工作感悟-

2021年1月30日发(作者：火柴男人)
18.2.3
正方形
(1)
学习目标：
1.
知道正方 形的概念、性质，并会用它们进行有关的论证和计
算．



2.
理清正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别
.
学习重点和难点

重点：正方形的定义
及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．

难点：正方形的性质
.
一、

预习内容

1.

自学课本
58
页—
59
页，完成
P 59
练习
1
、
2
2.

预习测试：

正方形的定义：

平行四边形叫做正方形
.

矩形叫做正方形
.

菱形叫做正方形
.
正
方形是

的平行四边形
.
二、

数学概念

1
、 从正方形的意义可以探究正方形具有的性质（边、角、对角线、对称性）
：

边：
.
角：

.
对角线：
.
对称性：
.
2
、用你认为最能说明正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系的方式表示他们之间的关系




三、

例题讲解（精讲）

例
1
求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．

解：已知：


（如图）
．

求证：

是全等的等腰
形．
X k B 1 . c o m




例
2
已知：
如图，
正方形
ABCD
中，
对 角线的交点为
O
，
E
是
OB
上的一点，
DG
直角三角

1
⊥
AE
于
G
，
DG
交
OA
于
F
．

求证：
OE=OF
．



四、

总结反思

1.

说说你的收获；

2.

你还有什么问题？

五、

反馈练习

1
、正方形面积为
25cm
，周长
___ ____cm
，两条对角线
____ ____cm
．

2
、下列说法是否正确，并说明理由．

①对角线相等的菱形是正方形；
（

）

②对角线互相
垂直的矩形是正方形；
（

）

③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（

）

④四条边
都相等的四边形是正方形；
（

）

⑤四个角相等的四边形是正方形．
（

3
．如图，
E
为正方形
ABCD
内一点，且△
EBC
是等边三角形，

求∠
EAD
与∠
ECD
的度数．


< br>4
．已知：如图
，点
E
是正方形
ABCD
的边
CD
上一点，点
F
点，且
DE=BF
．

求证：
EA
⊥
AF
．





六、能力提升

5
．已知：如图，正方形
ABCD
中，
E
为
BC
上一点，
AF
平分∠
DAE
交
AE=BE+DF
．





2
2
是
CB
的延长线上一
CD
于
F
，
求证：
七、作业布置



3
2019-2020
学年初二下学期期末数学模拟试卷

一、选择题（每题只有一个答案正确）

1
．下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（





）

A
．

B
．

C
．

D
．

2
．在数学拓展课《折叠矩 形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片
ABCD
可以进行如下操作：①把
△
AB F
翻折，
点
B
落在
C
边上的点
E
处，折痕 为
AF
，点
F
在
BC
边上；②把
△
ADH
翻折，点
D
落在
AE
边上的点
G
处，
折痕 为
AH
，点
H
在
CD
边上，若
AD
＝6
，
CD
＝
10
，则
EH
＝（


）

EF

A
．
3

2
B
．
5

3
C
．
4

3
D
．
5

4
3
．到三角形三个顶点距离相等的点是（


）

A
．三角形三条边的垂直平分线的交点

B
．三角形三条角平分线的交点

C
．三角形三条高的交点

D
．三角形三条边的中线的交点

4
．如图，在同一直线上，甲、乙 两人分别从
A
，
B
两点同时向右出发，甲、乙均为匀速，图
2
表示两人之
间的距离
y
（
m
）与所经过的时间
t
（
s
）之间的函数关系图象，若乙的速度为
1.5m/s
，则经过
3 0s
，甲自
A
点移动了（


）


A
．
45m

B
．
7.2m
C
．
52.2m
D
．
57m
4
5
．下列命题中，是真命题的是（


）

A
．对角线互相垂直的四边形是菱形

B
．对角形相等的四边形是矩形

C
．顺次连结平行四边形各边中点所得四边形是平行四边形

D
．一组邻边相等的平行四边形是正方形

6
．已知一粒米的质量是
0.00021kg
，这个数用科学记数法表示为


（






）

A
．

2
.1

10

4
kg
B
．
2.1

10

5
kg
C
．
21

10

4
kg
D
．
2.1

10

6
kg
7
．
一次函数
y
1

kx

b
与< br>y
2

x

a
的图象如图所示，
给出下列结 论：
①
k

0
；
②
a

0
；
③当
x

3
时，
y
1

y< br>2
.
其中正确的有（




）


A
．
0
个

B
．
1
个

C
．
2
个

D
．
3
个

8
．解一元二次方程
x
2
＋
4x
－
1
＝
0
，配方正确的是（

）

A
．

x

2


3

2
B
．

x

2


3

2
C
．

x

2


5

2
D
．

x

2


5

2
9
．如图，在
▱
ABCD
中，
AB=6
，
AD=9
，
∠
BAD
的平分线交
BC
于点
E
，交
DC
的延长线于点
F
，< br>BG
⊥
AE
，垂
足为
G
，若
BG=
4
2
，则
△
CEF
的面积是（


