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2021年1月30日发(作者：甜美蛋糕)

2019
年中考数学题型专项研究

第
8
讲：平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质


1
．
简单的应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质或判定解答证明题．

2
．
四边形动态问题
——
旋转变换类、平移变换类、折叠变换类，
运动问题类
，
利用折叠
(
翻折
)
、轴对称解 答最值问题．

3
．
平行四边形的存在性问题．

4
．
四边形与二次函数的综合题．


1
．
折叠、轴对称及特殊平行四边形的性质应用出错．

2
．
平行四边形的存在性问题中解有遗漏．

3
．
很难解答四边形与二次函数的综合题
，
无从下手．


1
．
四边形是几何知识中非常重要的一块内容
，
，
因其
“
变化多端
”
更是成为中考数学考试的一个热门考点．近几年随着新课 改的不断深入
中考题更加考查学生思维能力
，
如出现一些图形折叠、翻转等问题．这类 问题的实践性强
，
要利用图形变化前后线段、角的对应相等关系
，
构造一些特 殊三角形等知识来求解．

2
．
中考还常把四边形与平面直角坐标系结合起来 考查
，
，
”
这类题目不仅仅把
“
数
”
与< br>“
形
”
联系起来思考
更提高同学们综合运用知识的能力．数形结合题目 可以考查学生对
“
新事物
”“
新知识
的接受和理解能力
，< br>也考查学生运用所学知识来解决
“
新事物
”“
新知识
”
的能力．

3
．
四边形作为特殊的四边形
，
，
一 直是中考试题中的主角．尤其是在综合了函数知识后动态研究它的存在性问题
对学生分析问题和解决问题 的要求较高．此类题目主要考查平行四边形的判定与性质、函数解
析式的确定与性质
，
考查识图作图、运算求解、数学表达等能力
，
数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想．< br>

1
．
简单的应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质或判定解 答证明题：平行四边形
具有对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等性质
，
它们 在计算、证明中都有广泛的应用：
(1)
求角的度数；
(2)
求线段的长；< br>(3)
求周长；
(4)
求第三


边的取值范围．

2
．
四边形动态问题
——
旋转变 换类、平移变换类、折叠变换类
，
运动问题类
，
利用折叠
(
翻
折
)
、轴对称解答最值问题：有关矩形纸片折叠的问题
，
，
通过动手操作去发现解决问题的方法．其规律为利用折叠前后线段、角的对应相等关系
构造直角三角形
，
利用勾股定理来求解．折叠问题数学思想：
(1)
思考问题的逆向
(
反
方
向
)
，
(2)
转化与化归思想；
( 3)
归纳与分类的思想；
(4)
从变寻不变性的思想．

3
．
综合了函数知识后动态研究平行四边形的存在性问题：此类题目主要考查平行四边形
的判定与 性质、函数解析式的确定与性质
，
考查识图作图、运算求解、数学表达等能力
，
数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想．学生在处理问题的时候
，
往往不能正确分类< br>，
导致漏解．此外
，
在解题时一般需要添设辅助线
，
利用平行 四边形的性质
，
，
，
，
转化为全等进行计算
学生顺利完成的 难度就更大．如何才能让他们有目的的进行分类、简单明了的给出解答
从而减轻学习负担呢？借助平行四 边形的对角线性质
来探究平行四边形的存在性问题就是一个很好的途径．

4
．
四边形与二次函数的综合题是压轴题：综合考查了二次函数
，
一次函数
，< br>尺规作图
，
勾股定理
，
平面直角坐标系
，
一元二次方 程
，
轴对称
——
翻折
，
最值问题．读懂题目、准确作图、熟 悉二次函数及其图象是解题的关键．解决压轴题关键是找
准切入点
，
如添辅助线
，
构造定理所需的图形或基本图形；紧扣不变量
，
反复认真的审题
，
，
并善于使用前题所采用的方法或结论；深度挖掘题干
在题目中寻找多解的信息
，< br>等等．压轴题牵涉到的知识点较多
，
知识转化的难度较高
，
除了要熟知 各类知识外
，
平时要多练
，
提高知识运用和转化的能力

