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2021年1月30日发(作者：变脸魏明伦)
初中数学知识宝典

知识归纳


第
1
章

数与式

第
1
节

实

数


知识点

内容

按定义分
错误
!

按正负分
实数的分类

{
正实数
{
正有理数负有理数
数轴

0
负实数
{
正无理数负无理数

(1)
三要素：原点、正方向和单位长度；

(2)
特征：数轴上表 示的实数
，
右边的数总比左边的数大
(
右大左
小
)

(1)
只有符号不同的两个数互为相反数
(a
的相反数是－
a
，
0
的相
相反数

反数是
0)
；

(2)a
，
b
互为相反数


a
＋
b
＝
0
；

(3)
在数轴上
，
表示互为相反数
(0
除外
)
的两个点
，
位于原点的两
侧
，
且到原点的距离相等

(1)
几何意义：一个数在数轴上对应的点到原点的距离；

绝对值

(2)|a|
＝
{
a
（
a
≥
0
）
，
－
a
（
a
＜
0
）；

(3)|a|
≥
0

1
(1)a
与
(a< br>≠
0)
互为倒数；
0
没有倒数；

a
(2)a
，
b
互为倒数


ab
＝
1

(1)
数轴上表示的实数
，
右边的数总比左边的数大；

( 2)
正数都大于
0
，
负数都小于
0
，
正数大于负数 ；

(3)
两个正数比较大小
，
绝对值大的数大；两个负数比较大小
，
绝对值大的数反而小；

(4)
比较无理数的方法：①估算法；②平方法；③作差法等


( 1)
同号两数相加
，
取相同的符号
，
并把绝对值相加；
< br>(2)
异号两数相加
，
取绝对值较大的加数的符号
，
并用较大 的绝
倒数

实数的

大小比较

实数的运算法则

实数的

加法

对值减去较小的绝对值；

(3)
互为相反数的两个数相加得
0；
一个数同
0
相加
，
仍得这个数

(4)加法交换律：
a
＋
b
＝
b
＋
a
；
加法结合律：
(a
＋
b)
＋
c
＝
a
＋
(b
＋
c)

减去一个数
，
等于加上这个数的相反数

实数的

减法

(1)
两数相乘除
，
同号得正
，
异 号得负
，
并把绝对值相乘除；

(2)
除以一个数
(
不等于
0)
，
等于乘这个数的倒数

(3)
任何数与0
相乘
，
积为
0
；
0
除以任何一个不等于0
的数都得
0
(4)
乘法交换律：
a
×
b< br>＝
b
×
a
；
乘法结合律：
(a
×
b)
×
c
＝
a
×
(b
×
c)
；< br>分配律：
a
×
(b
＋
c)
＝
a
×< br>b
＋
a
×
c

(1)a
×
a
×…×
a n
个
a
＝
a
n
；

(2)
正数的 任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数
，
负数的偶
次幂是正数；

(3)
任何数
a
的偶次幂均为非负数

(1)
先算 乘方和开方
，
再算乘除
，
最后算加减．如果遇到括号
，
则先 进行括号里的运算；

(2)
同级运算
，
应从左到右进行运算

知识点

代数式

整式的概念

单项式

多项式

同类项

整式的运算法则

合并同类

项法则

去括号

法则

幂的运算

同底数

幂的乘

法法则

幂的乘

方法则

积的乘

方法则

同底数幂

的除法

零指数幂

内容

由数、表示数的字母和 运算符号
(
加、减、乘、
除、
乘方和开方
)
组成的数学表达 式称为代数式


由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式
叫做单项式；单 独的一个数或一个字母也叫单
项式

由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式

多项式中
，
所含字母相 同
，
并且相同字母的指
数也相同的项


把同类项的系数相 加
，
所得结果作为系数
，
字
母和字母的指数不变

(1)
括号前是“＋”号
，
把括号和它前面的
“＋”号去掉
，
括号里各项都不变号；

(2)
括号前是“－”号
，
把括号和它前 面的
“－”号去掉
，
括号里各项都改变符号


a
m
·
a
n
＝
a
m
n
(m
，
n
都是正整数
)

