祖国在我心中-

2021年1月30日发(作者：梦幻天使)
第
一
单
元


数
与
式

第
1
节

实数的性质及运算

1
、

有理数
：可以写成分数形式的数叫做有理数。包括整数（1
）和分数（
1/2
）
，也可
以说是有限小数（
1、
0.5
）和无限循环小数（
3/10
也就是
0.333333
…
）
。

2
、

有理数运算
：

加法法则
：
（
1
）同号两 数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
（
绝对值
是指数
a
在数轴 上到原点的距离，所以绝对值没有负数，只有正数和
0
）



1+1=2
（
2
）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符 号，并用较大的绝
对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个两个数相加为
0
。
（
相反数
：
相加为
0
的两个数互为相反数，
0
的 相反数是
0
。相加为
0
也是互为相反数的性质。若
a
、b
互为相反数，则
a+b=0
，
a/b=-1.
互为相反数的两 个数在数轴上关于原点对称。
）
-1+2=1

-1+1=0
（
3
）一个数同
0
相加仍得这个数。

（
4
）
加法交换律
：两个数相加交换加数的位置和不变。
a+b=b+a

加法结合律
：三
个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和 不变。
（
a+b
）
+c=a+(b+c)
减法法则
：减去 一个数等于加上这个数的相反数。负负得正
1-
（
-1
）
=2 乘法法则
：
（
1
）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。< br>
（
2
）任何数和
0
相乘都等于
0
。
（
3
）
倒数
：乘积是
1
的两个数互为倒数。
1
的倒数还是
1
，
0
没有倒数。
+



例
：
若
a+2
与
-0.5
互为相反数，
求
a
的倒数
。
————————
-2/3
（4
）
乘法交换律
：两数相乘，交换因数的位置，积相等。
ab=ba





乘法结合律
：三个数相乘，先把前两个 数相乘，或者先把后两个数相乘，积
相等。
（
ab
）
c=a
（
bc
）






乘法分配 律
：一个数同两个数的和相乘，等于这个数分别与两个数相乘，再
把积相加。
a
（
b+c
）
=ab+ac

除法法则
：
除以一 个不为
0
的数等于乘以这个数的倒数。
0
除以任何不为
0
的 数都
得
0
。同号得正异号得负。
0
不可以作为除数，也就是
0
不可以作分母。

3
、

有理数的乘方
：
求
n
个相同数的积的运算叫做乘方，
乘方的结果叫做幂。
在
a ?
中，
a
叫做底数，
n
叫做指数。

负数的奇次幂 是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，
0
的任何
正整数幂都是0.
4
、

综合运算法则
：
（
1
）先乘方，再乘除，后加减

。














（
2
）同级运算，从左到右进行。














（
3
）如果有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号
依次进行 。

5
、
科学计数法
：把一个大于
10
的数表示成
a
·
10 ?
（其中
a
整数位只有一位的数，
n< br>是正整数）的形式，使用的是科学计数法。
例
：
230000=2.3
×
10

6
、
近似数问题：
以圆周率
π
为 例，
精确到十分位
/0.1
为
3.1
，
精确到百分位
/0.01
为
3.14
…
..


有效数字： 从一个数的左边第一个非
0
数字起，到末位数字止，所有的数字都是这
个数的有效数字 。

5
例
：求
3.14159
保留两位有效数字的近似值

求
0.0067
保留一位有效数字的近似值

7
、
无理数
：就是无限不循环小数，包括正无理数和负无理数。
π
就是无理数的代表

8
、
实数
：在数轴上有对应点表示的数。

9
、
数轴
：三要素，原点、单位长度、正方向。









实数与数轴上的点一一对应。

第二节

整式的概念及加减运算

1
、
单项式
：
数或字母的
积
叫做单项式。
单独的一个数或者字母也叫单项式。
例：
100t< br>、
2
6a
、
vt
、
-n
2
、

系数
：单项式中的
数字因数
叫做这个单项式 的系数。例：
单项式
100t
、
vt
、
-n
的系数分别是
100
、
1
、
-1
。
单项式表示数 字与字母相乘时，通常把数字写在前边。

