第六讲 完全平方数
玛丽莲梦兔
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2021年01月30日 09:40
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实验报告-
完全平方数
如果一个正整数
a
是某一个整数
b
的平方，那么这个正整数
a
叫做完全平
方数。零也可称为完全平方 数。其性质如下：
1
、平方数的个位数字只能是
0
，
1< br>，
4
，
5
，
6
，
9
。
< br>2
、
任何偶数的平方一定能被
4
整除；
任何奇数的平方被4(
或
8)
除余
1.
即被
4
除余
2< br>或
3
的数一定不是完全平方数。
3
、完全平方数的个位数字是奇数时，其十位上的数字必为偶数。
完全平方数的个位数字是
6
时，其十位数字必为奇数。
4
、凡个位数字是
5
但末两位数字不是
25
的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个
0
的自然数不是完全平方数；个位数字是
1
，
4，
9
而十位数字为奇
数的自然数不是完全平方数。
5
、除
1
外，一个完全平方数分解质因数后，各个质因数的指数都是偶数，
如果一个数质 分解后，
各个指数都为偶数，
那么它肯定是个平方数。
完全平方数
的所有因数 的总个数是奇数个。因数个数为奇数的自然数一定是完全平方数。
6
、若质数
p
整除完全平方数
a
，则
p
2
|
a
。< br>
7
、如果
a
、
b
是平方数，
a=bc，那么
c
也是完全平方数。
8
、两个连续自然数的乘积一定不 是平方数，两个连续自然数的平方数之间
不再有平方数。
〖经典例题〗
< br>例
1
、
46305
乘以自然数
a
后，乘积是一个平方 数，
a
最小是多少？
例
2
、
有一个自然数，它的
2
倍是一个整数的平方，它的
3
倍是另一个整数
的立方，这个自然数最小是多少？
〖方法总结〗
这两个题主要用到的是平方数的质因数是成对出现的性质，
以此类推，
一个
数的
3
次方分解质因数后，质因数的个数是
3
的倍数。
〖巩固练习〗
练习
1
：
21×(1
＋
2
＋
3
＋
4
＋
5
＋< br>6
＋
7
＋
6
＋
5
＋
4
＋< br>3
＋
2
＋
1)
是
的平方。
练习
2
：已知
m,n
是自然数，并且
1008m=
n
3
，求
m
和
n
的最小值。
练习
3
：一个四位数是一个完全 平方数，并且前两位数字相同，后两位数字
相同，求这个四位数。
练习< br>4
：求一个最小的正整数，使它的一半是一个完全平方数，它的三分之
一是一个立方数。
〖经典例题〗
例
3
、
已知一个数大 于
1000
小于
2000
，
加上
1
是完全平方数，
它的一半加
上
1
也是一个完全平方数，求这个数。
例
4
、
有一个自然数，它与
152
的和等于某个 数的平方，它与
100
的和等
于另一个数的平方。求这个自然数。
例
5
、
一个两位数加上数字相同、排列顺序相反的两位数所得的和 是一个平
方数，这个两位数最大是多少？
〖方法总结〗
像这样的题，
为了方便，
一般我们都先设出这个数，
然后根据题意求出这个
数的大致范围，
然后根据平方差公式进行讨论，
在这里 ，
要注意两个数的和与差
的奇偶性相同。
〖巩固练习〗
练习
1
：
2008
与一个三位数的 和是一个完全平方数，这样的三位数有多少
个？
练习
2
：一个数减去
100
是一个平方数，减去
63
也是一个平方数，问这个
数是多少？
练习
3
：已知一个完全平方数是四位数，且各位数 字均小于
7
，如果把组成
它的数字都加上
3
，便得到另外一个完全平 方数，求原四位数。
练习
4
：一个大于
0
的整 数
A
加上一个大于
1
的整数
B
后是一个完全平方
数 ，
加上
B
的平方后仍是一个完全平方数，
当满足条件的
B
最 小时，
A
是多少？
练习
5
：已知
1× 2×3×4×…×n
＋
3
等于一个自然数的平方，求
n
。
练习
6
：请找出符合下列性质的所有四位数：
(1)
它是一个平方数；
(2)
开始两位数的数字要相同；
(3)
最末两位数的数字要相同。
〖经典例题〗
例
6
、
由
6
个
2
和若干个
0
组成的整数是否有可能是完全平方数。
〖方法总结〗
题目中只给了我们
2
的个数，说明①和
0
的个数无关，②和顺序无关。因< br>此我们想到了求和，而看数字和的特征的数只有
3
和
9.