＋
实数的乘

除法

实数的

乘方

实数的

混合运

算顺序

第
2
节

代数式、整式与因式分解

(a
m
)
n
＝
a
mn
(m
，
n
都是正整数
)

(ab)
n
＝
a
n
b
n
(n
是正整数
)< br>
a
m
÷
a
n
＝
a
m
n
(a
≠
0
，
m
，
n
为整数
)

a
0
＝
1(a
≠
0)

－
负整数

指数幂

整式的加减

整式的乘法

单项式
×

单项式

单项式
×

多项式

多项式
×

多项式

乘法公式

平方差

公式

完全平

方公式

整式的除法


单项式
÷

单项式

多项式
÷

单项式

因式分解

定义

常用方法
< br>1
－
a
p
＝
p
(a
≠
0
，
p
是正整数
)

a
先去括号
，
再合并同类项


(1)
系 数相乘；
(2)
同底数幂相乘；
(3)
其余字母
连同它的指数不变< br>，
作为积的因式

m(a
＋
b)
＝
ma
＋
mb

( a
＋
b)(m
＋
n)
＝
am
＋
an
＋
bm
＋
bn


(a
＋
b)(a－
b)
＝
a
2
－
b
2

(a ±
b)
2
＝
a
2
±
2ab
＋
b< br>2


(1)
系数相除；
(2)
同底数幂相除；(3)
只在被除
式里含有的字母
，
连同它的指数作为商的一个
因 式

(a
＋
b
＋
c)÷
m
＝
a÷
m
＋
b÷
m
＋
c÷
m(m
≠
0)


把一个多项式化成几个整式的积的形式

(1)
提公因 式法：
ma
＋
mb
＋
mc
＝
m(a
＋b
＋
c)
；

(2)
公式法：
a
2< br>－
b
2
＝
(a
＋
b)(a
－
b)< br>；
a
2
±
2ab
＋
b
2
＝
(a±
b)
2

(1)
因式分解要分解到最后结果不能再分解为
止；

(2)
因式分解与整式的乘法互为逆变形

内容


A
形如
(A
，
B
都是整式
，
且
B
中含有字母
，
B
B
≠
0)
的式子叫做分式；
分子 和分母没有公因式
的分式叫做最简分式

A
(1)
当
B＝
0
时
，
分式
无意义；

(2)
当
B
≠
0
B
注意

第
3
节

分

式

知识点

分式

概念

注意

A
时
，
分式
有意义；

B
A
(3 )
当
A
＝
0
，
且
B
≠
0
时
，
分式
＝
0

B
分式的基本性质


基本性质

变号法则

A
A
×
M
A
A÷
M
(1)
＝
(M
≠
0)
；
(2)
＝
(M
≠
0)

B
B
×
M
B
B÷
M
A
－
A
－（－
A）
A
－
A
A
(1)
＝
＝
；
( 2)
－
＝
＝

B
－
B
B
B
B
－
B
am
a
(1)
约分
(
可化简分式
)
：
＝
；

bm
b
分式的约

分和通分

a
c
ad
bc
(2)
通分(
可化为同分母
)
：
，
，

b
dbd
bd
注意：通分的关键是确定各个分式的最简公
分母
，
约分 的关键是确定分式的分子、分母
的最大公因式


a
b
a±
b
a
c
(1)
同分母时
，
±
＝
；
(2)
异分母时
，
±
＝
c
c
c
b
d
ad±
bc

bd
a
c
ac
a
c
ad
(1)
乘法：
·
＝
；
(2)
除法：
÷
＝
；
(3)
乘
b
d
bd
b
d
bc
分式的运算

加减法

乘除法

和乘方


b

n
b
n
方：

＝
n
(n
为正整数
)


