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余年寄山水
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2021年01月30日 08:24
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廉洁文化进校园手抄报-
第九章
整式
第一节整式的概念
9.1.2.3
、字母表示数
代数式
：
用括号和运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式。
单独的数或字母< br>也是代数式。
代数式的书写
：
1
、代数式中出现乘号通常写 作“
*
”或省略不写，但数与数相乘不遵循此原
则。
2
、数字与字母相乘，数字写在字母前面，而有理数要写在无理数的前面。
3
、带分数应写成假分数的形式，除法运算写成分数形式。
4
、相同字母相乘通常不把每个因式写出来，而写成幂的形式。
5
、代数式不能含有“
=
、≠、
<
、
>
、≥、≤”符号。
代数式的值：
用数值代 替代数式中的字母，
按照代数式的运算关系计算出的结果，
叫代数式
的值。
注意：
1
、代数式中省略了乘号，带入数值后应添加×。
2
、若带入的值是负数时，应添上括号。
3
、注意解题格式规范，应写“当
…
..
时， 原式
=
……
..
”
.
4
、在实际问题中代数式所取的值应使实际问题有意义。
9.4
整式
1
、由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。单独一个数或字母
也是单项式。
2
、系
数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
3
、单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项
式的次数。
4
、多项式：几个 单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的
项叫做常数项。
5
、多项式的次数：多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的
次数
6
、整式：单项式和多项式统称为整式。
9.5
合并同类项
1
、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做
同类项。
2
、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。
一个多项式合并后含有几项，这个多项式就叫做几项式。
3
、合并同类项的法则是：把同类项的系数相加的结果作为合并后
的系数，字母和字母的指数不变。
第二节
9.6
整式的加减：
去括号法则：
（
1
）括号前面是
＋< br>
号，去掉
＋
号和括号，括号里各项的不变号；
（
2
）括号前面是
－
号，去掉
－
号和括号，括号里的各项都变号。
添括号法则
（
1
）所添括号前面是“
+
”号，括 到括号里的各项都不变符号；
（
2
）所添括号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变符号。
第三节整式的乘法
9.7
同底数幂的乘法、
9.8
幂的乘方、
9.9
积的乘方：
①同底数幂的乘法
a
·
a
=a
(m
、
n
都是正整数
)
。
m
n
m+n
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
②幂的乘方与积的乘方
（
a
）
=a
(m
、
n
都是正整数
)
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
（
ab
）
=a
b
(n
都是正整数
)
积的乘方等于各因式乘方的积。
③同底数幂的除法
a
÷
a
=a
(a< br>≠
0,mn
都是正整数，且
m
＞
n)
同底数幂相除，底数不变，指数相减。
a
=1
（
a
≠
0
）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于
1
。
1
a
-p
=
p
(a
≠
0,p
是正整数
)
任何一个不等零的数
a
的
- p(p
是正整数
)
指数幂，等这个数的
p
指数幂的倒数。
9.10
整式的乘法：
⑴单项式与单项式相乘：
单项式与单项式相乘，
把它们的系数、
相同字母分别相乘，
对于只在一个单项式里 含有的
字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
⑵单项式与多项式相乘：
单项式与多项式相乘，
就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，
再把 所得的积相加，
即。
注意：单项式乘多项式实际上是用分配率向单项式相乘转化。
⑶多项式与多项式相乘：
多项式与多项式相乘，
先用 一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，
再把所得的积
相加，
即（ａ＋ｂ）
（ｍ＋ｎ）＝ａｍ＋ｂｍ＋ａｎ＋ｂｎ。
第四节、乘法公式
9.11
平方差公式
①内容：
（ａ＋ｂ）
·
（ａ－ｂ）＝ａ²－ｂ²
②意义：
两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差。
③特征：
Ⅰ
.
左边是两个二项式相乘，这两项中有一项相同，另一项互
为相反数；
Ⅱ
.
右边是乘式中两项的平方差；
Ⅲ
.
公式中的ａ和ｂ可以使有理数，也可以是单项式或多项式。
④几何意义：
平方差公式的几何意义也就是图形变换过程中面积相等
的表达式。
0
m
n
m-n
n
n
n
m
n
mn
⑤拓展：
Ⅰ
.
立方和公式：
（ａ＋ｂ）
（ａ²－ａｂ＋ｂ²）＝ａ³＋ｂ³；
Ⅱ
.
立方差公式：
（ａ－ｂ）
（ａ²＋ａｂ＋ｂ²）＝ａ³－ｂ³。
（ａ－ｂ）
（ａ ＋ａｂ＋ａｂ²＋…＋ａ²ｂ＋ａｂ＋ｂ）＝ａ
-
ｂ。
9.12
完全平方公式：
①内容：
（ａ＋ｂ）²＝ａ²＋ｂ²＋２ａｂ；
（ａ－ｂ）²＝ａ²＋ｂ²－２ａｂ。
②意义：
两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们积的２倍。
两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们积的２倍。
③特征：
Ⅰ
.