）


A
．
2
2

B
．
2

C
．
3
2

D
．
4
2

10
．如图，以直角三角形的三边为边 ，分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四
种情况的面积关系满足
S< br>1
＋
S
2
＝
S
3
的图形有
( )

A
．
1
个

二、填空题

B
．
2
个

C
．
3
个

D
．
4
个

11
．如图，在矩形
ABCD
中，
AB

16
，
BC

18
， 点
E
在边
AB
上，点
F
是边
BC
上不与点
B
、
C
重合的
一个动点，把
△
EBF
沿< br>EF
折叠，点
B
落在点
B

处．若
AE
3
，当
CDB

是以
DB

为腰的 等腰三角形
时，线段
DB

的长为
__________
．


5

12
．当
x=
5
时， 二次根式
x

1
的值为
_____.
4
13．正方形的边长为
2
，则这个正方形的对角线长为
_________
．

14
．
如图
,
已知直线
y=
3
x
与反比例函数
y=
一点
C,
直线
AB
上找一点< br>D,
在双曲线
y=
菱形，那么符合条件点
D
的坐标为
___
.
k
的图象交于
A,B
两点
,
且点
A
的横坐标为
3
.
在坐标轴上找
x
k
找一点E,
若以
O,C,D,E
为顶点的四边形是有一组对角为
60
∘
的
x

15
．使分式

x
有意义的
x
的范围是

________
。

x

1
16
．
二次函数
< br>y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c(a≠0)
的图象如图所示，
对称轴是直线

x
＝
1
，
则下列 四个结论：
①
c
＞
0
；

②
2a
＋
b
＝
0
；

③
b
2
－
4ac
＞
0
；

④
a
－
b
＋
c
＞
0
；正确的是
_____
．


17
．如图是一种贝壳的俯视图，点
C< br>分线段
AB
近似于黄金分割（
AC>BC
）
．已知
A B=10cm
，则
AC
的长约
为
__________cm
．
（结果精确到
0.1cm
）


三、解答题


6
18
．已知，如图，在
△
ABC
中，
D
是
BC
边上的一点，
E
是
AD
的中点，过点< br>A
作
BC
的平行线交与
BE
的延
长线于点
F
，且
AF=DC
，连结
CF
．


（
1
）求证：四边形
ADCF
是平行四边形；

（
2
）当
AB
与
AC
有何数量关系时，四边形
ADC F
为矩形，请说明理由．

19
．
（
6
分）在▱
ABCD
中，∠
ADC
的平分线交直线
BC
于点E
，交直线
AB
于点
F
．

（
1
）如图①，证明：
BE
＝
BF
．
< br>（
2
）如图②，若∠
ADC
＝
90°
，
O< br>为
AC
的中点，
G
为
EF
的中点，试探究
O G
与
AC
的位置关系，并说明理
由．

（
3
）如图③，若∠
ADC
＝
60°
，过点
E
作
DC
的平行线，并在其上取一点
K
（与点
F
位于直线
BC
的同侧）
，
使
EK
＝
BF
，连接
CK
，
H
为
CK
的中点，试探究线段
OH
与
HA
之间的数量关系，并对结论给予证明．


20
．
（
6分）如图①，四边形
ABCD
为正方形，点
E
，
F
分别 在
AB
与
BC
上，且∠
EDF=45°
，易证：
A E+CF=EF
（不用证明）
．

（
1
）如图②，在四边形
ABCD
中，∠
ADC=120°
，
DA=DC
，∠
DAB=
∠
BCD=90°
，点
E
，
F
分别在< br>AB
与
BC
上，
且∠
EDF=60°
．猜想
AE
，
CF
与
EF
之间的数量关系，并证明你的猜想；
< br>（
2
）如图③，在四边形
ABCD
中，∠
ADC=2α
，
DA=DC
，∠
DAB
与∠
BCD
互补，点
E
，
F
分别在
AB
与
BC
上，
且∠
EDF=α
，请直接写出
AE
，
CF
与
EF
之间的 数量关系，不用证明．


7

21
．
（
6
分）如图，四边形
ABCD
是以坐标原点
O
为对称中心的矩形，
A

1
,3

B


3,

1

，该矩形的边与坐
标轴分别交于点
E
、
F
、
G
、
H
．


1

直 接写出点
C
和点
D
的坐标；


2

求直线
CD
的解析式；


3

判断点

2.5,0.4

在矩形
ABCD
的内部还是外部，并说明理由．


22
．
（
8< br>分）在平面直角坐标系中，直线
y

3
x

3
分别交
x
轴，
y
轴于点
A
,
B
.

