序，则在每个评阅人给出的排序中排在最下面的
30%
答卷
被筛除；
如果 答卷被打分
（比如说从
1
分到
100
分）
，
则某个 截止分数线以下的答卷被筛除。
这样，
通过筛选的答卷重新放在一起返回给评阅小组，重复上述 过程。
人们关注的是，
每个
评阅人看的答卷要显著地小于
P
。评阅过 程直到剩下
W
份答卷时停止，这些就是优胜者。当
P=100
时通常取
W=3
。
你的任务时利用排序、
打分及其他方法的组合 ，
确定一种筛选模式，
按照这种模式，
最后选中的
W
份答卷只能来自 “最好的”
2W
份答卷（所谓“最好的”是指，我们假定存在
着一种评阅人一致赞成的 答卷的绝对排序）
。例如，用你给出的方法得到的最后
3
份答卷将
全部包括在 “最好的”
6
份答卷中。在所有满足上述要求的方法中，希望你能给出使每个评
阅人所 看答卷份数最少的一种方法。
注意在打分时存在系统偏差的可能性。例如， 对于一批答卷，一位评阅人平均给
70
分，而另一位可能平均给
80
分。在你 给出的模式中如何调节尺度来适应竞赛参数（
P
，
J
和
W
） 的变化
6.
评定奖学金问题：为了鼓励先进，对于学习优异、各方面表现突出的学生 ，学院要奖
励给奖学金，以资鼓励。假定奖学金分为三等，评定奖学金时综合考虑：学习成绩、综合表< br>现、社会工作等方面因素，结合学分制，
还要考虑所取得的学分等因素。请你设计一种评定
奖学金的方法，其要求如下：
⑴提出问题；⑵做出假设；
⑶建立模型；
⑷模型求解；
⑸给出评定奖学金的方法
⑹根据往年的数据，
用你所给的方法进行计算，
把 所得到的结果与往年的实际情况进
行比较分析，以此来检验你所提供的方法的可用性和客观性。
7.
为了更好地引进优秀人才，
需要对应招人员的情况进行综合考虑，
并量化 打分。
考核
的内容分为：
知识方面
（包括：
语文知识，
外语 知识，
国内外政治实事知识）
；
能力方面
（包
括：
计算机操 作能力，
公关能力）
；
表现方面
（包括：
容貌与风度，
体形 高矮与肥瘦，
音色）
。
1
．利用层次分析法，建立人才招聘的层次 结构模型，给出比较判别矩阵，并进行一致
性检验，计算权向量
2
．根据上述计算结果，建立人才招聘综合考核指标体系；
3
．下表是甲乙丙三人的评分
甲
乙
丙
语
文
5
3
3
外
语
5
2
3
政治
实事
5
4
4
计
算机
5
5
2
公
关
4
5
5
容貌与
风度
3
5
5
高矮与肥
瘦
4
4
5
音
色
5
3
4
请按指标体系分别求出综合分，并根据综合分确定最先录用谁。
8.
熊数量问题：
已知一个国家公园能够维持
100
头灰熊的生存，
但不会更多。
公园内现
有
10
头。我们用
r=
的逻辑斯谛 微分方程为熊的数量建模。
（
1
）画出并描述微分方程的斜率场。
（
2
）用步长
h=1
的
Euler
法估计
20
年内 的数量。
（
3
）求对于灰熊数量的逻辑斯谛增长的解析解
p(t)
并且画出它的图像。
（
4
）何时灰熊数量达到
50
9.
某公司在未来
1~4
月份内需要完成三项工程：第
1
项工程工期为
1~3
月份共三个月，
总计需要劳动力
80
人月，第
2
项工程工期四个月， 总计需要劳动力
100
人月，第
3
项工程
工期从
3
至
4
月份共两个月，总计需要劳动力
120
人月。该公司每月可用劳力为80
人，但
任何一项工程后上投入的劳力任一月内不准超过
60
人。问该 公司能否按时完成上述三项工
程任务，应如何安排劳动力。试将此问题归结为网络最大流问题。
10.
