几何图形的性质与判定
余年寄山水
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2021年01月30日 12:34
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正方形
开放分类：
科学、数学、几何、四边形
（
1
）定义：各边相等且有四个角是直角的平行四边形叫做正方形。
（
2
）特征：边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直
内角：四个角都是
90°
；
对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角。
（
3
）主要识别方法：
1
：对角线相等的菱形是正方形
2
：对角线互相垂直的矩形是正方形，正方形是一种特殊的矩形
3
：四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形
4
：一组邻边相等的矩形是正方形
5
：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
6
：四边均相等，对角线互相垂直平分且相等的平面四边形
依次 连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。
不管原四边形的形状怎样改变，
中
点四边形的形状始终是平行四边形。正方形的中点四边形是正方形。
平行四边形
开放分类：
数学、几何、图形、多边形
平行四边形是有两组对边分别平行的四边形。
平行四边形有以下性质：
1.
平行四边形的对边平行且相等
2.
平行四边形的对角相等
3.
平行四边形的两条对角线互相平分
4.
平行四边形是空间图形
5.
平行四边形的对角相等，两邻角互补
6.
平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点
7.
过平行四边形对角线交点的直线将平行四边形分成全等的两部分图形
8.
设
P
是平行四边形
ABCD
对角线外一点， 则
2PA^2+2PC^2-AC^2=2PB^2+2PD^2-BD^2
另外，由上列定义可知：平行四边行的两组对边分别平行
1.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
2.
对角线互相平分的四边形是平行四边形
3.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。
不管原四边形的形状怎样改变，
中
点四边形的形状始终是平行四边形。四边形的中点四边形是平行四边形。
平行四边形不具有稳定性。
平行四边形是中心对称图形。
特殊的平行四边形
:< br>矩形
(
长方形
)
，菱形，正方形。
平行四边形的面积公式为：
1
、底乘高。（可以看作是矩形。）
2
、相邻两边长与其夹角的正弦值之积。
什么是三角形？
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的封闭图形叫做三角形。
平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形。
三条直线所围成的图形叫平面三角形；三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。
三角形分类
(1)
按角度分
a.
锐角三角形：三个角都小于
90
度
。
b.
直角三角形（简称
RT
三角形）：有一个角是
90< br>度的三角形，夹
90
度的两边称为
“
直角
边
”
，直角的对边称为
“
斜边
”
。
(
非直角三角形也称斜三角形，锐角三角形、钝角三角形都是
斜三角形
)
c.
钝角三角形：有一个角为钝角的三角形
。
(2)
按边长分
a.
等腰三角形 ：
两条边相等的三角形。
又可分为三条边都相等的等腰三角形，
即等边三角形，
“
腰
”
，第三边叫做
“
底边
”
，腰对应的角（称 为底角）也是相等的。
b.
非等腰三角形：三条边均不相等的三角形。
c.
等边三角形：三条边均相等的三角形。
(3)
特殊三角形
退化三角形：面积为零的三角形。
三角形的性质
1.
三角形的任何两边的和一定大于第三边
，由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小
于第三边。
2.
三角形内角和等于
180
度
3.
等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一。
4.
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方
--
勾股定理。直角三 角形斜边的中线等
于斜边的一半。
5.
三角形共有五心：
内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。
性质：到三边距离相等。
外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。
性质：到三个顶点距离相等。
重心：三条中线的交点。
性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的
2
倍。
垂心：三条高所在直线的交点。
性质：此点分每条高线的两部分乘积
旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点
性质：到三边的距离相等。
6.
三角形的外角
（三角形 内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）
等于与其不相邻的内
角之和。
三角形为什么具有稳定性
任取三角形两条边，则两条边的非公共端点被第三条边连接
∵第三条边不可伸缩或弯折
∴两端点距离固定
∴这两条边的夹角固定
∵这两条边是任取的
∴三角形三个角都固定，进而将三角形固定
∴三角形有稳定性
任取
n
边形
(n≥4)
两条相邻边，则两条边的非公共端 点被不止一条边连接
∴两端点距离不固定