山东大学数学学院数学实验作业题
巡山小妖精
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2021年01月30日 01:29
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数学实验
成员签名
:
曹云
2
李宪锋
2
李晓翾
2
施尚
2
可编辑
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实验二
教堂顶部曲面面积的计算方法
实验题目：
教堂顶部曲面面积的计算方法
实验目的：
本试验主要涉及微积分，
通过试验将复习曲面面积的计算、
重积分和
Taylor
展
开等知识；
另外将介绍重积分的数值计算 法和取得函数近似解析表达式的摄动方
法。
实验内容：
思考下面这个实际问题并借助数学软件完成后面
4
个题的解答：
某 个阿拉伯国家有一座著名的伊斯兰教堂，
它以中央大厅的金色巨大拱形圆
顶名震遐迩。因年久失 修，国王下令将教堂顶部重新贴金箔装饰。据档案记载，
大厅的顶部形状为球面，其半径为
30 m
。考虑到可能的损耗和其他技术因素，
实际用量将会比教堂顶部面积多
1.5
％
.
据此，
国王的财政大臣拨出了可制造
5750m
有规定厚度金箔的黄金。
建筑商人哈桑略通数学，他计算了一下，觉
得黄金 会有盈余。于是，他以较低的承包价得到了这项装饰
工程，
但在施工前的测量中，< br>工程师发现教堂顶部实际上并非是一个精确的半球
面而是半椭圆球面，
其半立轴恰是
30 m
，
而半 长轴和半短轴分别是
30.6m
和
29.6m
。这一来哈桑犯了愁，他担心黄 金是否还有盈余？甚至可能短缺。最
后的结果究竟如何呢？
1.
用近似格式（
2.10
）计算教堂顶部面积，与用格式（
2.8
）计算的结 果
相比较；
可编辑
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2.
试用数学软件直接计算面积
(2.3)
；
3.
在俄国沙皇的宫廷宝藏中，有许多复活节蛋，它们大都以金银制作，装
饰着或者内藏 着各种钻石。
其中有一中较大的金“蛋”，
“蛋”壳的外层表面是
一
个椭球面，其半长轴、半短轴和半立轴分别为
8cm
、
5.2m
和
5cm
。“蛋”壳
的
厚度为
0.24cm
，重量是
1680g
。
用
所
学
的
知
识
解
决
这
只
复
活
节
蛋
的
壳
是
否
用
纯
金
制
作
的
。
（
金
的
密
度
是
19.2g/cm
）
4.
建筑商人哈桑在对另一座伊斯兰建筑物顶部表面进行装饰时，他碰到的
是一个类似半球面、然而又具有一些其他变化规律的曲面，哈桑这次仍要对
该建筑物的顶部贴以金箔，我们可以确切地用球坐标表示该曲面方程，为
x
R
sin
(1
0.1
sin
6
)cos
,
y
R
sin
(1
0.1
sin
6
)sin
,
z
R
cos
0
2
0
2
其中
R
＝
30
（
m
）< br>，
(
请考虑一下，这是怎样地一个曲面？
)
如果由技术和损耗的
因素将使用料比实际面积多
1.6%
，那么装饰这个顶部至少需要多少金箔
?
试用数值方法和摄动方法分别求解这个问题，并将两种方法的结果比较。
（注意：
这里给出的曲面方程是参数形式的，
因此首先需要弄清这种情况下曲面
的计算 式有什么变化。
）
可编辑
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采用方法：
1.
取椭圆中心为坐标原点建立直角坐标系，则教堂顶部半椭
圆球面的方程可写为：
x
2
y
2
z
R
1
2
2
a
b
2.1
其中
R=30
，
a=30.6
，
b=29.6
，而其表面积为
2
2
s
1
z
x
z
y
dxdy
D
2
.
2
x
2
y
2
这里积分区域
D
为
2
2
1
a
b
R
2
x
2
R
2
y
2
4
4
通过简单的计算容易得到
2
2
a
b
1
z
x
z
y
1
2
2
x
y
1
2
2
a
b
引进变量代换
则有
S
0
d
0
这个积分相当 复杂，
不过关于变量
r
还是可以积出初等函数的表达式，
有兴趣的
读 者可以试一试，若记
2
x
1< br>x
ar
cos
,
y
brsin
cos
2
sin
2
< br>
R
r
a
2
b
2< br>
abrdr
1
1
r
2
2
2
2
.
