学习数学有什么好的方法及常见的数学四大思想,高中数学解题基本方法
余年寄山水
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2021年01月30日 02:04
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瓦尔登湖读后感-调档函
学习高中数学有什么好的方法
1
掌握好公式定理
（如果这步不做，想学好数学就是在做白日梦，想一
想没有武器的士兵如何去打战。）
不管学数学的目的是为考试，还是兴趣，都要< br>掌握公式定理这个必备的武器，这样才能在题目的战
场上施展拳脚。
学习数学时，对于公式定理一般要经历三个过程：
1
认识；○
2
理解；○
3
应用
○
1
认识：能认出
,
识别公式定理
○
2
理解：能明白公式定理的内容及其推导方法，适用
○
范围
3
应用：懂得在题目中如何应用公式定理来解题，应
○
用什么公式定理来解题
所谓掌握是指是指达到应用水平，
2
按时完成作业
（要按时认真完成学校定的配套，这是基本功，想一
想没有训练的士兵如何上得了战场）
适当的训练是培养考试能力必不可少的的途径
（考试能力是指思维能力，做题技巧，得分技巧，做
题速度，答题规范等）
但切忌不要搞题海战术，因为这只对简单的题
有效，稍微改变一下条件就可能蒙了。
（题海战术是指不停的做题，做大量的题，而不进行
必要的总结思考，对错题只做修改而不查找 原因）
而且人的生命是有限的，没有无限的时间做题，只有
总结规律才是王道
（规律即答题的固定步骤，解题的方法等，这可避免
想题时没有方向）
3
养成独立思考的习惯
不懂时一定要先自己思考一下，实在不行时再问同学
或老师，
不能一遇到不 懂的就立即问同学老师，这样会使大脑
得不到锻炼，对他人产生依赖，成绩就会不升反降。
（不懂也不能放弃，如果不懂就放弃的话就永远学不
好数学）
4
要总结自己的强项和弱项，及时查漏补缺
(
即知道考 试时什么题目自己能做得又快又准，
什么题
目自己做的出来但较慢，什么题目自己做不出来，并
进行有针对性的练习，
这样考试才不会太紧张）
中学数学
的基本知识分三类：
①
是纯粹数的知识，
如实数 、
代数式、
方程
（组）
、
不等式
（组）
、
数列
等；
②是关于纯粹形的知识，如
平面几何
、立体几何
等；
③
是关于数形结合的知识，主要体现是
解析几何，函数
等
根据这三类来分类自己的强弱项。
形成一套属于自己的学习流程
（学习流程即知道上课前，
上课时，
上课后该干什么，
在学校，在家里该干什 么）
5
合理安排考试时的时间
考试时合理安排好答题时间，不要因一道小题而没做
大题，
也不要害怕答大 题，往往大题的第一问都较容易，有
时根据条件推出一些简单的结论也能得分
（你可能不知道这些结论有什么用）
掌握几个考试时放松的技巧，防止怯场
平时可自己模拟考试场景练习一下
6
要肯脚踏实地的去努力
不要因为一些同学学数学看起来很轻松就认为他们
有秘籍或他们是天才，不用努力。
对于学习有一定的方法（指适合他们自己的方法）的
人，学习初中数学还较轻松
但到了高中就不一定了，
很多初中数学
130
分以上
的同 学，到高中都很少得
120
分以上，而一些高一高
二数学不错的同学，到高三时成绩不 升反降，出现了
因不重视基础，知识出现漏洞的现象。
所以只有基础知识扎实，刻苦努力才能学好数
学。
7
没有捷径
要明确一点：学数学并没有什么一夜成才的方法
（要是有的话早就在全世界推广了）
8
注重课堂
不要盲目的请家教，这可能会浪费课余时间而无效
果，
即使有效果也绝对比不上自己摸索的适合自己的
学习方法，
珍惜课堂上的时间更有意义，你的老师不一定比
家教差。
（这也是为什么学习好的学生不用请家教但学习好
的原因）
可能你因为不喜欢你的老师而不认真的听课，
但
这对 老师来说并没有太大伤害，反而是使自己的成绩
变差。
如果觉得你的老师教得不好，可以向班上的尖
子生请教，看看他们是如何 听课学习的，如何在老师
不好的情况下仍保持好成绩。
学好数学的几个建议
1
、记数学笔记，
特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师为备
战高考而加的课外知识。
2
建立数学纠错本。
把平时容易出现错误的知识或推理记载下来 ，以防再
犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能
从反面入手深入理解正确东西；能 由果朔因把错误原
因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推
理严密。
3
、学会总结归类，记忆数学规律和数学小结论。
4
①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用
上分类。
数学解题时是有思想和方法的，绝对不是瞎猫
碰上死耗子，凑巧想到解题方法的
.