（
1
）当
0

y

3
，自变量
x
的取值范围是

















（直接写出结果）
；

（
2
）点
C(

,
n
)
在直线
y

3
x

3
上
.
①直接写出
n
的值为

















；

②过
C
点作
CD

AB
交
x
轴于点
D
，求直线
CD
的解析式
.
23
．
（
8
分 ）如图，平面直角坐标系内有一△ABC，且点
A(2
，
4)
，
B( 1
，
1)
，
C(4
，
2)
．


8
2
3
(1)
画出△ABC
向下平移
5
个单位后的△A
1
B
1
C
1
；

(2)< br>画出△A
1
B
1
C
1
先向左平移
5
个单位再作关于
x
轴对称的△A
2
B
2
C
2
，并直接写出点
A
2
，
B
2
的坐标．


24
．
（
10
分）解方程：
x
2
﹣
6x
+
6=1
．

25
．
（
10
分）如图，在四边形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，
BA
＝
BC
，
BD
平分
∠
ABC
．

（
1
）求证：四边形
ABCD
是菱形；

（< br>2
）过点
D
作
DE
⊥
BD
，交
BC
的延长线于点
E
，若
BC
＝
5
，
BD＝
8
，求四边形
ABED
的周长．





参考答案

一、选择题（每题只有一个答案正确）

1
．
A
【解析】

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念依次对各项进行判断即可．

【详解】

A.

是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；

B.

不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

C.

不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；

D.

是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；


9
故选：
A.
【点睛】

本题考查中心对称图形与轴对 称图形的识别．
轴对称图形的关键是寻找对称轴，
图形两部分折叠后可重合，
中心对称 图形是要寻找对称中心，旋转
180
度后两部分重合．

2
．
A
【解析】

【分析】

2
EC=2
，
x
2
=2
2
+
利用翻折不变性可得< br>AE=AB=10
，
推出
DE=8
，
设
BF=EF= x
，
在
Rt
△
EFC
中，
（
6-x
）
，
可得
x=
10
，
3
设
DH=GH= y
，在
Rt
△
EGH
中，
y
2
+4
2
=
（
8-y
）
2
，可得
y=3
，由此 即可解决问题．

【详解】

∵
四边形
ABCD
是矩形，

∴
∠
C＝
∠
D
＝
90°
，
AB
＝
CD
＝
10
，
AD
＝
BC
＝
6
，

由翻折不变性可知：
AB
＝
AE
＝
10
，
AD
＝
AG
＝
6
，
BF
＝
EF
，
DH
＝
HG
，

∴
EG
＝
4
，

在
Rt
△
ADER
中，
DE
＝
AE
2

AD
2< br>
10
2

6
2

＝
8
，

∴
EC
＝
10
﹣
8
＝
2
，

设
BF
＝
EF
＝< br>x
，在
Rt
△
EFC
中有：
x
2
＝
2
2
+
（
6
﹣
x
）
2
，

∴
x
＝
10
，

3
设
DH
＝
GH
＝
y
，在
Rt
△
EGH
中，
y
2
+4
2
＝（
8
﹣
y
）
2
，

∴
y
＝
3
，

∴
EH
＝
5
，

5
∴
EH

10

3
，

EF
3
2
故选
A
．

【点睛】

本题考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于
中考常考题型．

3
．
A
【解析】

【分析】

根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等解答．


10
【详解】

解：
∵
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，

∴
到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．

故选：
A
．

【点睛】

本题考查了线段垂直平分 线的性质，解题的关键是熟知线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点
到两端点的距离相等．< br>
4
．
C
【解析】

【分析】

设甲与乙的距离为
s
，根据图像可求出解析式，即可进行求解
.
【详解】

解：设甲与乙的距离为
s
，则关于
t
的 函数为
s
＝
kt+b
（
k≠0
）
，
将（
0
，
12
）
（
50
，
0
）代入

得


b

12
，
< br>50
k

b

0

解得
k
＝﹣
0.24
，
b
＝
12
，

函数表达式 ，
s
＝﹣
0.24t+12
（
0≤t≤50
）
，< br>
则
30
秒后，
s
＝
4.8
设甲自
A
点移动的距离为
y
，则
y+s
＝
12+1.5×30
解得：
y
＝
52.2
∴甲自
A
点移动
52.2m
．

