初等数论《完全平方数》 习题集(1)
温柔似野鬼°
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2021年01月30日 09:43
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初等数论《完全平方数》
习题集
(1)
一
完全平方数
自然数
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
…
完全平方数
N
2
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169
…
二
完全平方数的特征
1
末位数字为：
0
、
1
、
4
、
5
、
6
、
9
的 ，可能是完全平方数，如
100 81 64 225 36 169
等等。但有的不是完全平方数，如
200 181 464 325 56 189
等等。
2
末
位数
为：
2< br>、
3
、
7
、
8
的整数，
肯定不是完全平方数 。
如
22222
、
123 167 38
等
等，
3
偶数的平方是
4N
型的偶数。个位数字是偶数
0
、
4
、
6
，
十位数字有奇有偶。
它们只能是
00 04 24 44 64 84
、
16 36 56 76 96
4
奇数的平方是
4N+1
型的奇数。
个位数字是奇数
1
、
9
，
十位数字有奇有偶。
即只能是
01 21 41 81 09 29 49 69 89
5
尾数为
25
的数，可能是完全平方数。如
225 625
等等，
但有的不是完全平方数，如
125 325 7125
等等。
6 3k
或
3k+1
型的数，可能是完 全平方数。如
144=3
×
48
、
121=3
×
40+1
等，
但有的不是完全平方数，如
156 =52
×
3
、
244= 81
×
3+1
等等。
7
完全平方数的数字之和，只能 是
0,1,4,7,9
。
数字和是
2,3,5,6,8
的，肯定不是
完全平方数。
8
如果质数
p
能整除
A
，但
p
的平方不能整除
A
，则
A
不是完全平方数。如：< br>
7
︱
196 49
︱
196 A=196
是完全平方数
7
︱
119 49
ト
119 A=119
不是完全平方数
9
相邻整数的平方数之间，不可能有别的平方数。如
7
2
=49
、
8
2
=64
之间，不
可能有别的平方数。
总之，
以 上的判别法，
只判别可能是完全平方数，
但不能肯定是完全平方数。
实质上只适合判别 非完全平方数。
10
判别完全平方数的必要充份条件是：
因
数 一定是偶次方，
因数个数一定是奇
数。
最直接的方法是质因数分解。例如
14 4=12
2
=
2
4
×
3
2
11
平方差公式：
X
2
-Y
2
=
（
X-Y）（
X+Y
）
12
完全平方和公式：（
X+Y
）
2
=X
2
+2XY+Y
2
13
完全平方差公式：（
X-Y
）
2
= X
2
-2XY+Y
2
14 p=4n+1
型的素数，< br>都能表示为两个整数的平方和，
如
n=7
时，
p=29=2
+5
等
等
p= 4n+3
型的素数，
不能表示为两个整数的平方和，
如
n=7
时，< br>
p=31
≠
x
+y
等
等
15
两个奇数的平方和，
一定不是完全平方数。
如
3
2
+5
2
=34
≠
y
2
、
9< br>2
+15
2
=306
≠
y
2
等等
15
两个质数的平方和，
一定不是完全平方数。
如
2
2
+3
2
=13
≠
x
2
、
3
2
+5
2
=34
≠
y
2
等等
可见，两个质数的平方和，可能是质数，也可能是合数，但肯定不是完全平
方数。
17
拉格朗日
四平方和定理
：任何一个正 整数都可以表示为不超过四个整数的
平方之和。
2
2
2
2
如
7=2
2
+1
2
+1
2
+1
2
34=5
2
+3
2
+0
2
+0
2
、
87=7
2
+5
2
+3
2
+2< br>2
=7
2
+6
2
+1
2
+1
2=9
2
+2
2
+1
2
+1
2
等等
三
习
题
1
在十进制中，各位数字全由奇数组成的完全平方数共有多少个？
答：
2
个，即
1
、
9
。
解：奇数的平方是
4N+1
型奇数。一位数字为奇数的，只有
1
、
9
。二位
数字以上的完全平方数，
末两位尾数不是奇偶就是偶 偶，
没有奇奇的，
所以二位
以上的完全平方数，没有全是奇数的。例如
11
11111
、
13579
、
315351
9999999
等全奇数，都不可能是完全平方数。
2
下列四个数中：
513231
121826
122530
625681
有多少个完全平方数。
答：只有
625681
是完全平方数。
解：根据尾数判别法，完全平方数的末两位尾数只能是：
00 04 24 44 64 84
、
16 36 56 76 96 25 01 21 41 81 09 29 49 69 89
只有
625681
的尾是
81
，
可能是完全平方数。
但还要作充份条件的判别：
完全平方数的必要、充份条件是：它的各因数一定是偶次方
。
最 直接的方法
是质因数分解。
625681=7
2
×
113
2
，合符充份条件，所以
625681
是完全平方数
3
证明：形如
11
，
111
，
1111
，
11111
，…的数中没有完全平方数．