a

a
(1)
首先观察分子、分母能否分解因式
，
若能< br>，
就要先分解因式后约分；

(2)
注意运算顺序和运算律的合理应用 ．一般
先算乘方和开方
，
再算乘除
，
最后算加减；
若有括号
，
先算括号里面的；同级运算要从
左往右运算

分式的混

合运算

第
4
节

二次根式

知识点

平方根

算术平方根

立方根

二次根式

概念

非负性

最简二

次根式

内容

如果
x
的平方等于
a，
那么
x
就是
a
的平方根

正数的正平方根叫 做它的算术平方根
，
0
的算
术平方根是
0

如果< br>x
的立方等于
a
，
那么
x
就是
a
的 立方根


形如
a(a
≥
0)
的式子叫做二次根式

(1)< br>被开方数是非负数
，
即
a
≥
0
；

(2)
二次根式的值是非负数
，
即
a
≥
0

(1)
被开方数的因数是整数
，
因式是整式；

(2)
被开方数中不含开得尽方的因数或因式

(1)(
a)
2
＝
a(a
≥
0)
；
(2)
a
2
＝
|a|
＝
性质

{
a
（
a
≥
0
）
，
－
a
（
a
＜
0
） ；

(3)
ab
＝
a
×
b(a
≥
0
，
b
≥
0)
；
(4)
a
a
＝< br>b
b
二次根式的运算

加减法

乘除法

混合运算



(a
≥
0
，
b
＞
0)


先化为最简二次根式
，
再合并同类二次根式

(1)
a×
b
＝
ab(a
≥
0
，
b
≥
0)
；
(2)
(a
≥
0
，
b
＞
0 )

运算顺序与有理数的运算顺序相同

a
＝
b
a
b

第
2
讲

方程与不等式

第
1
节

一元一次方程和二元一次方程组

知识点

等式的基

本性质

内容

性质
1
：若
a
＝
b
，
则
a±
c
＝
b±
c
；

a
b
性质
2
：若
a
＝
b
，< br>则
ac
＝
bc
或
＝
(c
≠
0)
c
c
解一元一次方程的一般步骤：

(1)

去分母；

(2)
去括号；

(3)
移项；

(4)
合并同类项；

(5)
系数化为
1

常用解法：
(1)
代入消元法；








(2)
加减消元法

列方程
(
组
)
解应用题的一般步骤：

(1)

审题；

(2)

设未知数；

(3)

列方程
(
组
)
；

(4)

解方程
(
组
)
；

(5)

检验；

(6)

(6)
作答

内容

一般步骤：

(1)

去分母
，
将分式方程化为整式方程；

(2)

解所得的整式方程；

(3)

验根；

(4)
结论

列分式方程解实际问题的一般步骤：

(1)

审题；

(2)

设未知数；

(3)

列分式方程；

一元一

次方程

二元一次

方程
(
组
)
方程
(
组
)
的

实际应用

第
2
节

分式方程

知识点

分式方程

的解法

分式方程的

实际应用

(4)

解分式方程；

(5)

检验：

①检验所求未知数的值是不是所列分式方程
的解；

②检验所求未知数的值是否符合题目的实际
意义；

(6)
作答

第
3
节

一元二次方程

知识点

一元二次方程

解法

求根公式

根的

判别式

根的判别



式与方程的根之间的关系

内容


(1)

开平方法；


(2)
配方法；

(3)
公式法；





(4)
因式分解法

－
b±
b
2
－
4ac
x
＝

2a
Δ
＝
b
2
－
4ac

(1)Δ
＝
b
2
－
4ac>0

ax< br>2
＋
bx
＋
c
＝
0(a
≠
0)有两
个不相等的实数根；

(2)Δ
＝
b
2
－
4ac
＝
0

ax
2
＋
bx
＋
c
＝
0(a
≠< br>0)
有两
个相等的实数根；

(3)Δ
＝
b
2
－
4ac<0

ax
2
＋
bx
＋
c
＝
0(a
≠
0)
没有
实数根

若
x
1
，
x
2
是一元二次方程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝< br>0(a
≠
0)
b
c
的两个根
，
则有
x
1
＋
x
2
＝－
，
x
1
·
x
2
＝

a
a
列一元二次方程解应用题的一般步骤：

(1)