故选：
C
．

【点睛】

此题主要考查一次函数的图像，解题的关键是熟知一次函数解析式的求解
.
5
．
C
【解析】

【分析】

根据菱形、矩形、平行四边形、正方形的判定定理逐项判断即可．

【详解】

解：
A.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，此选项不符合题意；

B.
对角形相等的平行四边形是矩形，此选项不符合题意；


11
C.
顺次连结平行四边形各边中点所得四边形是平行四边形




，此选项符合题意；

D.
一组邻边相等的矩形是正方形，此选项不符合题意；

故选：
C
．

【点睛】

本题考查的知识点是菱形 、矩形、平行四边形、正方形的判定定理，熟记菱形、矩形、平行四边形、正方
形的判定定理内容是解此 题的关键．

6
．
A
【解析】

【分析】

科学记数法的形式是：
a

10
n

，其中
1

a
＜
10
，
n
为整数．所以
a
2.1,
，
n
取决于原数小数点的移
动位数与移动方向，n
是小数点的移动位数，往左移动，
n
为正整数，往右移动，
n
为负整数。本题小数
点往右移动到
2
的后面，所以
n

< br>4.

【详解】

解：
0.00021

2 .1

10

4
.


故选
A
．

【点睛】

本题考查的知识点是用科学 记数法表示绝对值较小的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好
a
,
n
的
值，同时掌握小数点移动对一个数的影响．

7
．
B
【解析】

【分析】

仔细观察图象，①
k
的正负 看函数图象从左向右成何趋势即可；②
a
，
b
看
y
2
=x+a
，
y
1
=kx+b
与
y
轴的交点坐标；
③看两函数图象的交点横坐标；
④以两条直线的交点为分界，
哪个函数图象在 上面，
则哪个函数值大．

【详解】

①∵
y
1
=kx+b
的图象从左向右呈下降趋势，

∴
k
＜
0
正确；

②∵
y
2=x+a
，与
y
轴的交点在负半轴上，

∴
a<0
，故②错误；

③当
x<3
时，
y
1
>y
2
错误；

故正确的判断是①．

故选
B
．


12
【点睛】

本题考查一次函数性质的应用
.
正确理解一次函数的解析式：
y=kx+b
（
k≠0
）
y
随
x
的变化趋势：
当
k
＞
0
时，
y
随
x
的增大而增大；当
k
＜
0
时，
y
随
x
的增大而减小
.
8
．
C
【解析】

【分析】

根据一元二次方程的配方法即可求出答案．

【详解】

∵
x
2
+4x-1=0
，

∴
x
2
+4x+4=5
，

∴（
x+2
）
2
=5
，

故选：
C
．

【点睛】

此题考查一元二次方程，解题关键是熟练运用一元二次方程的解法．

9
．
A
【解析】

【分析】

【详解】

解：
∵
AE
平分
∠
BAD
，

∴
∠
DAE=
∠
BAE
；

又
∵
四边形
ABCD
是平行四边形，

∴
AD
∥
BC
，

∴
∠
BEA=
∠
DAE=
∠
BAE
，

∴
AB=BE=6
，

∵
BG
⊥
AE
，垂足为
G
，

∴
AE=2AG
．

在
Rt
△
ABG中，
∵
∠
AGB=90°
，
AB=6
，
BG=
4
2
，

∴
AG=
AB
2
BG
2
=2
，

∴
AE=2AG=4
；

∴
S
△
ABE< br>=
1
2
AE•BG=
1
2

4
< br>4
2

8
2
．

∵
BE=6
，
BC=AD=9
，


13
∴
CE=BC
﹣
BE=9
﹣
6=3
，
< br>∴
BE
：
CE=6
：
3=2
：
1
，

∵
AB
∥
FC
，

∴
△
ABE
∽
△
FCE
，

∴< br>S
△
ABE
：
S
△
CEF
=
（BE
：
CE
）
2
=4
：
1
，则
S
△
CEF
=
故选
A
．

1
S
△
ABE
=
2
2
．

4

【点睛】

本题考查
1
．相似三角形的判定与 性质；
2
．平行四边形的性质，综合性较强，掌握相关性质定理正确推理
论证是解题关 键．

10
．
D
【解析】

S
1
=
试题分析：
（
1
）
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
S
2
=
S
1
=
∵
a
2