【典例解析】

【例题
1
】
（
2017
广 西河池）如图，在
▱
ABCD
中，用直尺和圆规作∠
BAD
的平分线
AG
，若
AD=5
，
DE=6
，则
AG
的 长是（


）


A
．
6
B
．
8
C
．
10
D
．
12
【考点】
N2
：作图
—
基本作图；
L5
：平行四边 形的性质．

【分析】连接
EG
，由作图可知
AD=AE
， 根据等腰三角形的性质可知
AG
是
DE
的垂直平分线，
由平行四边形 的性质可得出
CD
∥
AB
，故可得出∠
2=
∠
3< br>，据此可知
AD=DG
，由等腰三角形的性


质可知
OA=
AG
，利用勾股定理求出
OA
的长即可．

【解答】解：连接
EG
，

∵由作图可知
AD=AE
，
AG
是∠
BAD
的平分线，

∴∠
1=
∠
2
，

∴
AG
⊥DE
，
OD=
DE=3
．

∵四边形
ABCD
是平行四边形，

∴
CD
∥
AB
，

∴∠
2=
∠
3
，

∴∠
1=
∠
3
，

∴
AD=DG
．

∵
AG
⊥
DE
，

∴
OA=
AG
．

=
=4
，
< br>在
Rt
△
AOD
中，
OA=
∴
AG=2AO =8
．

故选
B
．



【例题
2
】（
2017
江苏徐州）
如图，在
▱
ABCD< br>中，点
O
是边
BC
的中点，连接
DO
并延长，交AB
延长线于点
E
，连接
BD
，
EC
．

（
1
）求证：四边形
BECD
是平行四边形；

（
2
）若∠
A=50°
，则当∠
BOD=

100

°
时，四边形
BECD
是矩形．


【考点】
LC
：矩形的判定；
L7
：平行四边形的判定与 性质．

【分析】
（
1
）由
AAS
证明△
BOE
≌△
COD
，得出
OE=OD
，即可得出结论；
< br>（
2
）由平行四边形的性质得出∠
BCD=
∠
A=50°，由三角形的外角性质求出∠
ODC=
∠
BCD
，得出


OC=OD
，证出
DE=BC
，即可得出结论．

【解答】
（
1
）证明：∵四边形
ABCD
为平行四边形，

∴
AB
∥
DC
，
AB=CD
，

∴∠
OEB=
∠
ODC
，

又∵
O
为
BC
的中点，

∴
BO=CO
，

在△
BOE
和△
COD
中，
∴△
BOE
≌△
COD
（
AAS
）；

∴
OE=OD
，

∴四边形
BECD
是平行四边形；

（
2
）解：若 ∠
A=50°
，则当∠
BOD=100°
时，四边形
BECD
是矩形．理由如下：

∵四边形
ABCD
是平行四边形，

∴∠
BCD=
∠
A=50°
，

∵∠
BO D=
∠
BCD
+
∠
ODC
，

∴∠
ODC=100°
﹣
50°
=50°
=
∠
BCD
，

∴
OC=OD
，

∵
BO=CO
，
OD=OE
，

∴
DE=BC
，

∵四边形
BECD
是平行四边形，

∴四边形
BECD
是矩形；

故答案为：
100
．

【例题
3
】
定义： 有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．

（
1）如图
1
，等腰直角四边形
ABCD
，
AB=BC
，∠
ABC=90°
，

①若
AB=CD=1
，
AB< br>∥
CD
，求对角线
BD
的长．

②若
AC
⊥
BD
，求证：
AD=CD
，

（
2
）如图
2
，在矩形
ABCD
中，
AB =5
，
BC=9
，点
P
是对角线
BD
上一点，且< br>BP=2PD
，过点
P
作直线分别交边
AD
，
BC< br>于点
E
，
F
，使四边形
ABFE
是等腰直角四边形， 求
AE
的长．

，




【考点】
LO
：四边形综合题．

【分析】
（
1< br>）①只要证明四边形
ABCD
是正方形即可解决问题；

②只要证明△
ABD
≌△
CBD
，即可解决问题；

（
2
）若
EF
⊥
BC
，则
AE
≠
EF
，
BF
≠
EF
，推出四边形
ABFE
表示等 腰直角四边形，不符合条
件．若
EF
与
BC
不垂直，①当
A E=AB
时，如图
2
中，此时四边形
ABFE
是等腰直角四边形，②
当
BF=AB
时，如图
3
中，此时四边形
ABFE
是等腰直角四边形，分别求解即可；