再根据平方数 的质因数
的个数必为成对的，
因此一定要是
9
的倍数。
我们以后在解 题过程中要善于与我
们以前所学过的特性联系起来，用上所学的知识。
〖巩固练习〗
练习
1
：用
300< br>个
2
和若干个
0
组成的整数有没有可能是完全平方数。
练习
2
：证明
11
，
111
，
1111
，
…
这串数中没有完全平方数。
(n≥2)
。
练习
3
：
A
是
2002
个
“4 ”
组成的多位数，即
444
2002
4
，
A
是不是 某个自然数
B
的平方？如果是，写出
B
；如果不是，请说明理由。
〖经典例题〗
例
7
、
少年宫游乐宫内悬挂着< br>200
个彩色灯泡，
这些灯泡或明或暗，十分有
趣。
这
200
个灯泡按
1
～
200
编号，
他们的亮暗规则是：
第 一秒，
全部灯泡变亮；
第二秒，凡编号为
2
的倍数的灯泡由亮变暗；第三秒， 凡编号为
3
的倍数的灯
泡改变原来的亮暗状态，即亮的变暗，暗的变亮；一般的，第< br>n
秒凡编号为
n
的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态。这样继续下去，每
4
分钟一个周期。问：第
200
秒时，明亮的灯泡有多少个？
〖方法总结〗
本题是平方数的一个实际应用，
要读懂 题意，
看清每一步的状态变化，
只有
是
n
的倍数的灯才会改变，又知 ：想要改变灯的状态，必须要中间变化奇数次，
因此联想到平方数。
〖巩固练习〗
练习
1
：根据算式
1
＋
3 =2
2
，
1
＋
3
＋
5=
3
2，
1
＋
3
＋
5
＋
7=
4
2< br>，
1
＋
3
＋
5
＋
7
＋
9=
5
2
。通过观察以上算式的计算规律，请你用这个规律计算
1
＋3
＋
5
＋
…
＋
2007
的结果是多少？
练习
2
：两个连续自然数的平方和等于
365
，又有 三个连续自然数的平方和
等于
365
，分别找出这两个连续自然数和三个连续自然数。
练习
3
：一位现在一百多岁的老寿星，公元
x
2
年的时候
x
岁，则此老寿星
2001
年时多少岁？当我被上帝造出来时，上帝 问我想在人间当一个怎样的人，
我不假思索的说，我要做一个伟大的世人皆知的人。于是，我降临在了人 间。
我出生在一个官僚知识分子之家，
父亲在朝中做官，
精读诗书，
母亲知书答
礼，温柔体贴，父母给我去了一个好听的名字：李清照。
小时侯，受父母影响的我饱读诗书，
聪明伶俐，
在朝中享有“神童”的称号。
小时候的我天 真活泼，才思敏捷，小河畔，花丛边撒满了我的诗我的笑，无可置
疑，小时侯的我快乐无虑。
“兴尽晚回舟，误入藕花深处。争渡，争渡，惊起一滩鸥鹭。”青春的我如
同一只小鸟，自由自 在，没有约束，少女纯净的心灵常在朝阳小，流水也被自然
洗礼，纤细的手指拈一束花，轻抛入水，随波 荡漾，发髻上沾着晶莹的露水，双
脚任水流轻抚。身影轻飘而过，留下一阵清风。
可 是晚年的我却生活在一片黑暗之中，
家庭的衰败，
社会的改变，
消磨着我
那柔 弱的心。
我几乎对生活绝望，
每天在痛苦中消磨时光，
一切都好象是灰暗的。
“寻寻觅觅冷冷清清凄凄惨惨戚戚”这千古叠词句就是我当时心情的写照。
最后，香消玉殒，我在痛苦和哀怨中凄凉的死去。
在天堂里，我又见到了上帝。上帝问我过的怎么样，我摇摇头又点点头，我
的一生有欢乐也有坎 坷，
有笑声也有泪水，
有鼎盛也有衰落。
我始终无法客观的
评价我的一生。< br>我原以为做一个着名的人，
一生应该是被欢乐荣誉所包围，
可我
发现我错了。于 是在下一轮回中，我选择做一个平凡的人。
我来到人间，
我是一个平凡的人，
我既不着名也不出众，
但我拥有一切的幸
福：我有温馨的家，我有可亲可爱的同学和老师，我 每天平凡而快乐的活着，这
就够了。
天儿蓝蓝风儿轻轻，
暖和的春风带着春 的气息吹进明亮的教室，
我坐在教室
的窗前，望着我拥有的一切，我甜甜的笑了。我拿起手中的 笔，不禁想起曾经作
诗的李清照，
我虽然没有横溢的才华，
但我还是拿起手中的笔，< br>用最朴实的语言，
写下了一时的感受：