b
2

c
2
，
∴
∴
S
1
+S
2
=S
1
．

a
，
a

b
c
，
b
，
c
，
4
4
4
44
4
（
2
）
S
1
=

44
4
4
4
4
1
2
1
2
12
1
2
1
2
1
2
（
1
）S
1
=
a
，
S
2
=
b
，S
1
=
c
，
∵
a
2

b2

c
2
，
∴
a

b
c
，
∴
S
1
+S
2
=S
1
．

4
4
4
4
4
4
（
4
）
S
1
=
a
2
，
S
2
=
b
2
，
S
1
=
c
2
，
∵
a
2

b
2

c
2
，
∴
S
1
+S
2
=S
1
．

综上，可得：面积关 系满足
S
1
+S
2
=S
1
图形有
4
个．

故选
D
．

考点：勾股定理．

二、填空题

11
．
16
或
2
【解析】

【分析】

a
2
，
S
2
=

b
2
，
S
1
=

c
2
，
∵
a
2

b
2

c
2
，
∴

a
2


b
2


c
2
，
∴
S
1
+S
2
=S
1
．

等腰三角形一般分情况讨论：
（
1
）当
DB'=DC=16
；
（
2
）当
B'D=B' C
时，作辅助线，构建平行四边形
AGHD
和直角三角形
EGB'
， 计算
EG
和
B'G
的长，根据勾股定理可得
B'D
的长；< br>
【详解】

∵
四边形
ABCD
是矩形，


14
∴
DC=AB=16
，
AD=BC=1
．


分两种情况讨论：

（
1
）如图
2
，当
D B'=DC=16
时，即
△
CDB'
是以
DB'
为腰的等腰 三角形



（
2
）如图
3
，当
B'D=B'C
时，过点
B'
作
GH
∥
AD
，分别 交
AB
与
CD
于点
G
、
H
．

∵
四边形
ABCD
是矩形，


∴
AB
∥
CD
，
∠
A=90°

又
GH
∥
AD
，

∴
四边形
AG HD
是平行四边形，又
∠
A=90°
，

∴
四边形
AGHD
是矩形，

∴
AG=DH
，
∠
GHD=90°
，即
B'H
⊥
CD
，


又
B'D=B'C
，

∴
DH
＝< br>HC
＝
1
3
CD

8
，
AG=DH =8
，

∵
AE=3
，

∴
BE=EB'=AB-AE=16-3=13
，

EG=AG- AE=8-3=5
，

在
Rt
△
EGB'
中，由勾股定理得：

GB′
＝
13
2
5
2
12
，

∴
B'H=GH
×
GB'=1-12=6
，

在< br>Rt
△
B'HD
中，由勾股定理得：
B′D
＝
62

8
2

10

综上，
DB'
的长为
16
或
2
．


15

故答案为：

16
或
2
【点睛】

本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形一般需要分类讨论

．

12
．
3

2
【解析】

【分析】

把
x=
5
代入求解即可

4
【详解】

把
x=
5
5
代入
x

1
中，得

1

4
4
3
9
3
，故答案为


2
4
2
【点睛】

熟练掌握二次根式的化简是解决本题的关键，难度较小

13
．
1
【解析】

【分析】

如图（见解析）
，先根据正方形的性 质可得
AC

BD
,
AB

BC

可得．

【详解】

如图，四边形
ABCD
是边长为
2
正方形

则AC

BD
,
AB

BC

2,
ABC

90

，再利用勾股定理即
2,

ABC

90


由勾股定理得：
BD

AC

AB
2

BC
2

2
即这个正方形的两条对角线相等，长为
1
故答案为：
1
．


【点睛】

本题考查了正方形的性质、勾股定理，掌握理解正方形的性质是解题关键．


16
14
．

(3,3
3
)
或
(
−3,−3
3
).
【解析】

【分析】

把
A
的横坐标代入直线解析 式求出
y
的值，确定出
A
坐标，把
A
坐标代入反比例解析式 求出
k
的值，确定
出反比例解析式，设
D
（
a
，< br>3
a
）
，由直线
AB
解析式可知，直线
AB
与
y
轴正半轴夹角为
60°
，以
O
、
C
、
D
、
E
为顶点的四边形是有一组对角为
60°
的菱形，D
在直线
y=
3
x
上，得到点
C
只能在
y
轴上，得出
E
横坐标为
a
，把
x=a
代入反比 例函数解析式求出
y
的值，确定出
E
坐标，由菱形的边长相等得到
O D=ED
，
进而求出
a
的值，确定出满足题意
D
的坐标即可 ．