火柴销售与各因素之间的关系：研究火柴销售与各因素之间的关系，特收集以下数
据
年份
火柴销
煤气、
液
售量（万件）
化气户数
（万
户）
卷烟销
售量（万箱）
蚊香销
售量（十万
箱）
打火石
销量（百万
粒）
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
试建立火柴销售 与各因素之间的关系，并预测当煤气、液化气户数为
80
（万户）
，卷烟
销售量为
60
（万箱）
，蚊香销售量为
50
（十 万箱）
，打火石销量为
8
（百万粒）时火柴销售
量。
11 .
车辆更新问题：一辆汽车从购买到更新，使用年限不同，更新速度不同，其总成本
有明显差异 。现在只在每年年初考虑是否更新车辆，车辆最多使用
4
年，考虑一辆车的
8
年更新规划。各年年初新车的价格为：
第
1
年
475
0
第
2
年
500
0
0~1
年
500
使用不同时间的残值为
使用
1
年
2800
使用
2
年
2500
使用
3
年
2200
使用
4
年
1900
第
3
年
525
0
第
4
年
555
0
1~2
年
600
第
5
年
580
0
第
6
年
600
0
2~3
年
800
第
7
年
625
0
第
8
年
650
0
3~4
年
1200
使用不同时间的维修费为
12.
水塔流量的估计：某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水
位来估计水的流量。
但面临的困难是，
当水塔水位降低到设定的最低水位时，
水泵自 动启动
向水塔供水，
到设定的最高水位时停止供水，
这段时间无法测量水塔的水位和水 泵的供水量。
通常每天供水两次，每次约两小时。
水塔是一个高米 、直径米的正圆柱。按照设计，水塔水位降至约米时，水泵自动启
动，水位升到米时水泵停止工作。下表 是某一天的水位测量记录，
试估计任何时刻
（包括水
泵正在供水时）从水塔流出的水流 量（单位时间流出水的体积）
，及一天的总用水量。
时刻
(h)
水位
(cm)
时刻
(h)
水位
(cm)
0
9
68
9
48
9
31
9
13
8
98
8
81
8
69
8
52
8
39
8
22
企业主要生产一种手工 产品，
在现有的营销策略下，
年初对上半年
6
个月的产品需求预
测如 表
1
所示。
表
1.
产品需求预测估计值（件）
月份
预计需
求量
1
月
1000
2
月
1100
3
月
1150
4
月
1300
5
月
1400
6
月
1300
1
月初工人数为
10< br>人，工人每月工作
21
天，每天工作
8
小时，按规定，工人每个月加< br>班时间不得超过
10
个小时。
1
月初的库存量为
200
台。产品的销售价格为
240
元
/
件。该产
品的销售特点是，如果当月的需求不能得到满足，
顾客愿意等待该需求在后续的某个月内得
到满足，
但公司需要对产品的价格进行打折，
可以用缺货损失来表示。
6
月末的库存为
0
（不
允许缺货）
。各种成本费用如表
2
所示。
表
2.
产品各项成本费用
原材料成
本
100
元
/
件
解聘费用
100
元
/
人
库存成本
10
元
/
件
/
月
产品加工时
间
小时
/
件
缺货损失
20
元
/
件
/
月
工人正常工
资
外包成本
200
元
/
件
工人加班工
资
培训费用
50
元
/
人
12
元
/
小时
/
18
元
/
小时
/
人
人
（
1
）若你是公司决策人员，请建立数学 模型并制定出一个成本最低、利润最大的最优
产销方案；
（
2
）
公司 销售部门预测：
在计划期内的某个月进行降价促销，当产品价格下降为
220
元
/
件时，则接下来的两个月中
6%
的需求会提前到促销月发生。试就一月份（淡季） 促
销和四月份（旺季）促销两种方案以及不促销最优方案（
1
）进行对比分析，进而选 取最优
的产销。
14.