常见的数学四大思想为：
函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结
合。
函数与方程
函数思想
就是用用运动和变化的观点、
几 何与对应的的思
想，
去分析和研究数学中的的数量关系，
建立函数关系或构造函
数，
运用函数的图像和性质去分析问题，
转化问题，
使问题获得
解决。
方程思想
就是分析数学问题中的变量间的等量关系，从
而建立方程或方程组或构造方程，
通过解方程或方 程组，
或运用
方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
应用
函数与方程思想
的几种常见题型是：
遇到变量，构造
函数关系
解题；
有关的
不等式
、
方程
、
最小值和最大值
之类的问题，
用函数观点
加以分析；
含有多个变量的数学问题中，
选定合适的主变量，
从而揭示其中
的 函数关系；
实际应用问题，翻译成
数学语言
，建立数学模型和函数关系式，
应用
函数性质
或
不等式
等知识解答；
等差、等比
数列
中，
通项公式、前
n
项和的公式，
都可以看成
n
的函数，数列问题也可以用函数方法解决。
解析几何、
立体几何中的计算
中常需要建立方程组，
构造函数关
系来解题；
函数
f(x)=(a+bx)
n
(n
∈
N*)
与
二项式定理
密切相关
方程与函数关系密切，方程问题也可以转换为函数问题来求解，
反之亦然。
设不等式
2x
－
1>m(x
2
－
1)< br>对满足
|m|
≤
2
的一切实数
m
的取值都成立。求< br>x
的取值范围。
【分析】
此问题由于常见的思维定势，易 把它看成关于
x
的不等式讨论。
然而，
若变换一个角度以
m
为变量，
即关于
m
的一次不等式
(x
2
－
1)m< br>－
(2x
－
1)<0
在
[-2,2]
上恒成立的问题 。
对此的研究，
设
f(m)
＝
(x
2
－
1 )m
－
(2x
－
1)
，则问题
转化为求一次函数（或常数函 数）
f(m)
的值在
[-2,2]
内恒为负值时参数
x
应该
f
(
2
)
0
满足的条件
< br>。
f
(
2
)
0
< br>【解】
问题可变成关于
m
的一次不等式：
(x
2
－< br>1)m
－
(2x
－
1)<0
在
[-2,2]
恒
成立，设
f(m)
＝
(x
2
－
1)m
－
(2x
－
1),
2
f
(
2
)
2
(
x
1
)
(
2
x
1
)
0
则
2
f
(
2
)
2
(
x
1
)
(
2
x
1
)
0
解得
x
∈（
7
1
3
1
,
）
2
2
【注】
本题的关键是变换角度，以参数
m
作 为自变量而构造函数式，不等
式问题变成函数在闭区间上的值域问题。
本题有别于关于
x
的不等式
2x
－
1>m(x
2
－
1)
的 解集是
[-2,2]
时求
m
的值、关于
x
的不等式
2x
－
1>m(x
2
－
1)
在
[-2,2]
上
恒成立时求
m
的范围。
一般地，在一个含有多个变量的数学问 题中，确定合适的变量和参数，从而揭
示函数关系，使问题更明朗化。或者含有参数的函数中，将函数自 变量作为参
数，而参数作为函数，更具有灵活性，从而巧妙地解决有关问题。
转化与化归
数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归
转换过程。
转化与化归思想
方法的特点是具有
灵活性和多样性
。
它可
以在
数与数、
形与 形、
数与形
之间进行转换；
它可以在
宏观
上进
行转化与化归 ，
如在分析和解决实际问题的过程中，
普通语言向
数学语言的翻译
；
它可以在符号系统内部实施转化，
即所说的
恒
等变形。消去法、换元法、数形结合法、 求值求范围
问题等等，
都体现了
转化与化归的思想
，
我们更是经常在
函数、
方程、
不等
式之间
进行转化与化归。
即把 我们遇到的较陌生的问题，
通过转化变成我们比较熟悉
的问题来处理；
或者将较为繁琐 、
复杂的问题，
变成比较简单的
问题，
比如从超越式到代数式、
从无 理式到有理式、
从分式到整
式
…
等；
或者比较难以解决、
比 较抽象的问题，
转化为比较直观
的问题，
以便准确把握问题的求解过程，
比如 数形结合法；
或者
从非标准型向标准型进行转化。
按照这些原则进行数学操作，
转
化过程省时省力，
有如顺水推舟，
经常渗透等价转化思想，
可以
提高解题的水平和能力。
转化与化归的基本类型：
1)
正与反、一般与特殊的转换；
2)
常量与变量的转换；
3)
数与形的转换；
4)
数学各分支之间的转换；
5)
相等与不相等之间的转换：
6)
实际问题与数学模型之间的转换。
x
2
y
2
2
2
如：
1.