【详解】

把
x=
3
代入
y=
3
x,
得：
y=3,
即
A(
3
,3),

把点
A(
3
,3)
代入
y=kx,
解得 ：
k=3
3
，

∴反比例函数解析式为
y=
3
3
x
，

设
D
点坐标
(a,
3
a),
由直线
AB
解析 式可知
,
直线
AB
与
y
轴正半轴夹角为
60
∘
，

∵以
O
、
C. D. E
为顶点的四边形 是有一组对角为
60
∘
的菱形
,D
在直线
y=
3< br>x
上，

∴点
C
只能在
y
轴上，

∴
E
点的横坐标为
a
，

把
x=a
代入
y=
3
3
x
,
得：
y=
3
3
3
3
a
,
即
E(a,
a
，

根据
OE=ED,
即：
a
2

27
33
a
2

3
a

a
，

解得：
a=±3
，


17
则满足题意
D
为
(3,3
3
)
或
(−3,−3
3
).
故答案为：
(3,3
3
)
或
(−3,−3
3
).
【点睛】

考核知识点：反比例函数与几何结合
.
数形结合分析问题是关键
.
15
．
x≠1

【解析】

【分析】

根据分式有意义的条件可求解
.
【详解】

分母不为零，即
x-
1≠0
，
x≠1.

故答案是：
x≠1.

【点睛】

考查了分式有意义的条件 ，
（
1
）分式无意义
⇔
分母为零；
（
2
） 分式有意义
⇔
分母不为零；
（
3
）分式值为零
⇔
分 子为零且分母不为零．

16
．①②③

【解析】

【分析】

由抛物线开口方向得到
a
＜
0
，
由抛物线与
y
轴交点位置得到
c
＞
0
，
则可对① 进行判断；
利用抛物线的对称
轴方程可对②进行判断；由抛物线与
x
轴的交点 个数可对③进行判断；由于
x=-1
时函数值小于
0
，则可对
④进行 判断．

【详解】

解：∵抛物线开口向下，

∴
a
＜
0
，

∵抛物线与
y
轴交点位于
y
轴正半轴，

∴
c
＞
0
，所以①正确；

∵抛物线的对称轴为直 线
x


b

1
，

2
a
∴
b=-2a
，即
2a+b=0
，所以②正确；

∵抛物线与
x
轴有两个不同的交点，

∴
b2-4ac
＞
0
，所以③正确；

∵
x=-1
时，
y
＜
0
，

∴
a-b+c
＜
0
，所以④错误．


18
故答案为：①②③
.
【点睛】

本题考查了二次函 数与系数的关系：对于二次函数
y=ax2+bx+c
（
a≠0
）
， 二次项系数
a
决定抛物线的开口方
向和大小：当
a
＞
0时，抛物线向上开口；当
a
＜
0
时，抛物线向下开口；一次项系数
b
和二次项系数
a
共
同决定对称轴的位置：当
a
与
b
同号时（即
ab
＞
0
）
，对称轴在
y
轴左；

当
a
与
b
异号时（即
ab
＜0
）
，对
称轴在
y
轴右；常数项
c
决定抛物线 与
y
轴交点：抛物线与
y
轴交于（
0
，
c
）
；抛物线与
x
轴交点个数由
△
决定：
△
=b2
-4ac
＞
0
时，抛物线与
x
轴有
2
个交点；
△
=b
2
-4ac=0
时，抛物线与
x
轴有
1
个交点；
△
=b2-4ac
＜
0
时，抛物线 与
x
轴没有交点．

17
．
6.2
【解析】

【分析】

根据黄金分割的计算公式正确计算即可
.
【详解】

∵点
C
分线段
AB
近似于黄金分割点（
AC>BC
）
，

∴
AC=
5

1
AB
，

2
∵
AB=10cm
，

∴
AC=
5
1

10

6.2
cm
，

2
故答案为：
6.2.
【点睛】

此题考查黄金分割点的计算公式，正确掌握公式是解题的关键
.
三、解答题

18
．
（
1
）证明见解析，
（
2
）当AB=AC
时，四边形
ADCF
为矩形，理由见解析．

【解析】

【分析】

（
1
）可证
△AFE
≌
△
DBE
，得出
AF=BD
，进而根据
AF=DC
，得出
D
是
BC
中点的结论；

（< br>2
）若
AB=AC
，则
△
ABC
是等腰三角形，根据 等腰三角形三线合一的性质知
AD
⊥
BC
；而
AF
与
DC
平行且
相等，故四边形
ADCF
是平行四边形，又
AD
⊥
BC
，则四边形
ADCF
是矩形．