某保险公司只提供一年期的综合车险保单业务，这一 年内，若客户没有要求赔偿，
则给予额外补助，所有参保人被迫分为
0
，
1< br>，
2
，
3
四类，类别越高，从保险费中得到的折
扣越多。在计 算保险费时，新客户属于
0
类。
在客户延续其保险单时，
若在上一年没有要求
赔偿，
则可提高一个类别；若客户在上一年要求过赔偿，
如果可能则降低两个类别，否 则为
0
类。客户退出保险，则不论是自然的还是事故死亡引起的，将退还其保险金的适当部分。
现在政府准备在下一年开始实施安全带法规，
如果实施了该法规，
虽然每年 的事故数量
不会减少，
但事故中受伤司机和乘员数肯定会减少，
从而医药费将有所下降 ，
这是政府预计
会出现的结果，
从而期望减少保险费的数额。
这样的结果真会 出现吗这是该保险公司目前最
关心的问题。根据采用这种法规的国家的统计资料可以知道，死亡的司机会 减少
40%
，遗憾
的是医疗费的下降不容易确定下来，有人认为，医疗费会减少
20%
到
40%
，假设当前年度该
保险公司的统计报表如下表
1< br>和表
2
。保险公司希望你能给出一个模型，来解决上述问题，
并以表
1
和
2
的数据为例，验证你的方法，并给出在医疗费下降
20%
和40%
的情况下，公司
今后
5
年每年每份保险费应收多少才比较合理给出 你的建议。
基本保险费：
775
元
类
别
0
1
2
3
没有索赔
时补贴比例
（
%
）
0
25
40
50
续保人
数
128070
8
176489
7
115446
1
876005
8
0
324114
0
13857
1
28240
新投保
人数
384620
注销人
数
18264
总投保
人数
166532
8
176489
8
115446
1
876005
8 总收入：
6182
百万元，偿还退回：
70
百万元，净收入：
6 112
百万元；
支出：
149
百万元；索赔支出：
609 3
百万元，超支：
130
百万元。
表
1
本年度发放的保险单数
类
别
索赔人数
死亡司机
人数
平均修理
费（元）
平均医疗
费
平均赔偿
费
（元）
0
1
2
3
582756
582463
115857
700872
11652
23315
2292
7013
1020
1223
947
805
1526
1231
823
814
（元）
3195
3886
2941
2321
总修理费：
1981
（百 万元）
，总医疗费：
2218
（百万元）
；
总死亡赔偿费 ：
1894
（百万元）
，总索赔费
6093
（百万元）
。< br>
15.
战争作为人性的负面总是伴着社会的发展，
它是一个复杂的问题，涉及兵员、
武器、
地理、士气、指挥艺术，后勤、气候等等的综合作用。这样的模型一般是 很难建立的。但在
一定合理假设的条件下，还是可以近似建模的。比如说解放区的抗日战争，日军凭借人 数、
武器和资源等的优势，
常常对人民武装进行打击、
扫荡。
而人民军他总是 凭借自己的地利优
势，群众基础、灵活机动等来抗击敌人的打击，从而牵制和消灭敌人。假设有一次，由 于叛
徒的出卖。日军获知一支人数为
400
人的游击队在某一个面积为
60
平方公里的山区活动。
于是派出了人数为
900
人的部队分三路进行包围打击 。
游击队在敌人进攻前也得到了敌人要
来的情报。
于是研究组织了应敌之策。
假设你是一个指挥员或作战参谋，
请你分析建立一个
模型，
来预测这次战斗，
我方人员能否摆脱敌人的包围，
设计一个方案使我方能有效地打击
敌人。
【设计任务】
(1)
建立微分方程模型（参考战争预测等微分方程模型）
；
(2)
求解模型的解析解或者数值解（如果可行的化，求解析解可以自己推导或者借助
matlab
符号求解函数；求数值解可以通过数值分析算法进行或者调用
mtlab
函数
ode
系
列函数）
；
(3)
画出图形进行直观的分析和展示；
(4)
写出论文。
16.