左边是一个二项式的完全平方，
右边是一个二次三项式，
其
中有两项是公式左边二项
式中每一项的平方，另 一项是左边二项式中两项乘积的２倍，可简记为“首平方，尾
平方，积的２倍在中央。
”
Ⅱ
.
公式中的ａ、ｂ可以是单项式，也可以是多项式。
④推广：
Ⅰ
.
（ａ＋ｂ＋ｃ）²＝ａ²＋ｂ²＋ｃ²＋ ２ａｂ＋２ｂｃ＋２ａ
c
；
Ⅱ
.
（ａ＋ｂ）³＝ａ³＋ｂ³＋３ａ²ｂ＋３ａｂ²；
Ⅲ
.
（ａ－ｂ）³＝ａ³－ｂ³－３ａ²ｂ＋３ａｂ²。
第五节因式分解
⑴因式分解的意义：
把一个多项式化为 几个整式积的形式，
这种变形叫做把这个多项式因式分解，
也叫做
把这个多项式分解因 式，即多项式化为几个整式的积。
注意：①因式分解的要求：
Ⅰ
.
结果一定是积的形式，分解的对象是多项式；
Ⅱ
.
每个因式必须是整式；
Ⅲ
.
各因式要分解到不能分解为止。
②因式分解与整式乘法的关系：
是两种不同的变形过程，即互逆关系。
9.13
提取公因式法：
①提公因式法分解因式：
ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝ｍ（ａ＋ｂ＋ｃ）
，这个变形就是提公因式法分解因式。
这里的ｍ可以代表单项式，也可以代表多项式，ｍ称为公因式。
确定公因式方法：
系数：取多项式各项系数的最大公约数。
字母（或多项式因式）
：取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂。
9.14
公式法
②利用公式法分解因式：
Ⅰ
.
平方差公式：ａ²－ｂ²＝（ａ＋ｂ）
·
（ａ－ｂ）
。
Ⅱ
.
完全平方公式：ａ²＋ｂ²＋２ａｂ＝（ａ＋ｂ）²；
ａ²＋ｂ²－２ａｂ＝（ａ－ｂ）²。
Ⅲ
.
立方和与立方差公式： ａ³＋ｂ³＝（ａ＋ｂ）
（ａ²－ａｂ＋ｂ²）
；
ａ³－ｂ³＝（ａ－ｂ）
（ａ²＋ａｂ＋ｂ²）
。
注意：
（１）公式中的字母ａ、ｂ可代表一个数、一个单项式或一个多项式。
（２）选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式
应考虑平方差或立方和、立方差公式；若多项式是三项式，可
考虑用完全平方公式。
9.15.
十字相乘法
：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解
因式的方法叫做十字相乘法。
ｘ²＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝（ｘ＋ａ）
（ｘ＋ｂ）
。
9.16
分组分解法：
Ⅰ
.
将多项式的项适当的分组后，组与组之间能提公因式或运用公式分解。
Ⅱ
.
适用范围：适合四项以上的多项式的分解。
分组的标准为：分组后能提公因式或分组后能运用公式。
④其他方法：
.
求根公式法：若
ａ
ｘ
²
+
ｂ
ｘ
+
ｃ
＝
０
（
ａ
≠
０
）
的
两
根
是
ｘ
１
、
ｘ
２
，
ａ
ｘ
²
+
ｂ
ｘ
+
ｃ
=
ａ
（
ｘ
-
ｘ
１
）
（
ｘ
-
ｘ
２
）
。
⑶因式分解的一般步骤及注意问题：
①对多项式各项有公因式时，应先提供因式。
②多项式各项没有公因式时，如果是二项式就考虑是否符合平方差
公式；如果是三项式就考虑是否符合完全平方公式或二次三项式的
因式分解；如果是四项或四项以上的多项式，通常采用分组分解法。
分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止。
第六节整式除法：
9.17
同底数幂的除法
同底数幂相除，底数不变，指数相减。
任何不等于零的数的零次幂为
1
，既：
9.18
单项式除以单项式：
单项式与单项式相除的法则：
单项式与单项式相除，把系数、
同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有
的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
注意：①两个单项式相除，只要将系数及同底数幂分别相除即可。
②只在被除式里含有的字母不不要漏掉。
9.19
多项式与单项式相除：
多项式与单项式相除的法则：
一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以 这个单项式，再把所得的
商相加，
即（
ｍ
ａ
+
ｍ
ｂ
+
ｍ
ｃ
+
ｄ
ｍ
）
÷
ｍ
=
ａ
ｍ
÷
ｍ
+
ｂ
ｍ
÷
ｍ
+
ｃ
ｍ
÷
ｍ
+
ｄ
ｍ
÷
ｍ
。
注意：这个法则的使用范围必须是多项式除以单项式，反之，单项式除 以多项式是不能这样
计算的。
⑶整式的混合运算：
关键是注意运算顺序，先乘方，在乘除，后加减，有括号时，先去小括号，再去中括号，
最后去 大括号，先做括号里的。
※
内容整理
幂
的
a
m
·
a
n
=a
m+n
(a
m
)
n
=a
mn
(ab)
n
=a
n
b
n
单项式的乘法
多项式的乘法
因
式
分
解
提公因式法
运
算
乘法公式
公
式
法
a
m
÷
a
n
=a
m-n
单项式的除法
多项式除以单项式
第十章
分
式
10.1
、
（
1
）
、分式的意义
两个整 式
A/B
相除，即
A
÷
B
时，可以表示为
A/B.