审题；

(2)
设未知数；

(3)
列一元二次方程；

(4)
解方程
(
组
)
；

(5)
检验；

(6)
作答

根与系数

的关系

实际应用


第
4
节

不等式与不等式组

知识点

性质
1
：
a
＜
b
，
b
＜
c
则
a
＜
c
；

不等式的

基本性质

性质
2
：
a
＞
b
则
a
±
c
＞
b±c
；
a
＜
b
则
a
±
c
＜b±
c
；

a
b
性质
3
：
a
＞
b
，
且
c
＞
0
则
ac>bc< br>，
>
；

c
c

一元一次不等式

定义

解集

解法

一元一次不等式组

定义

解集

常见不等式组的解集

不等式组

(a
＜
b)
x
≥
a

x
≥
b
x
≥
b
大大取大

解集

内容

不等号的两边都是整式
，
而且只含有 一个未知数
，
未知数的最高次数
是二次的不等式

能使不等式成立的未知数的值的全体

一般步骤：
(1)
去分母；< br>(2)
去括号；
(3)
移项；
(4)
合并同类项；
( 5)
系数
化为
1


一般地
，
由几个含同一未知数的一元二次不等式所组成的一组不等式

组成不等式组的各个不等式的解的公共部分就是这个一元一次不等
式组的解集


数轴表示

口诀

内容


x
≤
a

x
≤
b
x
≤
a
小小取小


x
≥
a

x
≤
b
a
≤
x
≤
b
大小小大

中间找


x
≤
a

x
≥
b

无解

大大小小

取不了


不等式
(
组
)

的实际应用

列不等式
(
组
)
解实际问题的一般步 骤：审、设、找、列、解、验

第
3
讲

函数及其图象


第
1
节

函数与平面直角坐标系

知识点

平面直角坐标系

定义

几何意义

内容


在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直
角坐标系

坐标平面内 任意一点
M
与有序实数对
(x
，
y)
是一一对应
的

各象限内

点的坐标

特征


坐标轴

上的点

的特征


(1)P(x
，
y)
在横轴上


y
＝
0
；

(2)P(x
，
y)
在纵轴上


x
＝
0
；

(3)P(x
，
y)
既在横轴上
，
又在纵轴上


x
＝
0
，
y
＝
0

点到坐标

轴的距离

点与点之

间的距离

点
M(a
，
b)
到
x
轴的距离为
|b|
，
到
y
轴的距离为
|a|

(1)

点
M
1
(x
1
，
y)< br>，
M
2
(x
2
，
y)
之间的距离

为
|x
1
－
x
2
|
；

(2)

点
M
1
(x
，
y
1)
，
M
2
(x
，
y
2
)
之间 的距离

为
|y
1
－
y
2
|
< br>(1)
点
M(a
，
b)
沿
x
轴正方向平移< br>n
个单位得到点
M
1
(a
＋
n
，
b )
，
沿
x
轴负方向平移
n
个单位得到点
M
2
(a
－
n
，
b)
；

(2)
点
M(a
，
b)
沿
y
轴正方向平移
n
个单位 得到点
M
1
(a
，
b
＋
n)
，
沿
y
轴负方向平移
n
个单位得到点
M
2
(a
，
b
－
n)


(1)
点
P(x
，
y)
关于
x
轴对称的点
P
1
的坐标为
( x
，
－
y)
；

(2)
点
P(x
，
y)
关于
y
轴对称的点
P
2
的坐标为
(
－
x
，
y)
；

(3)
点
P(x
，
y)
关于原点对称的点
P
3
的坐标为
(
－
x
，
－
y)


在一个过程中
，
固定不变的量称为常量；可以取不同数
值的量称为变量

在某个变化过程中
，
设有两个变量
x
，
y
，
如果对于
x
的< br>每一个确定的值
，
y
都有唯一确定的值
，
那么就说
y
是
x
的函数
，
x
叫做自变量