【详解】

解：
（
1
）证明：
∵
E
是
AD
的 中点，

∴
AE=DE
．


19
∵
AF
∥
BC
，

∴
∠
FAE=
∠
BDE
，
∠
AFE=
∠
DBE
．


FAE


BDE
在
△
AFE和
△
DBE
中，
{

AFE

DBE
，

AE

DE
∴
△
AFE< br>≌
△
DBE
（
AAS
）
．

∴
AF=BD
．

∵
AF=DC
，

∴
BD=DC
．

即：
D
是
BC
的中点．

（
2
）
AB=AC
，理由如下：

∵
AF=DC
，
AF
∥
DC
，

∴
四边形
ADCF
是平行四边形．

∵
AB=AC
，
BD=DC
，

∴
AD< br>⊥
BC
即
∠
ADC=90°
．

∴
平行四边形
ADCF
是矩形．

考点：全等三角形的判定与性质；矩形的判定．

19
．
（
1
）详见解析；
（
2
）
GO
⊥
AC;
（< br>3
）
AH=
3
OH
【解析】

【分析】

（
1
）根据平行线的性质得出∠
E
＝∠
ADF
，∠
EFB
＝∠
EDC
，再利用
ED
平分∠
ADC
，即可解答

（
2
）连接
BG,A G
，根据题意得出四边形
ABCD
是矩形
,
再利用矩形的性质，证明
△
ABG
≌△
CEG,
即可解答

（
3< br>）连接
AK,BK,FK
，先得出四边形
BFKE
是菱形
,< br>，再利用菱形的性质证明
△
KBE,
△
KBF
都是等边三角形
,
再
利用等边三角形的性质得出
△
ABK
≌△
CE K
，最后利用三角函数即可解答

【详解】

（
1
）证明：如图①中，因为四边形
ABCD
为平行四边形，

所以，
A D
∥
EC
，
AB
∥
CD
，

所以 ，∠
E
＝∠
ADF
，∠
EFB
＝∠
EDC
，

因为
ED
平分∠
ADC
，

所以，∠
ADF
＝∠
EDC
，

所以，∠
E
＝∠
EFB
，

所以，
BE
＝
BF

20

(2)< br>解
:
如图⊙中
,
结论
:GO
⊥
AC
连接
BG,AG
∵四边形
ABCD
是平行四边形
,
∠
ADC=90°
,
四边形
ABCD
是矩形
,
∠
ABC=
∠
ABE=90°
,
由
(1)
可知
:BE=BF,
∵∠
EBF=90°
,EG=FG,
∴∠
E=45°
,< br>∠
GBF=
∠
GBE=45°
,BG=GE=GF,
∵∠
DCE=90°

∴∠
E=
∠
EDC=45°
,
∴
DC=CE=BA,
∵∠
ABG=
∠
E=45°
,AB=EC,BG=EG,
∴△
ABG
≌△
CEG(SAS),
∵
GA=GC
∴
AO=OC.
∴
GO
⊥
AC
(3)
解
:
如图⊙中
,
连接
AK,BK,FK

∵
BF=EK,BF
∥
EK,
∴四边形
BFKE
是平行四边形
,
∵
BF=BE,
∴四边形
BFKE
是菱形
,
∵边形
ABCD
是平行四边形
,
∴∠
ADC=
∠
ABC=60°
,
∠
DCB=
∠
DAB=120°


21
∴∠
EBF=120°
,
∴∠
KBE=
∠
KBF=60°


BF=BE=FK=EK,
∴△
KBE,
△
KBF
都是等边三角形
,
∴∠< br>ABK=
∠
CEK=60°
,
∠
FEB=
∠
FEK=30
∴∠
CDE=
∠
CED=30°