3
cos
2
sin
2
R
a
2
b
2
2
.
4
那么
(2.3)
中关于
r
的积分
可编辑
-------------
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-----------------
1
0
1
ln
1
1
ln
,
2
2
2
1
r
1
rdr
1< br>
r
2
1
1
< br>arcsin
,
2
2
1
< br>
1
< br>
2
.
5
1
< br>这里
µ＝
1
的情况要对表达式求极限。
注意到
µ
的表达式
（
2.4
）
，若将式
（
2.5
）
带入式（
2.3
）得到的是一个极为 复杂的积分式。
事实上，这是一个无法以初等
函数形式来表达的积分，
< br>因此我们必须使用近似方法来处理它。考虑到这一积
分形式相当复杂，我们宁可直接对式（
2.3
）来进行处理。
2.
数值积分方法：
对于二重积分，
可以如同一元函数定积分那样，
将 区域划分为小块，
然后在每个
小区域上对被积函数作近似简化求积
，再把所得的值求和即可。
3
．摄动方法：
简单地说，
摄动方法就是对解析式中的小参数进行展开，
从而求得近似解析解的
方法， 应用于积分计算，常常是采取将被积函数（或其部分）展开的方法。
使用的主要程序：
程序
1
：
m= 18;
a= 8.0-0.14;
b= 5.2-0.14;
R= 5.0-0.14;
h= 1/(2*m);
可编辑
-------------
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-----------------
k= 2*pi/(2*m);
e= 0 : k : 2*pi;
t= (0 : h : 1)';
%
算式
(2.13)
f= sqrt(t.^2*ones(size(t))' + R^2*(1-t.^2)*((cos(e)/a).^2+(sin(e)/b).^2));
clear Iij;
for j= 2:2:2*m
for i= 2:2:2*m
%
算式
(2.10)
Iij(i,j)= k*h/9*( f(i-1,j-1)+f(i+1,j-1)+f(i-1,j+1)+f(i+1,j+1)...
+ 4*(f(i,j-1)+f(i-1,j)+f(i+1,j)+f(i,j+1))...
+ 16*f(i,j) );
end
end
I= sum(sum(Iij));
S= 2*a*b*I;
L= 0.24*S;
sprintf('
不
是
。
纯
金
蛋
应
重
%7.2f
克
，
该
蛋
壳
密
度
为
%5.2f(g/cm3)
。
n',19.2*L, 1680/L)
程序
2
：
可编辑
-------------
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-----------------
m= 15;
R= 30;
k= pi/6/(2*m);
h= pi/2/(2*m);
u= 0 : k : pi/6;
v= (0 : h : pi/2)';
for j= 1:2*m+1
for i= 1:2*m+1
f(i,j)=
sqrt( 1/100*R^2*sin(v(j) )^2*(101+20*sin(6*u(i))+35*cos(6*u(i))^2)...
* (1/100*R^2*cos(v(j))^2+1/5*R^2*cos(v(j))^2*sin(6*u (i))...
-1/100*R^2*cos(v(j))^2*cos(6*u(i))^2 +R^2)...
-9/2500*sin(v(j))^2*R^4*cos(v(j))^2* cos(6*u(i))^2*(10+sin(6*u(i)))^2 );
end
end
clear Iij;
for j= 2:2:2*m
for i= 2:2:2*m
%
算式
(2.10)
Iij(i,j)= k*h/9*( f(i-1,j-1)+f(i+1,j-1)+f(i-1,j+1)+f(i+1,j+1)...
可编辑
-------------
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-----------------
+ 4*(f(i,j-1)+f(i-1,j)+f(i+1,j)+f(i,j+1))...
+ 16*f(i,j) );
end
end
I= sum(sum(Iij));
S= 12*I;
ans= sprintf('
表面积
%7.2f (m2),
需金箔
%7.2f (m2)n',S,(1+0.016)*S)
text(-50,-70,1,ans)
实验结果：
1.
近似格式
2.8
计算的结果：
m
2
4
6
10
.
近似格式
2.10
计算的结果：
m
2
4
S
5700.54
5679.88
m
16
24
S
5679.81
5679.81
S
5 621.42
5 679.78
5 679.89
5 679.89
m
16
24
44
100
S
5 679.83
5 679.82
5 679.81
5 679.81
可编辑
-------------
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-----------------
6
10
5679.81
5679.81
44
100
5679.81
5679.81
2.
