慷慨解囊的意思-

2021年1月30日发(作者：狗狗小说)
等比及求通项公式

一、等比数列常见性质：

a
n

q

q

0


n

2,
且
n

N
*

，
q
称为< br>公比

1.
等比数列的定义
：
a
n

1
2.
通项公式：

a
n

a
1
q
n< br>
1
a
1
n

q

A
< br>B
n

a
1

q

0,
A

B

0

，







首项：
a
1
；公比：
q

q
推广：
a
n

a
m
q
n

m
，








从而得
q
n

m
a
n



a
m
3.
等比中项

（
1
） 如果
a
,
A
,
b
成等比数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项．即：
A
2

ab或
A


ab

注意：
同号的
两个数
才有
等比中项，并且它们的等比中项
有两个
（两个等比中项互为相反数）
（
2
）数列

a
n

是等比数列< br>
4.
等比数列的前
n
项和
a
n
2

a
n

1

a
n

1

S
n
公式：

(1)
当
q

1
时，

S
n

na
1

(2)
当
q< br>
1
时
,
S
n

a
1
< br>1

q
n

1

q
a
< br>a
q

1
n
1

q
a
1< br>a
1
n


q

A

A< br>
B
n

A
'
B
n

A< br>'
1

q
1

q
（
A
,< br>B
,
A
',
B
'
为常数）

5.
等比数列的判定方法

（
1
）用定义：对任意的
n,
都有
a
n

1

qa
n
或
a< br>n

1

q
(
q
为常数，
a
n

0)

{
a
n
}
为等比数列


a
n
2
（
2
）

等比中项 ：
a
n

a
n

1
a
n

1
（
a
n

1
a
n

1

0
）

{
a
n
}
为等比数列

（
3
）

通项公式：
a
n
< br>A

B
n

A

B

0< br>

{
a
}
为等比数列

n
（
4
）

前
n
项和：
S
n

A

A

B
n
或
S
n

A
'
B
n

A
'

A
,
B
,
A
',
B
'
为常数


{
a
n
}
为等比数列

6.
等比数列的证明方法

a
n

q

q
0


n

2,
且
n
< br>N
*

或
a
n

1

qa
n

{
a
n
}
为等比数列

依据定义：若
a
n

1
7
、

注意

（
1
）
等比数列的通项公式及前
n
和公式中，涉及到
5
个元素：
a
1
、
q
、
n
、
a
n
及
S
n
，其中
a
1、
q
称作为基本元素。只要已知这
5
个元素中的任意
3
个，便可求出其余
2
个，即知
3
求
2
。

（
2
）
为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；
a
n< br>
a
1
q

a
a
如奇数个数成等差，可设为 …，
2
,
,
a
,
aq
,
aq
2< br>…（公比为
q
，中间项用
a
表示）
；

q
q
1 / 10
n

1
等比及求通项公式

8.
等比数列的性质

n

1
(1)
当
q< br>
1
时：①等比数列通项公式
a
n

a
1< br>q

a
1
n
q

A

B< br>n

A

B

0

是关于
n
的带有
q
系数的类指数函数，底数为公比
q

②前
n
项和
S
n

a
1

1
q
n

1

q
a
1

a1
q
n
a
1
a


1
qn

A

A

B
n

A'
B
n

A
'
，
系数和常数项是
1< br>
q
1

q
1

q
互为相反数的类 指数函数，底数为公比
q

(2)
对任何
m,n

N
*
,
在等比数列
{
a
n
}
中
,
有
a
n

a
m
q
n

m
,
特别的
,
当
m=1
时
,
便得到等比数 列的通
项公式
.
因此
,
此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。

(3)
若
m+n=s+t (m, n, s, t

N
*
),
则
a
n
注：
a
1
a
n

a
m

a
s

at
.
特别的
,
当
n+m=2k
时
,
得
a
n

a
m

a
k
2


a
2

a
n

1

a
3
a
n

2


k
a
n
k
{
a
}
{
}
{
}

(k
为非零常数
)
{
k

a

b
}
(4)
列{
a
n
}
,
{
b
n
}
为等比 数列
,
则数列
,
{
k

a
n
}< br>,
,
n
n
n
a
n
b
n
均为 等比数列
.
(5)
数列
{
a
n
}
为等 比数列
,
每隔
k(k

N
*
)
项取出一项
(
a
m
,
a
m

k
,
a
m

2
k
,
a
m

3
k
,

)
仍为等比
数列

(6)
如果
{
a
n
}
是各项均为正数的
等比数列
,
则 数列
{log
a
a
n
}
是
等差数列

(7)
若
{
a
n
}
为等比数列
,
则数列
S
n
，
S
2
n

S
n< br>，
S
3
n

S
2
n
,
 
，成等比数列

a
1

a
2

a
n
,
(8)
若
{
a
n
}
为
等
比数
列
,
则
数
列
a
n

1
a
n

2

a
2
n
,

a
2
n

1

a
2n

2

a
3
n
成等比数列

(9)
①当
q

1
时，


























②当
0<
q

1
时，

{
a1

0
，则
{
a
n
}
为递增数列a
1

0
，则
{
a
n
}
为递 减数列
,
















{
a
1

0
，则
{
a
n
}
为递减数列
a
1

0
，则
{
a
n
}
为递增数列

③当
q=1
时
,
该数列为常数列（此时数列也 为等差数列）
;

④当
q<0
时
,
该数列为摆动数列
.
(10)< br>在等比数列
{
a
n
}
中
,

当项数为
2n (n

N
*
)
时
,
S
奇
1

,.