设椭圆
a
＋
b
＝
1
（
a>b>0< br>）
的半焦距为
c
，
直线
l
过
(0,a)和
(b,0)
，
2
21
已知原点到
l
的距离等 于
7
c
，则椭圆的离心率为
_____
。
1
1
3
2
A.
4
B.
2
C.
3
D.
2
2
21
c
2
2
4
2
画图分析得
ab
＝
7
×
a
b
，变形为
12 (c/a)
-31(c/a)
+7=0
不要急于求出
a
与
c
的关系，而是根据
e=c/a
得
12e
－
31e
＋
7
＝
0
，
再解出
e
，选
B
；
4
2
1
1
1
2.
若
x
、
y
、
z< br>∈
R
且
x
＋
y
＋
z
＝< br>1
，求
(
－
1)(
－
1)(
－
1)
的最小值。
x
z
y
【分析】由已 知
x
＋
y
＋
z
＝
1
而联想到，只有将所求 式变形为含代数式
x
＋
y
＋
z
，或者运用均值不等式后含< br>xyz
的形式。所以，关键是将所求式进行合理的
变形，即等价转化。
1
1
1
1
【解】
(
－
1)(
－
1)(
－
1)
＝
（
1
－
x< br>）
(1
－
y)(1
－
z)
x
z
y
xyz
＝
1
1
(1
－
x
－
y－
z
＋
xy
＋
yz
＋
zx
－
xyz)
＝
(xy
＋
yz
＋
zx
－
xyz )
xyz
xyz
3
1
1
1
3
1
＝
＋
＋
－
1
≥
3
3
－
1
＝
－
1
≥
－
1
＝
9
3
x
y
z
x
z
y
xyz
xyz
3
【注】对所求式进行等价变换：先通分，再整理分子，最后拆分。将问题转
1
11
化为求
＋
＋
的最小值，则不难由平均值不等式而进行解决。此题属于代
x
z
y
数恒等变形题型，即代数式在形变中保持值不变。
分类讨论
引起
分类讨论
的原因主要是以下几个方面：
①
问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。
如
|a|
的定义分< br>a>0
、
a=0
、
a<0
三种情况。
这种分类讨论题型可以称为
概念型
。
②
问题中 涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或
者条件限制，或者是分类给出的。
如等比数列的前
n
项和的公式，分
q=1
和
q
≠
1
两种情况。
这种分类讨论题型可以称为
性质型
。
③
解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨
论。
如解不等式
ax>2
时分
a>0
、
a=0
和
a<0
三种情况讨论。
这称为
含参型
。
另外 ，
某些不确定的数量、
不确定的图形的形状或位置、
不确定
的结论等，
都主要通过分类讨论，
保证其完整性，
使之具有确定
性。
进行
分类讨论
时，我们要遵循的原则是：
分类的对象是确定的，标 准是统一的，不遗漏、不重复，科学地
划分，
分清主次，
不越级讨论。
其中最 重要的一条是
“不漏不重”
。
解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：
①要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；
②确定分类标准，正确进行合理分 类，即标准统一、不漏不重、
分类互斥（没有重复）；
③再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；
④进行归纳小结，综合得出结论。
如：
1.
过点
P(2,3)
，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是
_____
。
A. 3x
－
2y
＝
0 B. x
＋
y
－
5
＝
0 C. 3x
－
2y
＝
0
或
x
＋
y
－
5
＝
0 D.
不能确定
分截距等于零、不等于零两种情况，选
C
。
2.
设函数
f
(
x
)=
x
+
bln
(
x
+1)
，其中
b≠0。
2
求函数
f
(
x
)
的极值点。
解：
f
(
x
)
在定义域上是增函数，
① 当
b>
1
时，
函数
函数无极
2
值点；
< br>②当
b
1
时，
2
1
2
(
x
)
2
2
0
恒成立，
f< br>/
(
x
)
x
1
∴函数在定义域 上单调递增，无极值点；
③当
b
1
时，
f2
x
1
/
(
x
)
0有两个不同的解
1
1
2
b< br>2
1
，
x
2
1
1
2
b
2
A
显然
b
0
时，
x
○
1
，
x
2
0
，即
x
1
(
,
1
),
x
2
(
1
,
),
b
0
时，
f
/
(
x
),
f
(
x
)< br>的变化情况如下表：
x
f
/
(
x
)
f
(
x
)
(
1
,
x
2
)
x
2
(
x
2
,
)
-
单调递减
0
极小值
+
单调递