用数学软件直接计算面积
2.3
得：
S = 5679.82
3.
由算式
2.10
（见程序
1
）计算得：
不是。纯 金蛋应重
2004.25
克，该蛋壳密度为
16.09(g/cm3)
。
4.
由程序
2
计算得：
表面积为
6454.59 (m2),
需要金箔
6557.87 (m2)
可编辑
-------------
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-----------------
实验三
导弹跟踪问题
实验目的：
本实验主要涉及常微分方 程的建模和求解；
介绍两种微分方程的数值方法：
Euler
法和改进的
Eu ler
法；还介绍了仿真方法。
实验内容：
1.
应用数学软件或编制计算程序对问题
(3.12) ~ (3.14)
进 行数值计算，
先运用
Euler
法，与表
3.2
以及表
3. 3
的数据比较，并以更小的步长计算结果；再用改
进的
Euler
法计算（步 长与
Euler
法相同）
。
2
．在本实验介绍的计算过程 中，我们是计算到
y
k
H
,
y
k
1
H
即停止，然后取
L
x
k
< br>1
,
这样做法可能会有不小的误差。有时甚至会出现整体步长改小而结果却
未必 能改进的情况。
由于
Euler
法或改进的
Euler
法的计算格式 中每一步值的取
得仅仅依赖上一步的值，因此在计算过程中改变步长是可行的，即当计算到
y< br>k
H
,
y
k
1
H< br>而
y
远大于
H
时，可缩小步长（例如为原来的十分之一）以
x y
作为新起点继续进行迭代。试用这种变步长方法来改进在任务１中得到的结果。
3
．
如果当基地发射导弹的同时，
敌艇立即由仪器发觉。
假定敌艇为一高速快艇 ，
它即刻以
135km/h
的速度与导弹方向垂直的方向逃逸，
问导弹何时何 地击中快
艇？试建立数学模型并求解。
采用方法：
主要公式：
数学模型：
可编辑
-------------
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-----------------
d
2
x
v
e
(
H
y
)
dy
2
v
w
dx
2
< br>(
)
1
dy
x
|
y
0
0
dy
|
y
0
0
dx
解析方法：
导弹轨迹方程：
1
(
H
y
)
1
H
(
H
y
)
1
H
x
[
]
2
H
(
1)
1
1
2
设导弹击中敌舰于 点（
L,H
）
：
L
Hv
w
v
e
2
v
w
v
e
2
Hv
T
2
w
2
v
w
v
e
数值方法：
Euler
格式：
v
w
x
x
k
k
1
H
y
k
2
1
(
)
v
t
x
e
k
k
v
w
y
y
k
1
k
v
t
x
k
1
(
e
k
)
2
H
y
k
x
0
0,
y
0
0
则
L
x
k
1
,
T
L
为所求
v
e
改进的
Euler
方法：
可编辑
-------------
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-----------------
v
w
1
*
x
[
x
x
]
k
1
k
k
1
*
2
H
y
k
1
1
(
)
2
*
v
e
t
k
1
x
k
1
v
w
1
*
y
[
y
y
k
1
k
*
k
1
2
v
e
t
k
1
x
k
2
1
1
(
)
*
H
y
k
1
v
w
*
x
x
k
1
k
H
y
2
k
1
(
)
v
e
t
k
x
k
v
w
y
*
y
k
k
1
v
t
x
k
2
1
(
e
k
)
H
y
k
x
0
0,
y
0
0
主要程序：
1
．
Euler
法
h= 0.0005;
H= 120; Vw= 450; Ve= 90;
clear
x
y
;
tk= 0;
k= 1;
% (3.23)
x(1)= 0; y(1)= 0;
while
y(k) < H
% (3.21)
可编辑
-------------
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-----------------
x(k+1)= x(k) + Vw*h*(Ve*tk-x(k) )/sqrt((Ve*tk-x(k))^2+(H-y(k))^2);
% (3.22)
y(k+1)= y(k) + Vw*h/sqrt(1+((Ve*tk-x(k))/(H-y(k)))^2);
k= k+1; tk= tk+h;
end
x
y
sprintf(
' k = %d , tk = %7.4f n'
,k-1,tk)
sprintf(
' L = %8.4f , T = %8.4f n'
,x(k),x(k)/Ve)
改进的
Euler
法
h= 0.0005;
H= 120; Vw= 450; Ve= 90;
clear
x