(1)
使函数关系式有意义的自变量的取值的全体；

(2)
一般原 则：整式为全体实数；分式的分母不为零；开
偶次方的被开方数为非负数；使实际问题有意义

解析法、列表法、图象法

内容

坐标平面

内点的平

移规律

平面直角坐标系

点的对称

点坐标

函数

常量、

变量

概念

函数

自变量的

取值范围

表示法

第
2
节

一次函数

知识点

一次函数

的概念

一般地
，
函数
y
＝
kx
＋
b(k
，
b
都是常数
，
且
k
≠
0)
叫做一次函数 ．特别地
，
当
b
＝
0
时
，
一次函数
y
＝
kx
＋
b
就成为
y
＝
kx(k为常数
，

k
≠
0)
，
叫正比例函数

一次函数的图象及性质

k
，
b
的

符号

k
＞
0
图象

经过象限

图象走势


经过第一、
图象从左

二、
三象限

到右上升


y
随
x
的增

大而增大

y
随
x
的变

化情况

b>0

b
＝
0


经过第一、
三象限

b
＜
0

k
＜
0

经过第一、
三、
四象限


经过第一、
二、
四象限


经过第二、
四象限


经过第二、
三

、四象
限

图象从左

到右下降

y
随
x
的增

大而减小

b
＞
0

b
＝
0
b
＜
0


一次函数

的图象与

坐标轴的

交点坐标

确定一次

函数表达

式的条件

待定系数法

确定一次函

数的表达式

一次函数与

二元一次方

程组的关系

一次函数与

一元一次不

等式的关系

第
3
节

反比例函数

知识点

反比例函

数的概念

b
－
，
0

，
与y
轴的
(1)
交点坐标：一次函数
y
＝
kx
＋
b(k
≠
0)
的图象与
x
轴的交点是


k

交点是
(0
，
b)
；

(2 )
正比例函数
y
＝
kx(k
≠
0)
的图象恒过点< br>(0
，
0)

一次函数需要两个点的坐标；正比例函数需要一个点的坐 标
(
除原点外
)

(1)
设：设函数表达式为
y< br>＝
kx
＋
b(k
≠
0)
；

(2)
代：将已知点的坐标代入函数表达式；

(3)
解：解方程或 方程组
，
求出
k
与
b
的值
，
得到函数表达 式

二元一次方程组的解为两个一次函数图象的交点的横、纵坐标

b
b
(1)y
＝
kx
＋
b(k>0)
，
x
＞－
，
y
＞
0
；
x
＜－
，
y＜
0
；

k
k
b
b
(2)y
＝
kx
＋
b(k<0)
，
x
＜－
，
y>0
；
x
＞－
，
y
＜
0

k
k
内容

k
(1)
形如
y
＝< br>(k
为常数
，
且
k
≠
0)
的函数称为反比例 函数
，
其中
x
是自变量
，
x
y
是关于x
的函数
，
自变量
x
的取值不能为
0
；

(2)
另外两种形式为
y
＝
k
1
x(k
≠
0)
和
k
＝
xy(k
≠
0)

－
反比例函数的图象和性质

k
的符号

图象

经过象限

图象经过第

一、三象限


图象经过第

二、四象限


反比例函数

的图象特征

待定系数法

确定反比例

函数的表达式

反比例函数

系数
k
的几

何意义





第
4
节

二次函数

知识点

二次函数

的定义

二次函数的

图象和性质

内容

形如
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c(a
，
b
，
c
是 常数
，
a
≠
0)
的函数叫做二次函数