如果
B
中含有字母，那么
A/B
叫做
分式。
A叫做分式的分子，
B
叫做分式的分母。
如果一个分式的分母为零，那么这个分式无意义。
10.2
（
2
）
、分式的基本性质
整式
整式和分式统称为有理式：
：即有理式
分式
分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为
0
的整式，
分式的值不变。用式子表示为：
A/B=A*C/B*C A/B=A÷
C/B÷
C
（
A,B,C
为整式，且
B
、
C≠0
）
①约分
:
把一个分式的分子和分母的公因式约去,
这种变形称为分式
的约分．
②
分式的约分步骤：
(1)
如果分式的分子和分母都是或者是几个乘积的形式
,
将它们的
公因式约去
(2
）分式的分子和分母都是将分子和分母分别
,
再将公因式约去
.
注
:
公因式的提取 方法
:
取分子和分母系数的
,
字母取分子和分
母共有的字母
,
指数取公共字母的最小指 数
,
即为它们的公因式
.
③一个分式的分子和分母没 有公因式时
,
这个分式称为最简分式
.
约分
时，一般将一个分式化为最简分式。
④
通分
：把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式
,
叫做分式的通分。
⑤分式的通分步骤< br>:
先求出所有分式分母的最简公分母
,
再将所有分式的分母变为最简公分
母
.
同时各分式按照分母所扩大的倍数
,
相应扩大各自的分子
.
注
:
最简公分母的确定方法
:
系数 取各因式系数的最小公倍数
,
相同字母的及单独字母的幂
的乘积。
注
:(1)
约分和通分的依据都是分式的基本性质。
(2)
分式的约分和通分都是互逆运算过程。
10.3
、分式的运算：
①分式的乘法法则
:
两个分式相乘
,
把分子相乘的积作为积的分子
,
把分母相乘的积作 为积的
分母
.
用字母表示为：
a/b * c/d=ac/bd
②分式的除法法则
:
Ⅰ
.
两个分式 相除
,
把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘
：
a/b÷
c/d=ad/bc
Ⅱ
.
除以一个 分式，等于乘以这个分式的倒数
:a/b÷
c/d=a/b*d/c
异分母分式通分时 ，关键是
确定公分母，
通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，
这样的公分 母叫做
最简
公分母。
10.4
分式的加减
③同 分母分式加减法则
:
同分母的分式相加减
,
分母不变
,
把分 子相加减
.
用字母表示为：
a/c±
b/c=a±
b/c
④异分母分式加减法则
:
异分母的分式相加减
,
先通分
,
化为同分母的分式
,
然后再按同分母
分式的加 减法法则进行计算
.
用字母表示为：
a/b±
c/d=ad±
cb/bd
10.5
分式方程：
①分式方程的意义
:
分母中含有未知数的方程叫做分式方程
.
②
分式方程的解法
:
Ⅰ
.
去分母< br>(
方程两边同时乘以最简公分母
,
将分式方程化为整式方
程
);
Ⅱ
.
按解整式方程的步骤求出未知数的值
;
Ⅲ
.
验根
(
求出未知数的值后必须验根
,
因为在把分式方程化为整式方程的过程中
,
扩大了未
知数的取值范围
,
可能产生增根
).
10.6
整数指数幂及其运算
※
内容整理
第十一章
图形的运动
1
、平移定义和规律
（
1
）平移的定义：在平面内，将一 个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称
为平移（
Translation
）。平移后各对应点之间的距离叫做图形平移的距离。
关键：
a.
平移不改变图形的形状和大小（也不会改变图形的方向，但改变图形的位置）。
b.
图形平移三要素：原位置、平移方向、平移距离。
（
2）平移的规律
(
性质
)
：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应 线段平行且相等、
对应角相等。
注意：平移后，原图形与平移后的图形全等。
（
3
）简单的平移作图：
平移作图要注意：①方向；
②距离。
整个平移作图，
就是把整个图案的每一个特征 点按
一定方向和一定的距离平行移动。
2
、旋转的定义和规律
< br>（
1
）旋转的定义：在平面内，将一个图形饶一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的 运
动叫做图形的旋转（
Circumrotate
）。这个定点称为旋转中心；转动的 角称为旋转角。
关键：
a.
旋转不改变图形的形状和大小（但会改变图形的方向，也改变图形的位置）。
b.