y
;
tk= 0;
k= 1;
% (3.28)
x(1)= 0; y(1)= 0;
while
y(k) < H
tk1= tk+h;
% (3.26)
xk1= x(k) + Vw*h*(Ve*tk-x(k))/s qrt((Ve*tk-x(k))^2+(H-y(k))^2);
可编辑
-------------
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-----------------
% (3.27)
yk1= y(k) + Vw*h/sqrt(1+((Ve*tk-x(k))/(H-y(k)))^2);
% (3.24)
x(k+1)= 0.5*(xk1 + x(k) + Vw*h/sqrt(1+((H-yk1)/(Ve*tk1-xk1))^2));
% (3.25)
y(k+1)= 0.5*(yk1 + y(k) + Vw*h/sqrt(1+((Ve*tk1-xk1)/(H-yk1))^2));
tk= tk+h; k= k+1;
end
x
y
sprintf(
' k = %d , tk = %7.4f n'
,k-1,tk)
sprintf(
' L = %8.4f , T = %8.4f n'
,x(k),x(k)/Ve)
2
．
h= 0.01;
H= 120; Vw= 450; Ve= 90;
clear
x
y
;
tk= 0;
k= 1;
% (3.28)
x(1)= 0; y(1)= 0;
while
h>0.00001
可编辑
-------------
精选文档
-----------------
if
y(k)>H
tk=tk-h;tk1=tk-h;k=k-1;h=h/10;
end
tk1= tk+h;
% (3.26)
xk1= x(k) + Vw*h*(Ve*tk-x(k))/sqrt(( Ve*tk-x(k))^2+(H-y(k))^2);
% (3.27)
yk1= y(k) + Vw*h/sqrt(1+((Ve*tk-x(k))/(H-y(k)))^2);
% (3.24)
x(k+1)= 0.5*(xk1 + x(k) + Vw*h/sqrt(1+((H-yk1)/(Ve*tk1-xk1))^2));
% (3.25)
y(k+1)= 0.5*(yk1 + y(k) + Vw*h/sqrt(1+((Ve*tk1-xk1)/(H-yk1))^2));
tk=tk+h;k=k+1;
end
sprintf(
' k = %d , tk = %7.4f n'
,k-1,tk)
sprintf(
' L = %8.4f , T = %8.4f n'
,x(k),x(k)/Ve)
3
．
h= 0.0005;
H= 120; Vw= 450; Ve= 135;
clf
axis([-5 35 -10 130])
可编辑
-------------
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-----------------
hold
on
title(
'µÐ½¢Óëµ¼µ¯´¹Ö±ÌÓÒÝ'
)
plot(0,H,
'bo'
)
plot(0,0,
'r.'
)
pause
clear
Xw
Yw
Xe
Ye
;
tk= 0; s= 0;
k= 1;
Xw(1)= 0; Yw(1)= 0;
Xe(1)= 0; Ye(1)= H;
while
(Xw(k)-Xe(k))^2+(Yw(k)-Ye(k))^2 > 0.4
Xw(k+1)= Xw(k) +
Vw*h*(Xe(k)-Xw( k))/sqrt((Xe(k)-Xw(k))^2+(Ye(k)-Yw(k))^2);
Yw(k+1)= Yw(k) + Vw*h/sqrt(1+((Xe(k)-Xw(k))/(Ye(k)-Yw(k)))^2);
Xe(k+1)= Xe(k) + Ve*h/sqrt(1+((Xe(k)-Xw(k))/(Ye(k)-Yw(k)))^2);
Ye(k+1)= Ye(k) -
Ve*h*(Xe(k )-Xw(k))/sqrt((Xe(k)-Xw(k))^2+(Ye(k)-Yw(k))^2);
s= s+sqrt((Xe(k+1)-Xe(k))^2+(Ye(k+1)-Ye(k))^2);
Wx(1)= Xw(k);
Wx(2)= Xw(k+1);
可编辑
-------------
精选文档
-----------------
Wy(1)= Yw(k);
Wy(2)= Yw(k+1);
Ex(1)= Xe(k);
Ex(2)= Xe(k+1);
Ey(1)= Ye(k);
Ey(2)= Ye(k+1);
plot(Xe(k),Ye(k),
'wo'
)
plot(Xw(k),Yw(k),
'w.'
)
plot(Xe(k+1),Ye(k+1),
'bo'
)
plot(Xw(k+1),Yw(k+1),
'r.'