人生并不总是完美的，
每个人 都会有不如意的地方。
这就需要我们静下心来
阅读自己的人生，体会其中无尽的快乐和与众不同 。
“富不读书富不久，
穷不读书终究穷。
”为什么从古到今都那么看重有学 识
之人？那是因为有学识之人可以为社会做出更大的贡献。
那时因为读书能给人带
来快 乐。
自从看了《丑小鸭》这篇童话之后，我变了，变得开朗起来，变得乐意同别
人交 往，
变得自信了……因为我知道：
即使现在我是只“丑小鸭”，
但只要有自
信，总有一天我会变成“白天鹅”的，而且会是一只世界上最美丽的“白天
鹅”……
我读完了这篇美丽的童话故事，
深深被丑小鸭的自信和乐观所折服，
并把故
事 讲给了外婆听，
外婆也对童话带给我们的深刻道理而惊讶不已。
还吵着闹着多
看几本名 着。
于是我给外婆又买了几本名着故事，
她起先自己读，
读到不认识的
字我就 告诉她，如果这一面生字较多，我就读给她听整个一面。渐渐的，自己的
语文阅读能力也提高了不少，< br>与此同时我也发现一个人读书的乐趣远不及两个人
读的乐趣大，
而两个人读书的乐趣远不 及全家一起读的乐趣大。
于是，
我便发展
“业务”带动全家一起读书……现在，
每每遇到好书大家也不分男女老少都一拥
而上，争先恐后“抢书”，当我说起我最小应该让我的时候， 却没有人搭理我。
最后还把书给撕坏了，
我生气地哭了，
妈妈一边安慰我一边对外婆说 ：
“孩子小，
应该让着点。
”外婆却不服气的说：
“我这一把年纪的了，怎么没人让我呀？”
大家人你一言我一语，谁也不肯相让……读书让我明白了善恶美丑、悲欢离合，
读一本好书，犹如同智者谈心、谈理想，教你辨别善恶，教你弘扬正义。读一本
好书，如品一杯 香茶，余香缭绕。读一本好书，能使人心灵得到净化。书是我的
老师，把知识传递给了我；书是我的伙伴 ，跟我诉说心里话；书是一把钥匙，给
我敞开了知识的大门；
书更是一艘不会沉的船，
引领我航行在人生的长河中。
其
实读书的真真乐趣也就在于此处，
不是一个人闷头苦读 书；
也不是读到好处不与
他人分享，
独自品位；
更不是一个人如痴如醉地沉浸 在书的海洋中不能自拔。
而
是懂得与朋友，
家人一起分享其中的乐趣。
这才是 读书真正之乐趣呢！
这所有的
一切，不正是我从书中受到的教益吗？
我阅读，故我美丽；我思考，故我存在。我从内心深处真切地感到：我 从读
书中受到了教益。
当看见有些同学宁可买玩具亦不肯买书时，
我便想到培根所说< br>的话：
“世界上最庸俗的人是不读书的人，
最吝啬的人是不买书的人，
最可怜的
人是与书无缘的人。
”许许多多的作家、
伟人都十分喜欢看书，
例如毛泽东主 席，
他半边床上都是书，一读起书来便进入忘我的境界。
书是我生活中的好朋友，是 我人生道路上的航标，读书，读好书，是我无怨
无悔的追求。
一个人的谈吐有没有< br>“
味道
”
，完全要看他的读书方法。如果读者获得书中的
“
味
”
，他便会在谈吐中把这种风味表现出来；如果他的谈吐中有风味，他在写作
中也免不 了会表现出风味来。
所以，
我认为风味或嗜好是阅读一切书籍的关键。
这种 嗜好跟对食物的嗜好
一样，
必然是有选择性的，
属于个人的。
吃一个人所喜欢 吃的东西终究是最合卫
生的吃法，因为他知道吃这些东西在消化方面一定很顺利。
读 书跟吃东西一样，
“
此人吃来是蜜糖，他人吃来是砒霜
”
。教师不能以其所< br>好强迫学生去读，
父母也不能希望子女的嗜好和他们一样。
如果读者对他所读的
东西感不到趣味，那么所有的时间全都浪费了。
所以，永远记得，这世间上没有什么一个人必 读的书，只有在某时某地，某
种环境，
和生命中的某个时期必读的书。
读书和婚姻一样 ，
是命运注定的或阴阳
注定的。
纵使某一本书，如《圣经》之类，是人人必 读的，读这种书也一定应当在合
适的时候。
当一个人的思想和经验还没有达到阅读一本杰作的程 度时，
那本杰作
只会留下不好的滋味。
孔子曰：
“
五十以 学《易》。
”
便是说，四十五岁时候尚不可读《易经》。孔
子在《论语》中的训言的冲 淡温和的味道，以及他的成熟的智慧，非到读者自己