∴
CD=CE=BA,
∵
BK=EK,
∴△
ABK
≌△
CEK(SAS)
∴
AK=CK,
∠
AKB=
∠
CKB
∴∠
AKC=
∠
BKE=60°

∴△
ACK
是等边三角形

∵
OA=OC,CH=HK
∴
AK=2OH,AH
⊥
CK,
cos30°
=
∴
AH=AK·
3

AK
2
∴
AH=
3

OH.
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解题关键在于作辅助线

20
．
（
1
）
AE+ CF=EF
，证明见解析；
（
2
）
AE

CF
EF
，理由见解析
.
【解析】

【分析】

（
1
）由题干中截长补短的提示，再结合第（
1
）问的证明结论，在 第二问可以用截长补短的方法来构造全
等，从而达到证明结果．

（
2
）同理作辅助线，同理进行即可，直接写出猜想，并证明．

【详解】

（
1
）图
2
猜想：
AE+CF=EF
，

证明：在
BC
的延长线上截取
CA'=AE
，连接
A'D< br>，


22

∵∠
DAB=
∠
BCD=90°
，

∴∠
DAB=
∠
DCA'=90°
，


又∵
AD=CD
，
AE=A'C
，

∴△
DAE
≌△
DCA'
（
SAS
）
，

∴< br>ED=A'D
，∠
ADE=
∠
A'DC
，

∵∠
ADC=120°
，

∴∠
EDA'=120°
，

∵∠
EDF=60°
，

∴∠
EDF=
∠
A'DF=60°
，


又
DF=DF
，

∴△
EDF
≌△
A'D F
（
SAS
）
，

则
EF=A'F=FC+CA'=FC+AE
；

（
2
）如图
3
，
AE+CF=EF
，


证明：在
BC
的延长线上截取
CA'=AE
，连接
A'D
，
∵∠
DAB
与∠
BCD
互补，∠
BCD +
∠
DCA'=180°

∴∠
DAB=
∠
DCA'
，


又∵
AD=CD
，
AE=A'C
，


23

∴△
DAE
≌△
DCA'
（
SA S
）
，

∴
ED=A'D
，∠
ADE=
∠
A'DC
，

∵∠
ADC=2α
，

∴∠
EDA'=2α
，

∵∠
EDF=α
，

∴∠
EDF=
∠
A'DF=α


又
DF=DF
，

∴△
EDF
≌△
A'D F
（
SAS
）
，

则
EF=A'F=FC+CA'=FC+AE
．

【点睛】

本题是常规的角含半角的模型，解决这类问题的通法：旋转（截长补短）构造全等即可，题目所给例题的
思路，为解决此题做了较好的铺垫．

21
．
（
1
）
C


1,

3

．
D

3,1

，
（
2
）直线
CD
的解析式 的解析式为：
y

x

2
；
（
3
）点

2.5,0.4

在矩形
ABCD
的外部．

【解析】

【分析】


1

根据中心对称的性质即可解决问题；


2

利用待定系数法求出直线
CD
的解析式；


3

根据直线
CD
的解析式，判定点

2.5,0.4

与直线
CD
的位置关系即可解决问题．

【详解】


1

A
、
C
关于原 点对称，
A

1,3

，


C


1,

3

，

B
、
D
关于原点对称，
B


3,

1

，


D

3,1

，


2

设直线
CD
的解析式为：
y

kx

b
，

把
C


1
,

3

，
D

3,1

代入得：
3k

b

1
，



k

b

3
解得：
b


2
，


24

k

1

直线
CD< br>的解析式的解析式为：
y

x

2
；

3

CD
：
y

x

2< br>；

x

2.5
时，
y

0.5
，

0.5

0.4
，


点

2. 5,0.4

在直线
CD
的下方，


点

2.5,0.4

在矩形
ABCD
的外部．

【点睛】

本题考查了中心对称的性质、一次函数图象上点的坐标特征和用待定系数法 求一次函数的解析式，能求出
一次函数的解析式是解此题的关键．

22
．< br>（
1
）

1

x

0
；< br>（
2
）①
1
；②

y


【解析】

【分析】

（
1
）先利用直线
y=3x+3
确定
A
、
B
的解析式 ，然后利用一次函数的性质求解；

（
2
）
）
①
把
C
（
-
1
7
x


3
9
2
，
n
）代入
y=3x+3
可求出
n
的值 ；

3
②
利用两直线垂直，一次项系数互为负倒数可设直线
CD的解析式为
y=-
求出
b
即可．

【详解】

解：
（
1
）当
y=0
时，
3x+3=0
， 解得
x=-1
，则
A
（
-1
，
0
）
，

当
x=0
时，
y=3x+3=3
，则
B（
0
，
3
）
，

当
0
＜y≤3
，自变量
x
的取值范围是
-
1≤x
＜
0
；

（
2
）
①
把
C
（
-
②
∵
AB
⊥
CD
，

1
2
x+b
，然后把
C
（
-
，
1
）代入
3< br>3
2
2
，
n
）代入
y=3x+3
得
3×
（
-
）
+3=n
，解得
n=1
；

3
3
1
x+b
，

3
1
2
2
7
把
C
（
-
，
1
）代入得
-
×
（
-
）
+b=1
，解得
b=
，

3
3
9
3
1
7
∴
直线
CD
的解析式为
y=-
x+
．

3
9
∴
设直线
CD
的解析式为
y=-

25

工作感悟-

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工作感悟-

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