图形旋转四要素：原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角。
（
2
）旋转的规律
(
性质
)
：
经过旋转，
图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了 相同的角度，
任意一对对
应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离 相等。
(
旋转前后两
个图形的对应线段相等、对应角相等。
)
分
式
分式的性质
分式运算
约分
通分
乘除法
加减法
分式方程
注意：旋转后，原图形与旋转后的图形全等。
（
3
）简单的旋转作图：
旋转作图要注意：①旋转方向；②旋转角度。整个旋转作图，就是把整个图案的每一
个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动。
3
、图案的分析与设计
①
首先找到基本图案，然后分析其他图案与它的关系，即由它作何种运动变换而形成。
②
图案设计的基本手段主要有：轴对称、平移、旋转三种方法。
4
、旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度
α
后，与初始图形重合，这 种图
形叫做旋转对称图形，
这个定点叫做旋转对称中心，
旋转的角度叫做旋转角
（旋转角
α
满足
0<
α
<360
）
5
、中心对称图形：如果把一个图形绕着一个定点旋转
180
后，与初始图形重合，那么 这个
图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。
6
、把一个图形绕着一 个定点旋转
180
后，与另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这
点对称，
也叫做这两个图形成中兴对称，
这个点叫做对称中心，
这两个图形中的对应点叫做
关 于中心的对称点。
7
、轴对称知识回顾
（
1
）
轴对称图形定义：
如果一个图形沿着一条直线折叠后，
直线两旁的部分能够互相重合，
那么这个图形叫做轴对称图形（
Axially Symmetric Figure
）。折痕所在的直线叫做对称轴。
（
2
）两个图形关 于这条直线成轴对称：如果把一个图形沿某一条直线翻，能与另一个图形
重合，
那么叫做这两个 图形关于这条直线成轴对称，
这条直线就是对称轴，
两个图形中的对
应点叫做关于这条 直线的对称点。
（
3
）注意：
①
轴对称是说两个图形的位置关系；而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形。
②
成轴对称的两个图形，必定是全等图形。
（
4
）轴对称的性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分；对应线段相等；对应角相等。
（
3
）简单的轴对称作图：
求作一个几何图形关于某条直线对称的 图形，
可以转化为求作这个图形上的特征点关于这条
直线对称的点。后依次连结各特征点即可。
图形的平移
旋转对称图形
中心对称图形
图形的运动
图形的旋转
中心对称
轴对称图形
图形的翻折
轴对称
轴对称和轴对称图形之间的区别与联系：
轴
对
称
区
①指两个图形而言；
别
②指两个图形的一种形状与位置
关系。
轴对称图形
①对一个图形而言；
②指一个图形的特殊形状。
联
①都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合；
系
②把 两个成轴对称的图形看成一个整体，就是一个轴对称图形；反过来，
把轴对称图形沿对称轴分成两部分， 这两部分关于这条直线成轴对称。
轴对称几何图形的对称轴：
名称
是否是轴对称图
对称轴有几
形
条
线段
角
长方形
正方形
圆
平行四边
形
是
是
是
是
是
不是
２条
１条
２条
４条
无数条
０条
对称轴的位置
垂直平分线或线段所在的直线
角平分线所在的直线
对边中线所在的直线
对边中线所在的直线和对角线所在
的直线
直径所在的直线
第十二章
实数
第一节实数的概念
12.1
实数的概念
有理数和无理数统称为实数。
实数按如下方式分类：
正有理数
有理数
零
有限小数或无限循环小数
负有理数
实数
正无理数
无理数
无限不循环小数
负无理数
实数和 数轴上的点一一对应，
即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；
反过来，
数轴< br>上的每一个点表示一个实数。
正数大于零，负数小于零，正数大于负数。
两个正数，绝对值大的数较大，两个负数，绝对值大的数反而小。
无理数：无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称为实数。
第二节数的开方
12.2
平方根和开平方
如果一个数的平 方等于
a
，那么这个数叫做
a
的
平方根
，也就做
二 次方根。
求一个数
ɑ
的平方跟的运算叫做
开平方，
ɑ
叫做
被开方数。
一个正数
a
的平方根有两个，它们互为相反数。零的平方根是零；负数没有平方根。
正数
ɑ的两个平方根可以用
“±
a
”
表示，
其中
a
表 示
ɑ
的正的平方根
(
又叫算术平方根
)
，
读作“根 号
a
”
；
a
表示
ɑ
的负平方根，读作“ 负根号
ɑ
”
。
零的平方根记作
√
0
，
√
0=0.
（
1
）
当
a>0
时，
（
a）²
=a
，
（
a
）²
=a.