)
plot(Ex,Ey,
'b'
)
for
rp=0:10
plot(Wx,Wy,
'y'
)
plot(Wx,Wy,
'w'
)
plot(Wx,Wy,
'r'
)
end
k= k+1; tk= tk+h;
end
plot(Xe(k),Ye(k),
'ro'
)
plot(Xe(k),Ye(k),
'y*'
)
text(Xe(k)-1,Ye(k)-8,
'ᥠ!!'
)
可编辑
-------------
精选文档
-----------------
sprintf(
' k = %d , tk = %7.4fn'
,k-1,tk)
ans= sprintf(
' X=%8.4f, Y=%8.4f, T=%8.4fn'
,Xe(k),Ye(k),s/Ve)
text(10,10,ans)
hold
off
pause
close
clear
all
实验结果：
1
．
用
Euler
法：当 令
0.0005
时，
L = 25.0763 , T = 0.2786
。
用改进的
Euler
法：当令
0.0005
时，
L = 25.0608 , T = 0.2785
。
用更小的步长，所得结果更接近解析方法的结果。
2
．所得结果为：
L = 24.9563 , T = 0.2773
3
．敌舰被击中的位置为（
33.0906, 110.2464
）
可编辑
-------------
精选文档
-----------------
实验六：个人住房抵押贷款和其他金融问题
实验题目：
个人住房抵押贷款和其他金融问题
实验目的：
本实验涉及微积分和线性代数
,
通过实验复习数列,
函数方程求根和与线性代数方
程组有关的某些知识
:
主要是介绍与经济 生活中某些常见重要问题有关的离散形
式数学模型
--
差分方程。
实验内容：
1
、
实际问题：
1998
年
12
月，中国人民银行公布了新的存，贷款利率水平，其中贷款利率如
表
1
，
表
2
和表
3
分别列出了上海商业银行报章公布的个人住房 商业抵押贷款年
利率和上海商业银行提供的个人住房商业性抵押贷款
（万元）
还款额的 部分数据。
表
1
贷款期限
利率
%
表
2
可编辑
半年
6.12
1
年
6.39
3
年
6.66
5
年
7.20
5
年以上
7.56
-------------
精选文档
-----------------
贷款期限
利率
1
年
6.120
2
年
6.255
3
年
6.390
4
年
6.525
5
年
6.660
表
3
贷款期
年
月
1
12
2
24
444.356
3
36
305.9896
4
48
237.2649
5
60
196.4118
月还款期
到期一次还
本付息
本息总额
10612.00
10664.54
11015.63
11388.71
11784.71
2
、
数学模型：
以商业贷款
100 0
元为例，
一年期贷款年利率为
6.12%
，
到期一次还本付息总< br>计
10612.00
元，二年期贷款的年利率为
6.255%
，月还款 数
444.3560
元恰为
本息总额
10664.54
元的
1/24
，这是怎么产生的呢？
设贷款后第
k
个月是欠款余数位阿
A
k
元，月还款为
m
元，则由
AK
变化
到
A
k+1
，有还款数和利息因素，月利率设为
r
，从而得到
A
k+1
=(1+k)A
k
-m,
k=0,1,
2……
（
1
）
开始的贷款数
A
0
=10000
（
2
）
成为数学模型。
月
利
率
采
用
将
年
利
率
R=0.06255
平
均，
即
r=0.06255/12 =0.0052125
（
3
）
（
1
）
称为差分方程。
3
、
问题的解法与讨论：
a.
月还款额
二年期贷款满足
A
24
=0
（
4
）
令
可编辑
B
k
=A
k
-A
k-1
-------------
精选文档
-----------------
（
5
）
由
（
1
）
得
B
k+1
=(1+r)B
k
于是得
B
k
=B
1
(1+r)
k-1
,
k=1,2……
（
6
）
A
k
-A
0
=B
1
+B
2
+…… B
k
=B
1
[1+(1+r)+……+(1+r)
k-1
]
=(A
1
-A
0
)[[ (1+r)
k-1
]/r]
= [(1+r)A
0
-m-A
0
][[(1+r)
k-1
]/ r]
从而得到差分方程的解：
A
k
=A
0
(1+ r)-m/r[(1+r)
k-1
],
k=0,1,2,……
（
7
）
将
A
k
,A
0
,r
，
k=24
的值代入得，
m=444.3560
（元）
。
b
．还款周期
如果按月还款的话，显然要比按年付款的钱少。
考虑到人们的收入一般均以月
薪方式获得，因此逐月归还法对于 贷款这是合适的。
若改为逐年归还方法，情况如何呢？以二年为例，则 （
7
）中的
r
代为
R=0.06255
，
k=2
，
A
0
=10000
，得到
m~=5473.8673（元）
。
本息总额为
2m~=10947.73
（元）
。
c.