3
、

一个单项式中，所 有字母
指数
的
和
叫做这个单项式的
次数
。例：
10 0t
的次数是
1
，
所以
100t
是一次单项式，
v t
的次数是
2
，所以
vt
是二次单项式。

例题：
a
2
h
的系数是——，次数是——，是——次单项式。

4
、
多项式
：几个单项式的
和
。其中每个单项式叫做多项式的
项
，不含字母的项叫做
常
数项。

5
、
多项式的次 数
：多项式里次数最高项的次数。例：
π
r
3
+3n
的次数 是——。

6
、
整式
：单项式和多项式统称整式。

7
、
同类项
：所含字母相同，并且字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项常 数
项也是同类项。

8
、
合并同类项
：
把多项式中 的同类项合并成一项，
叫做合并同类项。
通常运用交换律、
结合律、分配律进行合并。

9
、
合并同类项法则
：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同 类项系数的和，且字
母部分不变。例：
化简
-4x
3
y+1/2xy -3x
3
y

10
、

去括号法则
：如果 括号外的因数是正数，去括号后括号内各项的符号与原来的
符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号 后括号内各项的符合与原来的符号相
反。

11
、

综合运 算法则
：一般的，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后在合
并同类项。

第三节

整式的乘除与因式分解

1
、

同底数幂的乘法
：
a
m
.a
n
=a
m+n

（注意逆向运用）

2
、

同底数幂相除
：
a
m
÷a
n
=a
m-n
，当
m=n< br>时，规定：
a0=1(a
≠
0)
。

3
、

幂的乘方
：
(a
m
)
n
=a
mn


（注意逆向运用）

4
、

积的乘方
：
(ab)
n
=a
n
b
n



（注意逆向运用）

5
、

整式的乘法
：

（
1
）

单项式乘以单项式：把它们的系数、同底数的幂分别相乘， 对于只在一
个单项式里出现的字母连同它的指数作为积的一个因式。

（
2
）

单项式乘多项式：利用乘法分配律转化成为单项式乘以单项 式的形式。
即
m(a+b+c)=ma+mb+mc


例：

计算（
-4x2).(2x-y-1)

（
3
）

多项式乘以多项式：转化成单项式乘以多项式，再转化成为 单项式乘以
单项式。
(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm +bn

例：
计算
(x-y)(x2+xy+y2)
6
、
公式的逆向使用
：

例：

7
、

平方差公式
：
(a+b)(a-b)=a
2
-b
2

8
、
完全平方公式
：
(a+b)
2
=a
2
+2ab+b
2
例：

利用完全平方公式分解因式
4a
2
+25b
2
-20ab
(a-b)
2
=a
2
-2ab+b
2

9
、

整式的除法
：

（
1
）

单项式除以单项式：单项式相除，把系数与同底数的幂分别
相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母连同它的
指数作为商的一个因式。
例 ：求
2a
3
÷
a
2

（
2
）

多项式除以单项式：转化成单项式除以单项式。
( a+b)÷m=a÷m+b
÷
m

（
3
）

多项式除以多项式：初中阶段不涉及。

例：
求
(-2a
4
b
3
c)
3
÷(
-8a
4
b
5< br>c)
。
(8a
2
+ab+a)÷a

10
、
因式分解
：一般地，把一个多项式转化成几个整式的
积的形式
，叫做因式分解，
有时我们也把这一过程叫做分解因式。例：
判断哪些是因式分解
?
(1) x
2
-4y
2
=(x+2y)(x-2y)
(2) 2x(x-3y)=2x
2
-6xy
11
、
因式分解的方法
：
（
1
）
提公因式
：
ma +mb+mc=m( a+b+c )