（
2
）
当
a
≥
0
时，
a
2
=a;
当
a
≤
0
时，
12.3
立方根和开立方
如果一个数 的立方等于
a
，那么这个数叫做
a
的
立方根
，用“
3
a
”表示，读作“
三次
根号
ɑ
”
。
3< br>a
中的
ɑ
叫做被开方数，
“
3
”叫做根指数。
求一个数
ɑ
的立方根的运算叫做
开立方
。
正数的 立方是一个正数，负数的立方是一个负数，零的立方等于零，所以正数的立方根
是一个正数，负数的立方 根是一个负数，零的立方根是零。
任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根。
12.4n
次方根
如果一个数的
n
次方
(n
是大于
1
的整数
)
等于
ɑ，
那么这个数叫做
ɑ
的
n
次方根，
当
n
为
奇数时，这个数为
ɑ
的奇次方根；当
n
为偶数时，这个数为ɑ
的偶次方根
求一个数
ɑ
的
n
次方跟的运算叫做
开
n
次方，
ɑ
叫做
被 开方数，
n
叫做根指数。
实数
ɑ
的 奇次方根有且只有一个，用“
n
a
”表示，其中被开方数
ɑ
是任意一 个
实数
,
根
指数
n
是大于
1
的奇数。
正数
ɑ
的偶次方根有两个，它们互为相反数，正
n
次方根用“
n
a
”表示，负
n
次方根用
“－n
a
”表示，其中被开方数
ɑ>
0
，根指数
n
是正偶数（当
n=2
时，在±
n
a
中省略
n
)
负数的偶次方根不存在。
零的
n
次方根等于零，表示为
n
0
=0
“
n
a
”读作“
n
次根号
ɑ
”
第三节
实数的运算
12.5
用数轴上的点表示数
有理数范围内绝对值、相反数意义：
一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。实数
a
的绝对值记作
∣
ɑ
∣.
绝对值相等，符号相反的两个数记作互为相反数；
零的相反数是零。非零实数
ɑ
的相反数是－
ɑ
。
a
2
=
－
ɑ
实数大小的比较：
负数小于零；零小于正数。
两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小。
从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大。
两点间的距离：
在数轴上，如果点
A
、点
B
所对 应的数分别为
ɑ
、
b
，那么
A
、
B
两点的距离
AB=
∣
ɑ
－b∣.
12.6
实数的运算
设
ɑ
>
0
，
b< br>>
0
，可知（
根据平方根的意义，得
·
=
）
=
（
·
。
）²·（
）²=
ɑ
b
。
同理：
=
近似数与准确数的接近程度即近似程度。对近似程度的要求，叫做精确度。
对于一个 近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这
个近似数的有效数字。
第四节
分数指数幂
分数指数幂
=
（
ɑ
>
0
）
=
（
ɑ
>
0
）
其中
m
、
n
为正整数，
n>
1.
有理数指数幂有下列性质：
设
ɑ
>
b
，
b
>
0
，
P
、
q
为有理数，那么
（
1
）
（
2
）
=
·
=
，
=
（
3
）
本章小结
有理数
实数的分类
无理数
实数
用数轴上的点表示数
运算法则及运算性质
实数的运算
近似数及近似计算
数的开方
分数指数幂
有理数指数幂
运算性质
第十三章
相交线、平行线
第
1
节
相交线
13.1
邻补角，对顶角
相交线的定义：
在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做
相交线
。
对顶角的定义：
一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做
对顶角
。
对顶角的性质：
对顶角相等。
邻补角的定义：
有公共顶点和一条公共边，并且互补的两个角称为
邻补角
。
邻补角的性质：
邻补角互补。
垂线的定义
：
垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相
垂直
，其中的一条直线叫做另一条直
线的
垂线
，它们的交点叫做
垂足
。
垂线的性质：
性质
1
：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
。
性质
2
：
垂线段最短
。
点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
。
同位角：
两个角都在两条被截线同侧，并在截线的同旁，这样的一对角叫做
同位角。
内错角：
两个角都在两条被截线之间，并且在截线的两旁，这样的一对角叫做
内错角
。
同旁内角：
两个角都在两条被截线之间，并且在截线的同旁，这样的一对角叫做< br>同旁内角
。
平行线的概念
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
平行公理：
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论：
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直
线也平行。
13.2
垂线
1.
垂线与斜线
通过操作实践，所得到的结果说明垂线有这样的基本性质：
在平面内
经过直线上或直线外地一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只能作一条
。
2.
点到直线的距离
联结直线外一点与直线上各点得所有线段中，垂线段最短。简单地说：
垂线段最短。
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离。
13
．
3
同位角，内错角，同旁内角（三线八角）
第
2
节
平行线
13.4
平行线的判定
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
（
同位角相等，
两直线平行
）
平行线具有以下基本性质：
经过直线外地一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
两条直线被第三条直线所截 ，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
（
内错角相等，
两直线平行
）
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
（
同旁 内角
互补，两直线平行
）
13.5
平行线的性质
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
(
两直线平行，同
位角相等
)
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
（
两直线平行，内
错角相等
）
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
（
两直线平行，
同旁内角互补
）
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平
行。
（对于直 线
a
、
b
、
c
,
如果
a
//b
,
b
//
c
，那么
a
//
c
。被称为平行
的传递性）
两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都
是一个定值，这个定值叫做这
两条平行线间的距离
。
第十四章
三角形
第
1
节
三角形的有关概念与性质
14.1
三角形的有关概念
1.