(1)
图象是由两个分支组成的曲线
，
叫做双曲线；

(2 )
图象的两个分支都无限接近
x
轴和
y
轴
，
但都不 会与
x
轴和
y
轴相交；

(3)
图象关于直角坐标系的原点成中心对称

只需要知道双曲线上任意一点 的坐标
，
设出函数的表达式
，
代入点的坐标
求出反比例函数系数k
即可

k
从反比例函数
y
＝
(k
≠
0)
图象上任意一点向
x
轴和
y
轴作垂线
，
垂线与坐
x
标轴所围成的矩形面积为
|k|
在每个象限内
，函数值
y
随
x
的增大而增大

y
随
x
变化的情况

在每个象限内
，
函数 值
y
随
x
的增大而减小

k>0
k<0
图象


开口

对称轴

顶点坐标

向上
(a>0)
b
直线
x
＝－

2a
向下
(a<0)

b
直线
x
＝－

2a


－b
，
4ac
－
b
2


4a


2a

－
b
，
4ac
－
b< br>2


4a


2a
增减性
b
b
当
x>
－
时
，
y
随
x< br>的增大而增大；

当
x>
－
时
，
y
随
x
的增大而减小；

2a
2a
b
b
当< br>x
＜－
时
，
y
随
x
的增大而减小

当
x
＜－
时
，
y
随
x
的增大而增 大

2a
2a
最值

系数
a
，
b
，
c
和

图象的关系

a
4ac
－
b
2
有最小值
，
y
最小
＝

4a

a
的符号决定抛物线的开口方向

4ac
－
b
2< br>有最大值
，
y
最大
＝

4a

当
a
＞
0
时
，
抛物线开口向上；

当
a
＜
0
时
，
抛物线开口向下

当
a
，
b
同号时
，
对称轴在
y
轴左边；< br>
当
a
，
b
异号时
，
对称轴在
y< br>轴右边；

当
b
＝
0
时
，
对称轴为
y
轴

当
c
＞
0
时
，
抛 物线与
y
轴的交点在
y
轴的正半轴上；

当
c
＝
0
时
，
抛物线经过原点；

当
c
＜
0
时
，
抛物线与
y
轴的交点y
轴的负半轴上

b
a
，
b
的符号共同决定对称轴的位置

c
c
的符号决定抛物线与
y
轴的交点在
正半轴或负半轴或原点

抛物线与

x
轴的交

点的个数

用待定系数

法求二次函

数的表达式

二次函数的

平移与表达

式的关系

Δ
＝
b
2
－
4ac
＞
0
，
有两个交点；Δ
＝
b
2
－
4ac
＝
0
，
有 一个交点；

Δ＝
b
2
－
4ac
＜
0，
没有交点

(1)
已知抛物线上的三点
，
选一般式< br>y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c(a
≠0);

(2)
已知顶点或对称轴、最大
(
小
)值
，
选顶点式
y
＝
a(x
－
h)
2< br>＋
k(a
≠
0)
；


(3)
已知 抛物线与
x
轴的两个交点
，
选交点式
y
＝
a(x< br>－
x
1
)(x
－
x
2
)(a
≠0)

y
＝
ax
2
的图象
向左（
h< br>＜
0
）或向右（
h
＞
0
）
平移
|h |
个单位
―
―
→
y
＝
a(x
－
h )
2
的图象
向上（
k
＞
0
）或向下（
h< br>＜
0
）
平移
|k|
个单位
―
―
→< br>y
＝
a(x
－
h)
2
＋
k
的图象< br>
(1)
从实际问题中抽象出二次函数
，
并能利用二次函数的最值公式 解决实际
二次函数的

综合运用

问题中的最值问题；
< br>(2)
二次函数综合几何图形
，
要充分抓住几何图形的特点并结合二次函数图< br>
象的特点才能有效解决问题．二次函数综合动点问题
，
要弄清楚在动的过程中
，
什么变了
，
什么没变
，
动中求静才能有效解决问 题

第
4
讲

图形的认识

知识点

线

直线的基本事实

线段的基本事实

角

余角的概念

补角的概念

余角和补角的性质

对顶角的概念

内容


两点确定一条直线

两点之间线段最短


∠
1
＋∠
2
＝
90
°

则∠
1
与∠
2
互为余角

∠
1
＋ ∠
2
＝
180
°则∠
1
与∠
2
互为补角< br>
同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等

两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶
角

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