（
2
）
公式法
：平法差公式、完全平方公式。
a
2
-b
2
=(a+b)(a-b
)
a
2
+2ab+b
2
=(a+b)
2
（
3
）
分组分解法
：
ac+ad+bc+bd=a
（
c+d< br>）
+b
（
c+d
）
=
（
a+b
）< br>（
c+d
）

（
4
）
十字相乘法
：
a
2
+
（
p+q
）
a+pq=
（
a+p
）
（
a+q
）

12
、
分解因式注意事项
：

1)
首选提公因式法（若各项间有公因式，要先将公因式提出来）
，另一











个因式再考虑其他方法。
x
3
-4x
2)
一般情况下，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式。








x
4
-2x
2
y
2
+y
4

3
）因式分解要彻底。

4
）
（可用整式的乘法检验）但不走回头路。









m
4
-1=(m< br>2
+1)(m
2
-1)=(m
2
+1)(m+1)(m-1) =(m
2
+1)(m
2
-1)
例：
分解因式
-8 x
2
y-2x
3
-8xy
2

第四节

分式的概念、性质及运算

整数指数幂

第二单元


方程与不等式

第一节

一元一次方程及二元一次方程组

1
、

方程
：含有
未知数
的
等式
叫做方程。

2
、

方程的解
：能使方程两边相等的
未知数的值
叫做方程的解。

3
、

等式的性质
：

（
1
）

等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

（
2
）

等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零）< br>，所得结果仍是等
式。

4
、

一元一次方程
：
只含有一个未知数，
并且未知数的最高
次数
是
1
的整式 方程叫做一
0
x
为未知数，
a

0
）
元一 次方程，
其中方程
ax

b

（

叫做一 元一次方程的
标准形式
，
a
是未知数
x
的系数，
b
是常数项。

5
、

二元一次方程
：
含有 两个未知数，
并且未知项的最高次数是
1
的整式方程叫做二元
一次方程，它的一般形式是
ax+by+c=0
（
a
、
b
≠
0
）
——
一般式
，
ax+by=c
（
a
、
b
≠
0
）
标准式
。

6
、

二元一次方程的解
：
使二元一次方程左右两边的值相 等的一对未知数的值，
叫做二
元一次方程的一个解。

7
、

二元一次方程组
：两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元
一次 方程组。

8
、

二元一次方程组的解
：
使二元一 次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未
知数的值，叫做二元一次方程组的解。

9
、

二元一次方程组的解法
：通过一定方法转化为一元一次方程。

（
1
）

带入
消元法

（
2
）

加减
消元法

第二节

不等式

考点一、不等式的概念




（
3
分）





1
、不等式

用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

2
、不等式的解集

对于一个含有未知数的不等式，
任何一个适合这 个不等式的未知数的值，
都叫做这
个不等式的解。

对于一个含有未知数的不 等式，
它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，
简
称这个不等式的解集。

求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

3
、用数轴表示不等式的方法

考点二、不等式基本性质




（
3~5
分）





1
、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2
、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

3
、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

考试题型：

考点三、一元一次不等式




（
6~8
分）





1
、一元一次不等式的概念

一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的 次数是
1
，且不等式的两边都是整
式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2
、一元一次不等式的解法

解一元一次不等式的一般步骤：
（
1
）去分母（
2
）去括号（
3
）移项（
4< br>）合并同类项（
5
）将
x
项的系数化为
1
考点四、一元一次不等式组




（
8
分）





1
、一元一次不等式组的概念

几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的
解集。

求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

当任何数
x
都不能使 不等式同时成立，
我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

2
、一元一次不等式组的解法

（
1
）分别求出不等式组中各个不等式的解集

（
2
）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

第二节、一元二次方程

1
、

一元二次方程：
只 含有一个未知数
（一元）
，
并且未知数项的最高次数是
2
（二次）< br>的整式方程叫做一元二次方程。
标准形式
为：
ax2+bx+c=0
（
a
≠
0
）
。