三角形的有关线段
三角形的高，中线，角平分线
2.
三角形的分类
锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，不等边三角形，等腰三角形，等边三角形
14.2
三角形的内角和
三角形的内角和等于
180
。
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
三角形的外角和等于
360
。
第
2
节
全等三角形
14.3
全等三角形的概念与性质
能够重合的两个图形叫做
全等形
。
两个三角形是全等形，就说它们 是
全等三角形
。两个全等三角形，经过运动后一定重
合，相互重合的顶点叫做
对应顶点
；相互重合的边叫做
对应边
；相互重合的角叫做
对应角
。< br>
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
14.4
全等三角形的判定
判定方法
1
在两个三角形中，如果 有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角
形全等（简记为
S.A.S
）
。
判定方法
2
在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边 对应相等，那么这两个三角
形全等（简记为
A.S.A
）
。
判定方法
3
在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等 ，那么这两
个三角形全等（简记为
A.A.S
）
。
判定方法
4
在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形 全等（简记为
S.S.S
）
。
斜边和一条直角边对应相等
的两个直角三角形全
等，简写
成“斜边、直角边”
和“
HL
”
。
ＳＳＡ、ＡＡＡ不能识别两个三角形全等，识别两个三角形全等时 ，必须有边的参与，
。
。
如果有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。三角形全 等的证明思路
找夹角——ＳＡＳ
Ⅰ
.
已知两边
找直角——ＨＬ
找另一边——ＳＳＳ
找边的对角——ＡＡＳ
Ⅱ
.
已知一边一角
边为角的邻边
找夹角的另一边——ＳＡＳ
找夹边的另一角——ＡＳＡ
边为角的对边——找任意一角——ＡＡＳ
Ⅲ
.
已知两角
找夹边——ＡＳＡ
找任意一边——ＡＡＳ
第
3
节
等腰三角形
14.5
等腰三角形的性质
等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”
）
。
等腰三角形 的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“等腰三角
形的三线合一”
）。
等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线。
14.6
等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么 这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三
角形（简称为“等角对等边”
）
。
14.7
等边三角形
等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三边都相等。
等边三角形的性质：
等边三角形的每个内角等于
60
。
判定等边三角形的方法：
（
1
）三个内角都相等的三角形是等边三角形。
（
2
）有一个角等于
60
的等腰三角形是等边三角形。
ＳＳＡ、ＡＡＡ不能识别两个三角形全等，识别两个三角形全等时，必须有边的参与，
如
果有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。
。
。
1
、线段的垂直平分线：
定理：
⑴线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等。
与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
注意：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等。
2
、等腰三角形：
性质：
①等腰三角形两个底角相等，简称“等边对等角”
。
②等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边
推论：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于
60
°。
定理
：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等，简称“等角对等边”
。
推论：
①三个角都相等的三角形是等边三角形。②有一个角是
60
°的等腰三 角形是等边
三角形。
定理
：在直角三角形中，如果一个锐角等于
3 0
°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
3
、角的平分线：
定理
：
①角平分线上任意一点到角的两边的距离相等。
②在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
第十五章
平面直角坐标系
第
1
节
平面直角坐标系
15.1
平面直角坐标系
在平面内取 一点
，过点
画两条互相垂直的数轴，且使它们以点
为公共原点。
这样，
就在平面内建立了一个
直角坐标系
。
通常，
所画的两条数轴中，
有 一条是水平放置的，
它的正方向向右，这条数轴叫做
横轴
（记作
轴）
；另一条是铅直放置的，
它的正方向向上，
这条轴叫做
纵轴
（记作
（ 简称原点）
，
轴和
轴）
。如图所示，记作平面直角坐标系
轴统称为< br>坐标轴
。
；点
叫做
坐标原点
在平面直角坐标系xOy
中，点
P
所对应的有序实数对（
ab)
叫做点
P
的坐标，记作
P
（
a,b)
，其中
ɑ
叫做横坐标，
b
叫做纵坐标。
象限的划分：
经 过点
A
（
a,b)
且垂直于
x
轴的直线可以表示为直线x=
ɑ
,
经过点
A(a,b)
且垂直于
y
轴的 直线
可以表示为直线
y=b.
第
2
节直角坐标平面内点的运动
15.2
直角坐标平面内点的运动
点的坐标
有了平 面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，
a
点对应
x
轴的数 值
为横坐标，
b
点对应
y
轴的数值为纵坐标，有序数对就叫做
点
A
的坐标
，记作（
a,b
）
。
在直角坐标平面内，
平行于
x
轴的直线上的两点
A(AB=∣
－
∣；
)
、
D(x,
)
的距离
,y)
、
B(
,y)
的距离
平行于
y< br>轴的直线上的两点
C(x,
CD=∣
点的平移
－
∣.
