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2021年1月30日发(作者：二月初二龙抬头啥意思)

《九章算术》的主要内容及意义



《 九章算术》
是中国古代第一部数学专著，
是算经十书中最重要的一种。
该书
内 容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。同时，
《九章算术》
在数学上还有其独 到的成就，
不仅最早提到分数问题，
也首先记录了盈不足等问
题，
“方程”章 还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。要注意的
是
《九章算术》
没有作 者，
它是一本综合性的历史著作，
是当时世界上最先进的
应用数学，它的出现志

中国传统数学理论体系的形成。

内容

1.
第一章“方田”


主要论述了各种平面几何图形面积的地亩 面积算法及分数的运算法则。
平面图
形有方田——长方形田地、
圭田——三角形田地、
斜田——直角梯形田地、
箕田
——等腰梯形田地、
圆田——圆形田地、
弧田——弓形田地、
环田——圆环或环
缺形田地的面积算法。
分数运算法则包括约分 术——约分与通分、
合分术——分
数加法、
减分术——分数减法、
课分术—— 两个分数的大小比较、
平分术——求
几个分数的算数平均、

乘分术——分数乘法、经分术——分数除法、大广田术
——
带分数除法。

2.
第二章“粟米”

该章主要论述了
20
种粮食及其成 品如稻、米、麦、面等之间的兑换比率及四
项比例算法。四项比例算法当时称为“今有术”
，其 计算方法是：所求数
=
（所有
数×所求率）
/
所有率，这里，所求率 、所有率、所有数与所求数是比例算法的
四个专用名词。例：已知麦与米的比率是
3:2
，现有麦
60
斤，问能兑换大米多
少斤？


所有率是 麦子的比率
3
，所求率是大米的比率
2
，所有数是是已有麦子的斤
数 ，


所求数就是欲求的大米斤数，


所以

能兑换大米的斤数
=
（
60
×
2
）÷
3= 40
（斤）


3.
第三章“衰分”


主要论述分配比例算法，其中问题多与商业、手工业及社会制度有关。

例：
“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士五人，共借得五鹿，欲以爵次分
之，问个几何？”


大夫、不更、簪褭、上造、公士是五种官爵，其分配原则是“位高者
多得， 位卑者少得”
，故按大夫
5
、不更
4
、簪褭
3
、上 造
2
、公士
1
的比率分配


所以

大夫得
5
÷（
1+2+3+4+5
）×
5=
5 (
头
)
不更得
4
÷（
1+2+3+4+5
）×
5=
(
头
)
3
簪褭得
3
÷（
1+2+3+4+5）×
5=1(
头
)
上造得
5
÷（
1+2+3 +4+5
）×
5=
2
(
头
)
公士得
5
÷（
1+2+3+4+5
）×
5=
(
头
)

3
3
1
3
4
4.
第四章“少广”


主要成就包括
开平方、开立方的算法。用来求
已知面积、
体积，反求
其一

边和径长等
。

5.
第五章“商功”

主要论述各种立体图形的体积算法，
其中包括柱、
锥、
台、
球体等内容涉及
筑城、修堤、开渠粮垛等施工方面的计算问题。

6.
第六章“均输”

主要论述较为复杂的配方比例问题，其中最引人注目的 是“均输数”
。主要
解决按人口多少、
路途远近、
谷物贵贱等条件，
平均缴纳赋税或摊派徭役等实际
问题，这很类似于条件极值问题。

7.
第七章“盈不足”

主要论述盈亏问题的解法。

盈不 足的典型问题是：若干人共买一物，若每人出
b
2
钱，则多出
b
1< br>钱；若
每人出
a
2
（
a
1
<
a2
）钱，则又不足
b
2
钱，求人数与物价，
《九章算术》给出的
方法相当于公式：人数
=
（
b
1
+
b
2< br>）
/(
a
1
-
a
2
)

物价
=
（
a
1
b
2
+
a
2b
1
）
/(
a
1
-
a
2
)
8.
第八章“方程”

这一方法除了对于线性问题给出精确的解外，
也为非线性问题提供了一个有
效的近似解法。

主要研究线性方程组的解法，
其基本思想是消元。
在解方程组时，
将方程组
的系数
（包括常数）
分 离出来排成一个数表，
相当于现在线性代数中的增广矩阵，
然后通过类似于矩阵初等变换的方法 消元。
这一思想方法在数学发展史上是非常
重要的，在西方被称为“高斯消去法”
。< br>
例：上等禾谷三捆，中等禾谷二捆，下等禾谷一捆，
，共出粮三十九斗；上
等 禾谷二捆，
中等禾谷三捆，
下等禾谷一捆，
，
共出粮三十四斗；
上等 禾谷一捆，
中等禾谷二捆，下等禾谷三捆，
，共出粮二十六斗。问上中下等禾谷每捆出粮各多少？


设上、中、下等禾谷每捆出粮分别为
x
、y
、
z
斗，则有


《九章算术》给出的表示方法相等于下列矩阵

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