【解答】
解：（
1
）①∵AB=AC=1
，
AB
∥
CD
，

∴
S
四边形
ABCD
是平行四边形，

∵
AB=BC
，

∴四边形
ABCD
是菱形，

∵∠
ABC=90°
，

∴四边形
ABCD
是正方形，

∴
BD=AC=

（
2
）如图
1
中，连接
AC
、
BD
．

∵
AB=BC
，
AC
⊥
BD
，

∴∠
ABD=
∠
CBD
，

∵
BD=BD
，

∴△
ABD
≌△
CBD
，

∴
AD=CD
．


（
2
）若
E F
⊥
BC
，则
AE
≠
EF
，
BF
≠
EF
，

∴四边形
ABFE
表示等腰直角四边形，不符合条件．

若
EF
与
BC
不垂直，

①当
AE=AB
时，如图
2
中，此时四边形
ABFE
是等腰直角四边形，

∴
AE=AB=5
．

②当
BF=AB
时，如图< br>3
中，此时四边形
ABFE
是等腰直角四边形，

∴
BF=AB=5
，

∵
DE
∥
BF
，

∴
DE
：BF=PD
：
PB=1
：
2
，

∴
DE=2.5
，

∴
AE=9
﹣
2.5=6.5
，


=
．


综上所述，满足条件的
AE
的长为
5
或
6.5
．





【例 题
4
】（
2017
浙江衢州）
在直角坐标系中，过原点
O< br>及点
A
（
8
，
0
），
C
（
0
，
6
）作矩形
OABC
、连结
OB
，点
D
为
OB
的中点，点
E
是线段
AB
上的动点，连结
DE
，作
DF
⊥
DE
，交
OA
于点
F
，连结
EF
．已知点
E
从
A
点出发，以每秒< br>1
个单位长度的速度在线段
AB
上移动，设移
动时间为
t秒．


（
1
）如图
1
，当
t=3< br>时，求
DF
的长．

（
2
）如图
2
，当点
E
在线段
AB
上移动的过程中，∠
DEF
的大小是否 发生变化？如果变化，请
说明理由；如果不变，请求出
tan
∠
DEF
的值．

（
3
）连结
AD
，当
AD
将△
DEF
分成的两部分的面积之比为
1
：
2
时，求相应的t
的值．

【考点】
LO
：四边形综合题．

【分析】
（
1
）当
t=3
时，点
E
为
AB
的中点，由三角形中位线定理得出
DE
∥
OA
，
DE=OA=4
，
再由矩形的性质证出
DE
⊥
AB
，得出∠< br>OAB=
∠
DEA=90°
，证出四边形
DFAE
是矩形，得 出
DF=AE=3
即可；



（
2
）作
DM
⊥
OA
于
M
，
DN
⊥
AB< br>于
N
，证明四边形
DMAN
是矩形，得出∠
MDN=90°< br>，
DM
∥
AB
，
DN
∥
OA
，由平 行线得出比例式
，
=
=
，由三角形中位线定理得出
DM=
AB=3
，
DN=
OA=4
，证明△
DMF
∽△
D NE
，得出
，再由三角函数定义即可得出答案；

（
3
）作 作
DM
⊥
OA
于
M
，
DN
⊥
AB
于
N
，若
AD
将△
DEF
的面积分成
1< br>：
2
的两部分，设
AD
交
EF
于点
G
，则点
G
为
EF
的三等分点；

①当点
E
到达中点之前时，
NE=3
﹣
t
，由△
DMF
∽△
DNE
得：
MF=
（
3
﹣
t
），求出
A F=4
+
MF=
﹣
t
+
，得出
G
（
，
t
），求出直线
AD
的解析式为
y=
﹣
x< br>+
6
，把
G
（
，

t
）代入即可求出
t
的值；

②当点
E
越 过中点之后，
NE=t
﹣
3
，由△
DMF
∽△
DN E
得：
MF=
（
t
﹣
3
），求出
AF=4
﹣
MF=
﹣
t
+
，得出
G
（
，< br> t
），代入直线
AD
的解析式
y=
﹣
x
+
6
求出
t
的值即可．