在平面直角坐标系中，
(m
>
0)
将点（
x,y
）向右平移
m
个单位长度，可以得到对应点（
x
＋
m
，
y
）
；
将点（
x,y
）向左平移
m
个单位长度，可以得到对应点（
x
－
m
，y
）
；
将点（
x,y
）向上平移
m
个单位长度，可以得到对应点（
x
，
y
＋
m
）< br>；
将点（
x,y
）向下平移
m
个单位长 度，可以得到对应点（
x
，
y
－
m
）
。
坐标平面图
坐标平面图是由两条坐标轴和四个象限构成的，也可以说坐标平面内的点可以分为
六 个区域：
x
轴上，
y
轴上，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。在这 六个区域中，
除
x
轴与
y
轴的一个公共点（原点）之外，其他区域之 间都没有公共点。
建立了直角坐标系的平面叫做
直角坐标平面
（简称坐标平面）
。这样，原来平面内的点都可
以用有序实数对来表示。
< br>在平面直角坐标系
中，点
所对应的有序实数对
叫做点
的坐标，记作，其中
叫做横坐标，
叫做纵坐标。
原点
的坐标是
。
的坐标是
，
的坐标是
。
在平面直角坐标系中对称点的特点：
①关于
x
成轴对称的点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数。
（横同纵反）
②关于
y
成轴对称的点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。
（横反纵同）
③关于原点成中心对称的点的坐标，横坐标与横坐标互为相 反数，纵坐标与纵坐
标互为相反数。
（横纵皆反）
一般地，在直角坐标平面内，与点
M(x,y)
关于
X
轴对称的点的 坐标为（
x,y);
与点
M(x,y)
关于
y
轴对称的点的 坐标为
(-x,y).
一般地，在直角坐标平面内，与点
M(x,y)关于原点对称的点的坐标为（
-x,-y)
。
第十六章
二次根式
第一节
二次根式的概念和性质
16.1
二次根式
1
．
二次根式的概念
:
式子
a
(a
0
)
叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或
O
．
2
．
二次根式的性质
①
a
2
a
a
(
a
0
)
；
a
(
a
0
)
2
②
(
a
)
a
(
a
0
)
③
ab
a
b
(
a
0
,
b
0
)；
④
a
a
(
a
0< br>,
b
0
)
b
b
16.2
最简二次根式与同类二次根式
1.
被开方数所含因数是整数，因式是整式 ，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫
做最简二次根式．
2.
化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式
16.3
二次根式的运算
1.
二次根式的加减
:
先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．
2.
二次根式的乘法
:
等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，
即
a
b
ab
(
a
0
,
b
0
).
3.
二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．
两个含有 二次根式的代数式相乘，
如果它们的积不含有二次根式，
那么这两个三次根式互
为有理 化因式．
4.
二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的 有理化因式，
把分
母的根号化去
(
或分子、分母约分
)
．把 分母的根号化去，叫做分母有理化．
二次根式的运算法则：
a
c
+b
c
=(a+c)
c
(c
0)
a
b
ab< br>(
a
0
,
b
0
).
a
a
（
a
0,b>0
）
< br>b
b
(
a
)
n
a
n
( a
0
)
第十七章
一元二次方程
17.1
一元二次方程的概念
1
．只含有一个未知数，且未知数 的最高次数是
2
的整式方程叫做一元二次方程
2
．一般形式
y=ax
²
+bx+c
（
a
≠
0
）
，称 为一元二次方程的一般式，
ax
叫做二次项
,a
是二次项
系数；bx
叫做一次项，
b
是一次项系数；
c
叫做常数项
17.2
一元二次方程的解法
1
．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法
2
．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法
b
b
2
4
ac
b
b2
4
ac
b
b
2
< br>4
ac
x
2
；
3
．求根公式
x
：
x
1
2
a
2
a
2
a
△
=
b
4
ac
≥
0
17.3
一元二次方程的判别式
1
．一元二次方程
ax
bx
c
0(
a
0)
：
△＞
0
时，方程有两个不相等的实数根
△＝
0
时，方程有两个相等的实数根
△＜
0
时，方程没有实数根
2
．反过来说也是成立的
17.4
一元二次方程的应用
1
．
一
般
来
说
，
如
果
二
次
三
项
式
ax
bx
c
（
a
0
）
通
过
因
式
分
解
得
2
2
2
ax
2
bx
< br>c
=
a
(
x
x
1
)(
x
x
2
)
；
x
1
、
x
2
是一元二次方程
ax
2
bx
c
0(
a
0)
的根
2
．把二次三项式分解因式时；
如果b
4
ac
≥
0
，那么先用公式法求出方程的两个实数 根，再写出分解式
如果
b
4< br>ac
＜
0
，那么方程没有实数根，那此二次三项式在实数范围内不能分解因式< br>
3
．
实际问题：设，列，解，答
第十八章
正比例函数和反比例函数
18.1
．函数的概念
1
．在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量
2
．在某个变化过程中有两个变量，设为
x
和
y
，如果在变 量
x
的允许取之范围内，变量
y
随变量
x
的变化而变化，他 们之间存在确定的依赖关系，那么变量
