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2021年1月30日发(作者：佩小姐)
人教版初中数学二次函数知识点汇总

二次函数知识点汇总

1.< br>定义：一般地，如果
y

ax

bx

c< br>(
a
,
b
,
c
是常数，
a

0
)
，那么
y
叫做
x
的二次函数
.
2.
二次函数
y

ax
的性质

(1)< br>抛物线
y

ax
（
a

0
）
的顶点是坐标原点，对称轴是
y
轴
.(2)
函数
y
ax
的图像与
a
的符号关系
.
①当
a
0
时

抛物线开口向上

顶点为其最低点；②当
a
0
时

抛物线开口向下

顶点为其最高点

3.
二次函数

y

ax

bx

c
的图像是对称轴平行于
(
包括重合
)
y
轴的抛 物线
.
2
2
b
4
ac

b
2
.


y

a
x

h

k
y

ax

bx

c
，
k
< br>4.
二次函数
用配方法可化成：
的形式，其中
h


2
2
2
2
2
2
a
4
a
5 .
二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①
y

ax
；②
y

ax

k
；③
y

a

x

h

；④
y

a

x

h


k
；⑤
y

ax

bx

c
.
2
2
2
2
2
6.
抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点
.
①
a
决定抛物线的开口方向：

当
a

0
时，开口向上；当
a

0
时，开口向下；
a
相等， 抛物线的开口大小、形状相同
.
②平行于
y
轴
(
或重合< br>)
的直线记作
x

h
.
特别地，
y
轴记作直线
x

0
.
7.
顶点决定抛物线的位置
.
几个不同的二次函数，如果二次项系数
a
相同，那么抛物线的开口方向、开口
大小完全相同，只是顶点的位置不同
.
8.
求抛物线的顶点、对称轴的方法

b
4
ac

b
2
b
b

4
ac

b
2

（

，
）
(1)
公式法：
y

ax

bx

c

a

x
，∴顶点是
，对称轴是直线
.
x


< br>
2
a
4
a
2
a
2
a
< br>4
a

2
2
(2)
配方法：运用配方法将抛物线的解 析式化为
y

a

x

h

< br>k
的形式，得到顶点为
(
h
,
k
)
，对称轴 是
x

h
.
2
(3)
运用抛物线的对称性：由于 抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是
抛物线的对称轴，对称轴与抛物 线的交点是顶点
.
★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★

9.< br>抛物线
y

ax

bx

c
中，< br>a
,
b
,
c
的作用

(1)
a决定开口方向及开口大小，这与
y

ax
中的
a
完全一 样
.
2
(2)
b
和
a
共同决定抛物线对称轴的位 置
.
由于抛物线
y

ax

bx

c
的对称轴是直线
x


b
,
故：
< br>2
2
2
a
①
b

0
时，对称轴为< br>y
轴；②
b

0
(
即
a
、
b
同号
)
时
,
对称轴在
y
轴左侧；
a
③
b

0
(
即
a
、
b异号
)
时
,
对称轴在
y
轴右侧
.
a
(3)
c
的大小决定抛物线
y

ax

b x

c
与
y
轴交点的位置
.
当
x

0
时，
y

c
，∴抛物线
y

ax

bx

c
与
y
轴有且只有一个交点
(0
，
c
)
：

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2
2
人教版初中数学二次函数知识点汇总

①
c

0
，抛物线经过原点
;
②
c
0
,
与
y
轴交于正半轴；③
c

0
,
与
y
轴交于负半轴
.
以上三点中，当结论和条件互换时 ，仍成立
.
如抛物线的对称轴在
y
轴右侧，则

b

0
.
a
10.
几种特殊的二次函数的图像特征如下：

函数解析式

开口方向

对称轴

顶点坐标

(0,0)
(0,
k
)
(
h
,0)
(
h
,
k
)
y

ax
2

y

ax
2

k

y

a

x

h


2
x

0
(
y
轴
)
当
a

0
时

开口向上

当
a

0
时

开口向下

x

0
(
y
轴
)
x

h

x

h

b
x



2
a
y

a

x

h


k

2
y

ax

bx

c

2
b
4
ac

b
2
，
(
)
2
a
4
a
- 2 - / 4

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