平衡点
若令
A
k+1
=A
k
=A
，可解得
A=m/r
称之为差分方程
(1)
的平衡点。
当
A
0
=m/r
时
,
衡有
Ak=m/r
，
k=0,1,2,
……
,
则每月还款额恰抵上利息
,
则所
欠额保持不变。
当
A
0
稍大于或小于
m/r
时，
A
k
随着
k
的增大越来越远离
m/r,
这种平衡点称
为不稳定的。
对一般的差分方程
A
k+1
=f(A
k
),k=0
，
1
，
2
，
……
（
9
）
当初始值稍大于或小于差分方程的平衡点
A
时，若
Ak
→
A
，
(
当
k
→∞)
则
称
A
为稳定的，否则，称
A
为不稳定的。
4.
其他问题
a.
养老保险
数学模型：养老保 险是与人们生活密切相关的一种保险类型。通常保险公司
会提供多种方式的养老金计划让投保人选择，< br>在计划中详细列出保险费和养老金
的数额。
例如某保险公司的一份材料指出：
在 每月交费
200
元至
60
岁开始领养
老金的约定下，男子若
25
岁起投保，届时月养老金
2282
元，若
35
岁起投保，
月养老金
1056
元；若
45
岁起投保，月养老金
420
元。我们来考虑这三种情况
可编辑
-------------
精选文档
-----------------
所交保险费获得的利率。
F
k+1
=F
k
(1+r)+p,
（
11
）
F
k+1
=F
k
(1+r
（
12
）
其中
p
，
q
分别是
60< br>岁前所交的月保险费和
60
岁起所领月养老金数目，
r
是交保险金获得 利率，
N
，
M
分别是自投保起至停交保险费和至停交养老金的时
间。
射手名平均值
75
岁。
以
25
岁起投保为例，
则有
p=200
，
q=2282
；
N=420
，
M=6 00
。
不难得到
F
k
=F
0
(1+r)
k
+p/r[( 1+r)
k
-
1],
（
13
）
F
k
=F
N
(1+r)
k-N
-q/r [(1+r)
k-N
-
1],
（
14
）
（
13
）中
k=N
，
（
14
）中
k=M
且
F
M
=0
。则得关于
r
方程
（
1+r
）
M
-
（
1+q/p
）
（
1+r
）
M-N
+q/p=0
记
x=1+r
，代入数据解出根
x=1.00485
，
r= 0.00485
。对于
35
岁和
45
岁起
投保情况，得月利 率分别为
0.00461
和
0.00413
。
b.
金融公司的支付基金的流动
某金融机构为保证现 金充分支付，设立一笔总额
$$540
万元的基金，分开放置
在位于
A
城和
B
城的两公司。发现每过一周，
A
城公司有
10%
支付 基金流动到
B
公司，
B
公司则有
12%
支付基金流动到A
城公司。此时，
A
城公司基金额为
$$260
万，
B< br>城公司基金额
$$280
万。
按此规律，
两公司支付基金数额变化趋势如
何？
设此后第
k
周结算时，
A和
B
基金数分别是
ak
和
bk
（万元）
，则有
a
k+1
=0.9a
k
+0.12b
k
,
k=0,1,2……
b
k+1
=0.1a
k
+0.88b
k
,
（
17
）
a
0
=260
（
18
）
< br>迭代可求得各周末时
a
k
和
b
k
的数值。
表
（
4
）
给出
1
至
12
周末两公司基金数< br>（单位：万美元）
：
，
k=0,1,2……
k=N+1,N+2,……M
k=0,1,2……N
）
-
q
,
k=N+1,N+2,……M
k=0,1,2……
，
N
b
0
=280
可编辑
-------------
精选文档
-----------------
表（
4
）
k
a
k
1
267.600
0
2
273.528
0
3
278.151
8
4
281.758
4
b
k
272.400
0
266.472
0
261.848
2
258.241
6
8
289v812
3
k
a
k
b
k
4
6
284.7658
253.234
2
7
288.4773
251.522
7
250.187
7
1
1
1
k
a
k
9
290.853
6
291.665
292.299
292.793
0
8
1
3
2
5
b
k
249.146
4
248.334
2
247.700
7
247.206
5
5
284.5716
255.428
由表知，
A
城公司支付基金数在逐步增加，但增幅逐步减小；
B
城公司支付基金数则正好相反，但
a
k
是否有上界，< br>b
k
是否有下界？（附程
序）
5.