某学校有
42
名教师，
一学期开设了
14
门课程
（每门课都有固定课时）
，
本学期 共有
20
周，总共
238
个班（详细见表
1
）
，由 于教学任务过多等原因，在教学安排上，有些教师
可能承担的教学量（即教学课时）较多，有些则较少， 现在你的任务是，如何合理安排教学
计划，力求使每名教师承担的教学量达到均衡。同时，还需满足一定 条件：
(1)
安排每名老师一周不能超过六次课
（即
12
课时，每次课两课时）
；
(2)
尽可量地安
排在周一至周五，每天
8
节课（即四课时）
；
(3)
每名教师授课班级不超过
8
个，每名教师
承担课不超过两门（假设每名教师每门课都能教）
；
(4)
由于身体等原因，教师尽量不要每
天连续授课。
表
1
本学期该校的教学任务
课程名
称
A
B
C
D
E
F
G
H
课时
104
104
88
48
48
72
64
64
授课班级总
数
38
51
17
5
1
1
1
1
I
J
K
L
M
N
48
108
48
48
64
48
2
1
1
2
1
116
17.
某同学考虑下学期的选课，其 中必修课只有一门（
2
学分）
，可供选修的限定选修课
（限选课）有
8
门，任意选修课（任选课）有
10
门。由于有些课程之间相互关联，所以可
能在
选修某门课程时必须同时选修其他某门课程，课程信息见下表：
限
选
课
课
1
2
3
4
5
6
7
8
号
学分
同
时
选
修
要求
任
选
课
课
号
学分
同
时
选
修
要求
5
9
0
3
8
5
1
1
3
6
3
4
4
1
2
2
5
4
1
3
2
7
3
1
1
4
2
6
3
1
5
1
3
2
1
6
1
2
1
7
1
1
8
1
1
按学校规定，学生每个学期选修的总学分数不能少于
20
学分，因此该同学必须在上述
18
门课中至少选修
18
个学分 ，
学校还规定学生每学期选修任选课的比例不能少于所修总学
分（包括
2
个必 修学分）的
1/6,
也不能超过所修总学分的
1/3
。学院也规定，课号为< br>5
，
6
，
7
，
8
的课程必须至少选一门。试 问：
1
）为了达到学校和院系的规定，该同学下学期最少应
该选几门课应该选哪几门课
2
）若考虑在选修最少学分的情况下，该同学最多可以选修几门
课选哪几门
3
）若考虑到选修时课程能否如愿选上的问题，请多准备几套选择方案。已知课
程限选人数为1
，
2
，
3
，
4
限选人数最多，
5< br>，
6
，
7
，
8
次之，
13
、
17
、
18
限选人数最少。请
考虑选课时的先后顺序（先选者先录，人满停 选）
。
18.
某设备由
24
个工件组成，安装时需要按工艺要求重新排序。
Ⅰ．设备的
24
个工件均匀分布在等分成六个扇形区域的一圆盘的边缘上，放在每个扇
形区域的
4
个工件总重量与相邻区域的
4
个工件总重量之差不允许超 过一定值（如
4g
）
。
Ⅱ．
工件的排序不仅要对重量差有一定的要求 ，
还要满足体积的要求，
即两相邻工件的体积
差应尽量大，使得相邻工件体积差不小于 一定值（如
3
cm
）
；Ⅲ．当工件确实不满足上述
要求时，允许更换 少量工件。
问题
1
．按重量排序算法；问题
2
．按重量和 体积排序算法；
问题
3
．当工件不满足要求时，指出所更换工件及新工件的 重量和体积值范围，并输出
排序结果。请按下面两组工件数据（重量单位：
g
，体积单位：
cm
）
，进行实时计算：
序
号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
0
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
2
0
3
3
重量
348
352
347
349
347
330
329
329
329
347
348
348
333
330
体积
102
105
106
104
94
98
98
99
105
104
97
97
序
号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
重量
355
351
357
341
342
340
344
355
356
344
体积
103
103
103
103
102
96
97
103
104
98
2
1
2
2
2
3
2
4
332
99
98
21
22
23
24
341
345
98
96
96
97
19.