成熟的时候是不能欣赏的。
四十 学
《易》
是一种味道，
到五十岁，
看过更多的人世变故的时候再去学
《易》
，
又是一种味道。所以，一切好书重读起来都可以获得益处和新乐趣。
多读书，
可以让你觉得有许多的写作灵感。
可以让你在写作文的方法 上用的
更好。
在写作的时候，
我们往往可以运用一些书中的好词好句和生活哲理。让别
人觉得你更富有文采，美感。
多读书，可以让你全身都有礼节。俗话说：
“第一 印象最重要。”从你留给
别人的第一印象中，
就可以让别人看出你是什么样的人。
所以 多读书可以让人感
觉你知书答礼，颇有风度。
< br>多读书，可以让你多增加一些课外知识。
培根
先生说过：
“
知识就是力 量
。”不
错，多读书，增长了课外知识，可以让你感到浑身充满了一股力量。这种力量可
以激励着你不断地前进，
不断地成长。
从书中，
你往往可以发现自己身上的不足之处，使你不断地改正错误，摆正自己前进的方向。所以，书也是我们的良师益
友。
多读书，可以让你变聪明，变得有智慧去战胜对 手。书让你变得更聪明，你
就可以勇敢地面对困难。
让你用自己的方法来解决这个问题。
这样，
你又向你自
己的人生道路上迈出了一步。
多读书，也能使你的心情便得快乐。读书也是一种休闲，一种娱乐的方式。
读书可以调节身体的血管流动，
使你身心健康。
所以在书的海洋里遨游也是一种
无限 快乐的事情。用读书来为自己放松心情也是一种十分明智的。
读书能陶冶人的情操 ，给人知识和智慧。所以，我们应该多读书，为我们以后的
人生道路打下好的、扎实的基础！
“书籍是全世界的营养品
,
生活里没有书籍
,
就好象没有阳光
;
智慧里没有书籍
,
就好象鸟儿没有翅膀。”（
[
英
]
莎士比亚
）。“一本新书象一艘船
,
带领着我们
从狭隘的地方
,
驶向生活的无限广阔的海洋。”（
[
瑞士
]
凯勒）。“不读书就没
有真正的学问
,< br>没有也不可能有欣赏能力、
文采和广博的见识。
……不读书的人就
不是一个完人 。”（
[
俄
]
赫尔岑
）。多读书
,
可以开阔视野
,
增长见识
,
启迪智
慧
,
可以使自己在工作中有所创造
,
有所成就
;
多读书
,
可以丰富自己的知识宝
库
,
进一步懂得生活
,
可以提高自己的文采和对艺术的欣赏能力
,
可以变“下里
巴人”
为
“阳春白雪”
,
从而使自己的生活更加丰富多采
,
充满情趣。
“书
是随时在近旁的顾问
,
随时都可以供给你所需要的知识
,
而且可以按照你的心意
,
重复这顾问的次数。”（凯勃司）。
知识就是力量
,
科学技术就是生产力。要想
建设一个具有高度精神文明的社会主义强国
,
没有一定的科学技术水平是不行
的
;
科学技术仅为少数人所掌握
,
也是不行的
,
尤其是在科学技术高度发达的今
天
,
更是如此。而要想让所有的人都上学学习
,
是不可能的。那么
,
就只有在工
作中学习
,
利用一切可以利用的时间和条件自学。
在自学过程中< br>,
不可能人人都能
得到指导老师
,
那么
,
最好的老师就是书籍。
“书籍蜿蜒伸入我们的心灵
,
诗
人的诗句在我们的血流里舒缓地滑行。
我们年轻时诵读它们
,
年老时仍然铭记它
们。我们读到他人的遭遇
,
却感到身历其境。书籍到处可得
,
而且价廉物美。我
们就象呼吸空气中的氧 一样吸收书中的营养。”
([
英
]
哈慈利特
)
。读书有这样多
的好处
,
而书籍又可
随时随地
买到
,
并且花钱不多
;
时间
,
工作之余也是足够的
;
精力
, 20
岁左右的小伙子和姑娘们是充沛的。这种年龄
,
记忆力旺盛
,
分析判断
能力
也已达到一定程度
,
且无家室之累
,
正是集中精力学习知识的
黄金时代
,
千
万不要白白地浪费掉。中国有句古话
:
“
少壮不努力
,
老大徒伤悲”。待到自己在
曲折的人生中悟出应该多学本事的道理
,
想学的时候
,
由于年龄的增长
,
记忆力
衰退
,
由于家庭的重负
,
精力集中不起来
,
那时想学也学不好了。与其那时悔恨
终生
,
倒不如现在就努力学习。
“学海无涯勤是岸
,
云程有路志是梯”
,
“勤