问题与讨论（实验任务）
(1)
确定表
2
中 二、三、四期贷款利率是如何产生的，推导出相应的一至五年万
元贷款的还款额表。
（
2
）
制定一张完整的个人住房商业贷款利率和还款表，
贷款期从一年至二十 年。
表中包含贷款期（年，月）
、年利率、月利率月还款额和本息总额。
（
3
）
小李夫妇曾准备申请商业贷款
10
万元用于购置住房，
每月还款
880.66
元，
25
年还清。此时，房产商介绍的一家金融机构提 出：贷款
10
万元，每月还款
440.33
元，
22
年还清 。贷款时预付
4000
元。试分析两种情况哪个更合适？
（
4）从还款周期比较看出逐月还款比逐年还款付出较少本息总额则逐月还款情
况如何？考虑是否有必要 采取尽可能短的周期还款？
6.
实验中所用的程序和方法
实验任务
1
对比表
6.1
和
6.2
可知 ：表一中的半年利率、一年利率、三年利率分别是表二中
的一年、三年、五年利率。而表二中的利率呈线 性关系。不难发现表一中的利率
亦成线性关系。
表二中的二三四年利率就是根据此线性关系产生 。
依据前面的同
样的解差分方程的方法将前面
2
年期对应的数据分别改成1
年、
3
年、
4
年和
5
年期，分别计算
m1
、
m3
、
m4
、
m5,
将得到的数据与表< br>3
进行对比，发现数据
可编辑
-------------
精选文档
-----------------
是相同的。这验证了表
3
。
实验任务
2
程序如下：
A
0
= 10000;
sdr= [6.12 6.39
6.66 7.20 7.56 7.56];
sdk= [0.5 1 3 5 6 20];
fdk= 1:9;
fdr= 0.135*(fdk-1)+6.12;
for k=10:20
fdk(k)= k;
fdr(k)= 7.20;
end
m(1)= 0;
s(1)= 10612.00;
r= fdr/12/100;
for k=2:20
m(k)= ( A0*r(k)*(1+r(k))^(k*12) )/( ((1+r(k))^(k*12)) - 1 );
s(k)= k*12*m(k);
end
tb= sprintf('
贷款
%d
元还款表
nn',A0);
tb= [tb sprintf('
年
月
年利率
月利率
月还款额
本息总额
nn')];
可编辑
-------------
精选文档
-----------------
for k=1:20
tb= [tb sprintf('
%2d
%3d
%6.4f
%6.4f
%8.4f
%8.2fn',...
end
tb
plot(sdk,sdr,fdk,fdr)
pause
close
clear all
程序结果如下表：
年
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
月
12
24
36
48
60
72
84
96
108
120
132
年利率
6.1200
6.2500
6.3900
6.5250
6.6600
6.7950
6.9300
7.0650
7.2000
7.2000
7.2000
月利率
0.5100
0.5212
0.5325
0.5438
0.5550
0.5663
0.5775
0.5888
0.6000
0.6000
0.6000
可编辑
k,12*k,fdr(k),fdr(k)/12,m(k),s(k))];
月还款额
0.0000
444.3560
305.9896
237.2649
196.4118
169.5074
150.5848
136.6609
126.0782
117.1419
109.8924
本息总额
10612.00
10664.54
11015.63
11388.71
11784.71
12204.53
12649.13
13119.44
13616.44
14057.02
14505.79
-------------
精选文档
-----------------
12
13
14
15
16
17
18
19
20
144
156
168
180
192
204
216
228
240
7.2000
7.2000
7.2000
7.2000
7.2000
7.2000
7.2000
7.2000
7.2000
0.6000
0.6000
0.6000
0.6000
0.6000
0.6000
0.6000
0.6000
0.6000
103.9073
98.8943
94.6445
91.0047
87.8598
85.1220
82.7228
80.6082
78.7349
14962.65
15427.52
15900.28
16380.84
16869.08
17364.88
17868.12
18378.66
18896.38
实验任务
3