2
、

一元二次方程的解法：

（
1
）

直接开方法：< br>利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做
2
(
x

a
)

b

的一元二次方程。
直接开平方法。直接 开平方法适用于解形如
根据平方根的定义可知，
x

a

是
b
的平方根，
当

b

0
时，
x

a


b

，
x


a

b

，当
b<0
时，方程没有实数根。

（
2
）

配方法：配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二 次方程上有所应
用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平
2< br>2
2
a

2
ab

b

(
a

b
)
方公式

，把公式中的
a
看做未知数
x
，并用
x
代替，
2
2
2
x

2
bx

b

(
x

b
)
则有

。

①二次项系数：化为
1
；

②

）
移项：
把方程
x
2
+bx+c=0
的常数项
c
移到方程另 一侧，
得方程
x
2
+bx=-c
；

③

配方：
方程两边同加上
一次项系数一半的平方
，
方程左边成为完全平 方式；

④

开方：方程两边同时开平方，目的是为了降次，得到一元一次方程。

⑤得解：解一元一次方程，得出原方程的解。

（
3
）
< br>公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次
方程的一般方法。
2
ax

bx

c

0
(
a

0
)
的求根公式：

一元二次方程
（
4
）

因式分解法：因式分解法就是利用因 式分解的手段，求出方程的解的方法，
这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

2
ax

bx

c

0
(
a

0
)
中，
b
2

4
ac< br>
叫做一元二次方
3
、

根的判别式：一元二次方程

2
ax

bx

c

0
(
a

0
)
的根的判别式，通常用“


”来表示 ，即


b
2

4
ac
。

程

2
ax

bx

c

0
(
a

0
)
的两个实数根是
4
、
一元二次方程根与系数的关系：如果方程
x
1
，
x
2
，那么
x
1

x
2


b
c
x
1
x
2

a
，
a
（韦达定 理）
。也就是说，对于任何一个有实
数根的一元二次方程，
两根之和等于方程的一次项 系数除以二次项系数所得的商的
相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

第三章

函数

第一节


一次函数




1
、平面直角坐标系

在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。

其中，水 平的数轴叫做
x
轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做
y
轴或纵轴，< br>取向上为正方向；两轴的交点
O
（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x
轴和
y
轴分割而成的四个部分，
分别叫做第一象限、第二象限、第三象 限、第四象限。

注意：
x
轴和
y
轴上的点，不属于任何象限。

2
、点的坐标的概念

点的坐标用
（
a
，
b
）
表示，
其顺序是横坐标在前，
纵坐标在后，
中间有
“，
”
分开，
横、
纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当a