【解答】
解：（
1
）当
t=3
时，点
E
为
AB
的中点，
< br>∵
A
（
8
，
0
），
C
（
0
，
6
），

∴
OA=8
，
OC=6
，

∵点
D
为
OB
的中点，

∴
DE
∥
OA
，
DE=
OA=4
，

∵四边形
OABC
是矩形，

∴
OA
⊥
AB
，

∴
DE
⊥
AB
，

∴∠
OAB=
∠
DEA=90°
，

又∵
DF
⊥
DE
，

∴∠
EDF=90°
，

∴四边形
DFAE
是矩形，

∴
DF=AE=3
；


（
2
）∠
DEF
的大小不变；理由如下：

作DM
⊥
OA
于
M
，
DN
⊥
AB
于
N
，如图
2
所示：

∵四边形
OABC
是矩形，

∴
OA
⊥
AB
，

∴四边形
DMAN
是矩形，



∴∠
M DN=90°
，
DM
∥
AB
，
DN
∥
OA
，

∴
，
=
，

∵点
D
为
OB
的中点，

∴
M
、
N
分别是
OA
、
AB
的中点，

∴
DM=
AB=3
，
DN=
OA=4
，

∵∠
EDF=90°
，

∴∠
FDM=
∠
EDN
，

又∵∠
DMF=
∠
DNE=90°
，

∴△
DMF
∽△
DNE
，

∴
=
，

∵∠
EDF=90°
，

∴
tan
∠
DEF=
=
；

（
3
）作
DM
⊥
OA
于
M
，
DN
⊥< br>AB
于
N
，

若
AD
将△
DEF< br>的面积分成
1
：
2
的两部分，

设
AD交
EF
于点
G
，则点
G
为
EF
的三等 分点；

①当点
E
到达中点之前时，如图
3
所示，
NE=3
﹣
t
，

由△
DMF
∽△
DNE
得：
MF=
（
3
﹣
t
），

∴
AF=4
+
MF=
﹣
t
+
，

∵点
G
为
EF
的三等分点，

∴
G
（
，
t
），

设直线
AD
的解析式为
y=kx
+
b
，

把
A
（
8
，
0
），
D
（
4
，
3
）代入得：
，

解得：
，

∴直线
AD
的解析式为
y=
﹣
把
G
（
，
x
+
6
，

；

t
）代入得：
t=
②当点
E
越过中点之后，如图
4
所示，
NE= t
﹣
3
，



由△
DMF
∽△
DNE
得：
MF=
（
t
﹣
3
），

∴
AF=4
﹣
MF=
﹣
t
+
，

∵点
G
为
EF
的三等分点，

∴
G
（
，
t
），

代入直线
A D
的解析式
y=
﹣
x
+
6
得：
t=
；

综上所述，当
AD
将△
DEF
分成的两部分的面积之 比为
1
：
2
时，
t
的值为
或



【专项训练】

一、选择题：

1.

（
2017•
黑龙江）在平行四边形
ABCD
中，
A
的平分 线把
BC
边分成长度是
3
和
4
的两部分，则平行四边形ABCD
周长是（


）
A
．
22 B
．
20 C
．
22
或
20
D
．
18


∠


【考点】
L5
：平行四边形的性质．

【分析】根据
AE< br>平分
∠
BAD
及
AD
∥
BC
可得出
AB=BE
，
BC=BE+EC
，从而根据
AB
、
AD的长可求出平行四边形的周长．

【解答】解：在平行四边形
ABCD
中 ，
AD
∥
BC
，则∠
DAE=
∠
AEB
．

∵
AE
平分∠
BAD
，

∴∠
BAE=
∠
DAE
，

∴∠
BAE=
∠
BEA
，

∴
AB=BE
，
BC=BE+EC
，

①当
BE=3
，
EC=4
时，

平行四边形
ABCD
的周长为：
2
（
AB+AD
）
=2
（< br>3+3+4
）
=20
．

②当
BE=4
，
EC=3
时，

平行四边形
ABCD
的周长为：
2
（
AB+AD
）
=2
（< br>4+4+3
）
=22
．

故选：
C
．


【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰 三角形的判定；根据题意判断出
AB=BE
是解答本题
的关键．


2.