函数文件：
%
函数返回 值
rate
为实际享受到的贷款年利率，
%
参数
A
0
贷款总额，
m
每次
还款额，
y
贷款年数，
c
每年 还款次数。
程序
1:
A0=100000;
m=880.66;
y=25;
c=12;
rate= ep6_f2(A0,m,y,c)
k= y*c;
p(1)= A0;
p(2)= -m-A0;
p(k+1)= m;
可编辑
-------------
精选文档
-----------------
x= roots(p);
r1= (x-1)*c;
n1= 1;
for n= 1:k
if r1(n) > 0
r(n1)= r1(n);
n1= n1+1;
end
rate= r;
sprintf('
还款年利率为
%f',r);
end
程序二
A0=96000;
m=440.33;
y=22;
c=24;
rate= ep6_f2(A0,m,y,c)
k= y*c;
p(1)= A0;
p(2)= -m-A0;
p(k+1)= m;
x= roots(p);
可编辑
-------------
精选文档
-----------------
r1= (x-1)*c;
n1= 1;
for n= 1:k
if r1(n) > 0
r(n1)= r1(n);
n1= n1+1;
end
rate= r;
sprintf('
还款年利率为
%f',r);
end
运行后
1
利率为
0.0959
，
2
利率为
0
。
0969
，所以并不优惠。
实验任务
4
程序如下：
文件
1
function
out= ep6_f1(q,k)
A
0
= 10000;
fdk= 1:9;
fdr= 0.135*(fdk-1)+6.12;
for ii=10:20
fdk(ii)= ii;
fdr(ii)= 7.20;
end
可编辑
-------------
精选文档
-----------------
r= q*fdr(q)/k/100;
m= ( A
0
*r*(1+r)^k )/( (1+r)^k - 1 );
[sprintf('
%d
年期贷款，分
%d
次还款
:',q,k),...
sprintf('
每次还款
%9.4f
元
,
本息总额为
%9.2f
元。
',m,m*k)]
out= m*k;
文件
2
s(1)= ep6_f1(2,2*1);
s(2)= ep6_f1(2,2*2);
s(3)= ep6_f1(2,2*4);
s(4)= ep6_f1(2,2*12);
s(5)= ep6_f1(2,2*12*4);
s(6)= ep6_f1(2,2*12*8);
s(7)= ep6_f1(2,2*365);
plot(s)
pause
close
程序结果为：
2
年期贷款，
分
2
次还款
:
每次还款
5473.8673
元
,
本息总额为
10947.73
元。
2
年期贷款，
分
4
次还款
:
每次还款
2698.4778
元
,
本息总额为
10793.91
元。
2
年期贷款，
分
8
次还款
:
每次还款
1339.5528
元
,
本息总额为
10716.42
元。
2
年期贷款，
分
24
次还款
:
每次还款
444.3560
元
,
本息总额为
10664.54
元。
2
年期贷款，
分
96
次还款
:
每次还款
110.8859
元
,
本息总额为
10645.04
元。
可编辑
-------------
精选文档
-----------------
2
年期贷款，分
192
次还款
:
每次还款
55.4260
元
,
本息总额为
10641.79
元。
2
年期贷款，分
730
次还款
:
每次还款
14.5745
元
,
本息总额为
10639.39
元。
分析运行 结果可知，
综合考虑还款因素与人力因素，
按月还款最为符合实际情况。
（
四、实验结果：
3
、对实验任务
3
来说，看似第二种方法花的总钱数少，但实际上第一种情况对
小李夫妇更优惠。
4< br>、对还款周期来说，从实验结果来看，缩短还款周期确定所付的本息总额在逐
渐减少，
但 减少的幅度会越来越少，
最后时，
几乎上下只差几元钱，
这显然麻烦，
所以有 时不必采取更短周期，只需按月就行。
五、实验总结：
可编辑
-------------
精选文档
-----------------
《个人住房抵押贷款和其他金融问题》
这个数学实验比较贴近现实，和我们的
日常生活息息相关，
所以在做这个实验的时候我们感到比较熟悉。
从这个 实验可
以看出，
现在的保险一般都没有在银行存款的利息高。
最后，
我们凭着 一些生活
中的经验进行了一些简单的分析，
希望老师能指出我们实验中的错误。
通过互 相
的配合，
我们在实验中积累了不少经验，
也会给我们进行以后的数学实验和数学建模打下更好的基础。
可编辑