S
偶
q

2 / 10
等比及求通项公式

二、等比数列性质与求和强化训练

1
、已知数列

1,
a
1
,
a
2
,

4
成等差 数列
,

1
,
b
1
,
b
2,
b
3

4
成等比数列，则
a
2
< br>a
1
的值为
( )
b
2
A
、

1
1
1
1
1
B
、
—
C
、
或
—
D
、

2
2
2
2
4
a
1

1
，公比
q

1
，若
a
m
2< br>、等比数列
{
a
n
}
中

，
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5，则
m
=
（

）

A
、
9 B
、
10 C
、
11 D
、
12

3
、已知
{
a
n
}
是等比数列，且
a
n

0
，
a
2
a
4

2
a
3
a
5

a
4
a
6

25
，那么
a
3

a
5

（

）

A
．
10
B
．
15
C
．
5
D
．
6

4
、设
{
a
n
}
是正数组成的等比数列，公比
q

2
，且
a
1
a
2
a
3
A
．

2


5
、等比数列
{
a
n
}
中，
a
n

6
、等比数列

a
n

的各 项均为正数，且
a
5
a
6

a
4
a
7
＝
18
，则
log
3
a
1

log
3
a
2

A
．
12









B
．
10











C
．
8










D
．
2
＋
log
3
5


7
、
S
n
是公差不为
0
的等差

an

的前
n
项和，且
S
1
,
S
2
,
S
4
成等比数列，则
A. 4 B. 6 C.8 D.10

8< br>、等比数列
{
a
n
}
的首项为
1
，公比为< br>q
，前
n
项的和为
S
，由原数列各项的倒数组成一个新数列< br>{
}
，
10
a
30

2
30
，那么
a
3
a
6
a
9
D
．
2< br>
15
a
30

（

）

B
．

2


20
C
．

2

16

0,
a
1
,
a
99
为方程
x
2

10
x

16

0
的两根，则
a
20

a
50

a
80
的值为（



）







C
.256





D
.

6
4

A
.32






B
.
6
4

log
3
a
10
＝
(



)


a
2

a
3
等于

（

）

a
1
1
a
n
1
1
1
由
{
}
的前
n
项的和是（

）
A
．

B
．

n
a
n
q
S
5


S
C
．
n

1
q

q
n
D
．
S

9
、
公差不为零的 等差数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，
若
a
4
是
a
3
与
a
7
的等比中项，
S
10

60,
则
S
8
等于
（




）



A
、
28










B
、
32






C
、
36






D
、
40

3 / 10
等比及求通项公式

10
、已知等比数列
{an }
的公比为
2
，前
4
项的和是
1
，则前
8
项 的和为

（




）




A
．
15







B
．
17












C
．
19











D
．
21
11
、设等比数列
{
a
n
}
的前
n
项 和为
S
n
，若

12
、等比数列
{
an
}
的公比
q

0
,
已知
a
2
=1
，
a
n

2

13
、等 比数列

a
n

的前
n
项和
S
n
=
a

2

14
、记正项等比数列
a
n

的前
n
项和为
S
n
，已知S
4
=1
，
S
8
=17
，求






n
S
6
S

3
，则
9














S
3
S
6

a
n

1

6
a
n
，则
{
a
n
}
的前
4
项和
S
4
=

















a

2
，则
a
n
=_______.


a
n

的通项公式。




参考答案：
1A2
、
C3
、
C4
、
D5< br>、
B6
、
B7
、
C8
、
C9
、B10
、
B



11
、
13
、
a
n

2

n

1
7
15

12
、



3
2
14
、
a
n

2
n

1
15



三、数列综合复习
——通项公式、前
n
项求和的求法归纳

通项公式的求法：

一、

直接法

如果已知数列 为等差（或等比）数列，可直接根据等差（或等比）数列的通项公式，求得
a
1
，d
（或
q
）
，
从而直接写出通项公式。

例
1.


等差数列

a
n
< br>是递减数列，且
a
2

a
3

a
4
=48
，
a
2

a
3

a
4
=12
，则数列的通项公式是（




）

(A)
a
n

2
n

12


(B)





a
n

2
n

4

(C)
a
n


2
n

12


(D)
a
n


2
n

10














(D)
。

4 / 10
等比及求通项公式

二、

累加（乘）法

对于形 如
a
n

1

a
n

f
(
n
)
型或形如
a
n

1

f< br>(
n
)
a
n
型的数列，我们可以根据递推公式，写出
n
取
1
到
n
时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘） 即可得到通项公式。

例
2
、
若在数列

a
n

中，
a
1

3
，
a
n
1





a
n
n
，求通项
a
n
。

答案：
a
n
1
(
n
2

n

6
)
2
例
3
、在数列

a
n

中，
a
1

1
，
a
n

1




例
4
、已知数列
{
a
n
}
满足
n





练习
1.
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n

1







2
n
a
n
（
n

N
*
）
，求通项
a
n
。答案：
a

2
nn
(
n

1
)
2

a
n
1

(
n

1
)

an
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。


（解：
a
n

n
）

2

a
n

2
n

1
，
a
1

1
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
（ 解：

a
n

n
）


n
n
练习
2
：
若在数列

a
n

中，
a
1

3
，
a
n

1

a
n

2
，求通项
a
n
.
答案：
a
n
=
2

1






练习
3
：
在数列｛
a< br>n
｝中，
a
1

=1, (n+1)
·
a
n

1
=n
·
a
n
，求
an
的表达式
.
答案：
a
n




5 / 10
1

n

慷慨解囊的意思-

慷慨解囊的意思-

慷慨解囊的意思-

慷慨解囊的意思-

慷慨解囊的意思-

慷慨解囊的意思-

慷慨解囊的意思-

慷慨解囊的意思-