（
2017
贵州安顺）
如图，矩形纸片
AB CD
中，
AD=4cm
，把纸片沿直线
AC
折叠，点
B落在
E
处，
AE
交
DC
于点
O
，若< br>AO=5cm
，则
AB
的长为（


）


A
．
6cm
B
．
7cm
C
．
8cm
D
．
9cm
【考点】
PB
：翻折变换（折叠问题）；
LB
：矩形的性质．

【分析】根据折叠 前后角相等可证
AO=CO
，在直角三角形
ADO
中，运用勾股定理求得DO
，再
根据线段的和差关系求解即可．

【解答】解：根据折叠前后角 相等可知∠
BAC=
∠
EAC
，

∵四边形
ABCD
是矩形，

∴
AB
∥
CD
，



∴∠
BAC=
∠
ACD
，

∴∠
EAC=
∠
EAC
，

∴
AO=CO=5cm
，

在直角三角形
ADO
中 ，
DO=
AB=CD=DO
+
CO=3
+
5=8cm
．

故选：
C
．



3.

如图，在正方形
ABCD
中，△
BPC
是等边三角形，
BP
、
CP
的延长线分别交
AD
于点
E
、
F< br>，连
接
BD
、
DP
，
BD
与
CF< br>相交于点
H
，给出下列结论：

①
BE=2AE
；② △
DFP
∽△
BPH
；③△
PFD
∽△
PDB；④
DP
2
=PHPC
其中正确的是（


）

=3cm
，


A
．①②③④

B
．②③

C
．①②④

D
．①③④

【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．

【解答】解：∵△
BPC
是等边三角形，

∴
BP=PC= BC
，∠
PBC=
∠
PCB=
∠
BPC=60°
，

在正方形
ABCD
中，

∵
AB=BC=CD< br>，∠
A=
∠
ADC=
∠
BCD=90°

∴∠
ABE=
∠
DCF=30°
，

∴
BE=2AE
；故①正确；

∵
PC=CD
，∠
PCD=30°
，

∴∠
PDC=75°
，

∴∠
FDP=15°
，

∵∠
DBA=45°
，

∴∠
PBD=15°
，

∴∠
FDP=
∠
PBD
，

∵∠
DFP=
∠
BPC=60°
，



∴△
DFP
∽△
BPH
；故②正确；

∵∠
FDP=
∠
PBD=15°
，∠
ADB=45°
，

∴∠
PDB=30°
，而∠
DFP=60°
，

∴∠
PFD
≠∠
PDB
，

∴△
PFD
与△
PDB
不会相似；故③错误；

∵ ∠
PDH=
∠
PCD=30°
，∠
DPH=
∠
DP C
，

∴△
DPH
∽△
CPD
，

∴
，

∴
DP
2
=PHPC
，故④正确；

故选
C
．

【点评】本题考查的正方形的性质，等边三角形的性质以 及相似三角形的判定和性质，解答此
题的关键是熟练掌握性质和定理．


4.

（
2017
呼和浩特）如图，四边形
ABCD
是边长为
1
的正方形，
E
，
F
为
BD
所 在直线上的两点，
若
AE=
，∠
EAF=135°
，则下列结论正确 的是（


）


A
．
DE=1
C
．
AF=
B
．
tan
∠
AFO=


D
．四边形
AFCE
的面积为

【考点】
LE
：正方形的性质；
T7
：解直角三角形．
< br>【分析】根据正方形的性质求出
AO
的长，用勾股定理求出
EO
的长， 然后由∠
MAN=135°
及∠
BAD=90°
可以得到相似三角形，根据相 似三角形的性质求出
BF
的长，再一一计算即可判断．

【解答】解：∵四边形
ABCD
是正方形，

∴
AB=CB =CD=AD=1
，
AC
⊥
BD
，∠
ADO=
∠< br>ABO=45°
，

∴
OD=OB=OA=
，∠
AB F=
∠
ADE=135°
，

=
=
，
< br>在
Rt
△
AEO
中，
EO=
∴
DE=

，故
A
错误．

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