近年来世界地震 频发，
3
月
11
日本本州岛东海岸附近发生级大地震，给日本和日本
人民财产带来重大损失。
我国地处环太平洋地震带与喜马拉雅地震带，
地震灾害更是频频发生，
例如
2008
年
5
月
12
日汶川级大地震 ，
防震抗震已经成为各级政府的一项重要工作。
某
沿海地区城市为了能够更好的减轻地 震发生所造成的损失，
决定预期准备抗震物资。
已知该
地区有生产该物资的企业三家，
大小物资仓库八个，
国家级储备库两个，
各库库存及需求情
况见附件
1
，
其分布情况见附件
2
。
经核算该物资的运输成本为高等级公路< br>2
元
/
公里•百件，
普通公路元
/
公里•百件，假设各企业、
物资仓库及国家级储备库之间的物资可以通过公路运
输互相调运。
（
1
）请根据附件
2
提供的信息建立该地区公路交通网的数学模型。
（
2
）设计该物资合理的调运方案，包括调运量及调运线路，在重点保证国 家级储备库
的情况下，为给该地区有关部门做出科学决策提供依据。
（
3
）根据你的调运方案，
20
天后各库的库存量是多少
附件
1
：各库库存及需求情况（单位：百件）
库存
单位
企业
1
企业
2
企业
3
仓库
1
仓库
2
仓库
3
仓库
4
仓库
5
仓库
6
仓库
7
仓库
8
储备
现有
库存
600
360
500
200
270
450
230
800
280
390
500
2000
预测
库存
—
—
—
500
600
300
350
400
300
500
600
3000
最低
库存
—
—
—
100
200
200
100
300
200
300
400
1000
最大
库存
800
600
600
800
900
600
400
1000
500
600
800
4000
产量
（
/
天）
40
30
20
—
—
—
—
—
—
—
—
—
库
1
储备
库
2
1800
2500
1000
3000
—
附件
2
：生产企业，物资仓库及国家级储备库分布图
20.
化验结果的处理
人们到医院就诊时，
通常要化验 一些指标来协助医生的诊断。
诊断就诊人员是否患肾炎
时通常要化验人体内各种元素含量。表是确诊病例的化验结果，
其中
1
－
30
号病例是已经确
诊为肾炎病人的化验结果；
31
－
60
号病例是已经确定为健康人的结果。 表是就诊人员的化
验结果。我们的问题是：
1)
根据表中的数据，提出一种 或多种简便的判别方法，判别属于患者或健康人的方法，
并检验你提出方法的正确性。
2)
按照
1
提出的方法，判断表中的
30
名就诊人员的化验结果进 行判别，判定他（她）
们是肾炎病人还是健康人。
3)
能否根据表的数据特 征，
确定哪些指标是影响人们患肾炎的关键或主要因素，
以便减
少化验的指标。
4)
根据
3
的结果，重复
2
的工作。
5)
对
2
和
4
的结果作进一步的分析。
表
确诊病例的化验结果
病
Zn
例号
1
2
Cu
Fe
Ca
700
701
Mg
112
125
K
179
184
Na
513
427
166
185
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
193
159
226
171
201
147
172
156
132
182
186
162
150
159
117
181
146
154
179
175
113
178
213
541
896
606
307
551
659
551
639
578
767
958
625
627
612
988
1437
1232
629
370
621
1139
135
807
626
608
421
622
992
2220
163
152
187
101
102
107
111
233
108
140
190
184
128
105
150
123
112
249
128
239
154
103
1314
264
179
136
101
150
439
454
160
168
133
770
642
726
218
257
141
680
318
552
1372
672
347
465
639
390
572
542
1092
888
852
723
218
182
126
627
139
464
852
169
168