b
时，
（
a
，
b
）和（
b
，
a
）是两个不同点的坐标。

考点二、不同位置的点的坐标的特征




（
3
分）





1
、各象限内点的坐标的特征





点
P(x,y)
在第一象限

x

0
,
y

0

点
P(x,y)
在第二象限

x< br>
0
,
y

0

点
P(x,y)< br>在第三象限

x

0
,
y

0
点
P(x,y)
在第四象限

x

0
,
y

0

2
、坐标轴上的点的特征

点
P(x,y)
在
x
轴上

y

0
，
x
为任意实数

点
P(x,y)
在
y
轴上

x

0
，
y
为任意实数

点
P(x,y)
既在
x
轴上，又在
y
轴上

x
，
y
同时为零，即点
P
坐标为（
0
，
0
）

3
、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

点< br>P(x,y)
在第一、三象限夹角平分线上

x
与
y
相等

点
P(x,y)
在第二、四象限夹角平分线上

x< br>与
y
互为相反数

4
、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

位于平行于
x
轴的直线上的各点的纵坐标相同。

位于平行于
y
轴的直线上的各点的横坐标相同。

5
、关于
x
轴、
y
轴或原点对称的点的坐标的特征

点
P
与点
p
’
关于
x
轴对称
< br>横坐标相等，纵坐标互为相反数

点
P
与点
p
’关于
y
轴对称

纵坐标相等，横坐标互为相反数

点< br>P
与点
p
’
关于原点对称

横、纵坐标均互为相反数

6
、点到坐标轴及原点的距离

点
P(x,y)
到坐标轴及原点的距离：

（
1
） 点
P(x,y)
到
x
轴的距离等于
（
2
）点
P(x,y)
到
y
轴的距离等于
y
x


2
2
x

y
（
3
）点
P(x,y)到原点的距离等于

考点三、函数及其相关概念




（
3~8
分）





1
、变量与常量

在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

一 般地，在某一变化过程中有两个变量
x
与
y
，如果对于
x
的 每一个值，
y
都有唯一
确
定
的值与它对应，那么就说
x是
自变量
，
y
是
x
的
函数
。

2
、函数解析式

用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

3
、函数的三种表示法及其优缺点

（
1
）解析法

两个变量间的函数关系，
有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，
这种表示法叫做解析法。

（
2
）列表法

把自变量
x
的一系列值和函数
y
的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫
做列表法。

（
3
）图像法

用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

4
、由函数解析式画其图像的一般步骤

（
1
）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值

（
2
）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点

（
3
）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

考点四、正比例函数和一次函数




（
3~10
分）





1
、正比例函数和一次函数的概念

一般地，如果
y
kx

b
（
k
，
b
是常数，
k

0
）
，那么
y
叫做
x
的一次函数。

特别地，当一次函数
y

kx

b
中的
b
为
0
时，
y

kx
（
k
为常数，
k

0
）
。这时，
y
叫
做
x的正比例函数。

2
、一次函数的图像

所有一次函数的图像都是一条
直线

3
、一次函数、正比例函数图像的主要特征：

一次函数
y

kx

b
的图像是经过点（
0
，
b
）的 直线；正比例函数
y

kx
的图像是经过
原点（
0
，
0
）的直线。

k
的符号

b
的符号

b>0
k>0
b<0
函数图像















y














0










x














y














0










x
图像特征

图像经过一、二、三象限，
y
随
x
的增
大而增大。

图像经过一、三、四象限，
y
随
x
的增
大而增大。

b>0
K<0
b<0














y














0










x














y














0









x




图像经过一、二、四象限，
y
随
x
的增大而减小





图像经过二、三、四象限，
y
随
x
的增大而减小。

注：当
b=0
时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。

4
、正比例函数的性质

一般地，正比例函数
y

kx
有下列性质：

（< br>1
）当
k>0
时，图像经过第一、三象限，
y
随
x< br>的增大而增大；

（
2
）当
k<0
时，图像经过第二 、四象限，
y
随
x
的增大而减小。

5
、一次函数的性质

一般地，一次函数
y

kx

b
有下列性质：

（
1
）当
k>0时，
y
随
x
的增大而增大

（
2
）当
k<0
时，
y
随
x
的增大而减小

6
、正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定 正比例函数定义式
y

kx
（
k

0
）中 的常数
k
。确定
一个一次函数，需要确定一次函数定义式
y

kx

b
（
k

0
）中的常数
k
和
b
。解这类
问题的一般方法是待定系数法。

第二节


反比例函数

1
、反比例函数的概念

一般地， 函数
y

k
x
（
k
是常数，
k

0
）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以

1
y

kx
写成
的形式。
自变量
x
的取值范围是
x

0
的一切实数，
函数的取值范围也是一
切非零实数。

2
、反比例函数的图像

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个 分支分别位于第一、三象限，或
第二、
四象限，
它们关于原点对称。
由于反比 例函数中自变量
x

0
，
函数
y

0，
所以，
它的图像与
x
轴、
y
轴都没有交点，即双曲线 的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不
到坐标轴。

3
、反比例函数的性质

反比例

函数

k
的符号

k>0














y
图像















O












x
①
x
的取值范围是
x

0
，

性质



y
的取值范围是
y

0
；

k<0















y














O













x
①
x
的取值范围是
x

0
，



y
的取值范围是
y

0
；

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