y
叫做变量
x
的函数，
x叫做自变量
3
．表达两个变量之间依赖关系的数学是自称为函数解析式
y
f
(
x
)
4
．
函数的自变 量允许取之的范围，
叫做这个函数的定义域；
如果变量
y
是自变量
x
的函数，
那么对于
x
在定义域内去顶的一个值
a
，变量y
的对应值叫做当
x=a
时的函数值
18.2
正比例函数
1
．
如果两个变量每一组对应值的比是一个不等于零的常数，
那么就说这两个变量成正比例
2
．正比例函数
:
解析式形如
y=kx
（
k
是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，气质常数
k
叫做比例系数；正比例函数的定义域 是一切实数
3
．对于一个函数
y
f
(
x
)
，如果一个图形上任意一点的坐标都满足关系式
y
f
(
x
)
，同
时以这个函数解析式所确定的
x
与
y< br>的任意一组对应值为坐标的点都在图形上，
那么这个图
形叫做函数
y
f
(
x
)
的图像
2
2
4
．一般地，正比例函数
y
kx
(
k
是常数且
k
0)
的图像时经过原点
O
（
0,0
）和点（1
，
k
）
的一条直线，我们把正比例函数
y
kx
的图像叫做直线
y
kx
5
．
< br>正比例函数
y
kx
(
k
是常数且
k
0)
有如下性质：
（
1）当
k
＜
0
时，正比例函数的图像经过一、三象限，自变量
x< br>的值逐渐增大时，
y
的
值也随着逐渐增大
（
2
）当
k
＜
0
时
，正比例函数的图像经过二、四象限，自变量
x
的值逐渐增大时，
y
的
值则随着逐渐减小
18.3
反比例函数
1
．如果两 个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反
比例
2
．解析式形如
y
k
(
k
是常数
,k
0)
的函数叫做反比例函数，其中
k
也叫做反比例系数
x
k
(
k
是常数
,
k
0 )
有如下性质：
x
反比例函数的定义域是不等于零的一切实数
3
．反比例函数
y
（
1
） 当
k
＞
0
时，函数图像的两支分别在第一、三象限，在每一个象限内，当自变 量
x
的值逐渐增大时，
y
的值则随着逐渐减小
（
2
）当
k
＜
0
时
，函数图像 的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内。自变量
x
的
值逐渐增大时，
y
的值也随着逐渐增大
18.4
函数的表示法
1
．把两个变量之间的依赖关系用数学式子来表达
------
解析法
2
．把两个变量之间的依赖关系用图像来表示
------
图像法
3
．把两个变量之间的依赖关系用表格来表示
------
列表法
第十九章
几何证明
19.1
命题和证明
1
．我们现在学习的证明方式是演绎证明，简称证明
2
．能界定某个对象含义的句子叫做定义
3
．判断一件事情的句子 叫做命题；其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题
叫做假命题
4
．数学命题通常由题设、结论两部分组成
5
．命题可以写成“如果……那么……”的形式，如果后是题设，那么后市结论
19.2
证明举例
1
．平行的判定，全等三角形的判定
19.3
逆命题和逆定理
1
．在两个命题中，如果第一个命题的 题设是第二个命题的结论，二第一个命题的结论又是
第二个命题的题设，
那么这两个命题叫做互 逆命题，
如果把其中一个命题叫做原命题，
那么
另一个命题叫做它的逆命题
2
．如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理
19.4
线段的垂直平分线
1.
线段的垂直平分线定理：
线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
2
、
逆定理：
和一条线段的两个端点距离相等的点，
在这条线段的垂直平分线上。
19.5
角的平分线
1
、角的平分线定理：在角的平分线上的点到这个角的两边距离相等。
2< br>、逆定理：
在一个角的内部（包括顶点）
且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 。
19.6
轨迹
1
、和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线
2
、在一个叫的内部（包括顶点）且到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线
3
、到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心、定长为半径的圆
19.7
直角三角形全等的判定
1
．
定理
1< br>：
如果直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，
那么这两个直角三角形全等
（ 简
记为
H.L
）
2
．其他全等三角形的判定定理对于直角三角形仍然适用
19.8
直角三角形的性质
1
．定理
2
：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
2
．推论
1
：在直角三角形中，如果一个锐角等于
30
，那么它所对的 直角边等于斜边的一半
3
．推论
2
：在直角三角形中，如果一条之 骄傲便等于斜边的一般，那么这条直角边所对的
角等于
30
19.9
勾股定理
1
．定理：在直角三角形中，斜边大于直角边
2
．勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方
3
．勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三
角形是直角三 角形
19.10
两点间距离公式
1
．
如果
直
角
坐
标
平
面
内
有
两点
A
(
x
1
,
y
1
)
、
B
(
x
2
,
y
2
)
，那
么
A
、
B
两
点
的
距离
AB
(
x
2
x
1
)< br>2
(
y
2
y
1
)
2< br>
八年级
下册
第二十章
一次函数
20.1
一次函数的概念