圆锥曲线全部公式及概念
巡山小妖精
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2021年01月30日 17:49
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-
圆锥曲线
x
a
cos
x
2
y
2
c
b
2
1.
椭圆
2
2
1(
a
b
0)< br>的参数方程是
离心率
e
1
2
，
a
b
a
a
y
b
sin
< br>a
2
b
2
b
2
准线到中心的距离为
，焦点到 对应准线的距离（
焦准距
）
p
.
通径的一半
(
焦参数
)
：
.
c
c
a
x
2
y
2
2.
椭圆
2
2< br>
1(
a
b
0)
焦半径公式及两焦半径 与焦距构成三角形的面积
:
a
b
F
PF
a
2
a
2
PF
1
e
(< br>x
)
a
ex
，
PF
2
e
(
x
)
a
ex
；
S
F
1
PF
2
b2
tan
1
.
2
c
c
2
2
x
0
y
0
x
2
y
2
3.
椭圆的的 内外部
:
（
1
）点
P
(
x
0
,
y
0
)
在椭圆
2
2
1(
a
b
0)
的内部
2
2
1
.
a
b
a
b
2
2
x
0
y
0
x
2
y
2
（
2
）点
P
(
x
0
,
y
0
)在椭圆
2
2
1(
a
b
0)
的外部
2
2
1
.
a
b
a
b
x
2
y
2
a
2
c
b
2
4.
双曲线
2
2
1(
a
0,
b
0)
的离心率
e< br>
1
2
，准线到中心的距离为
，焦点到对应准线
a
b
c
a
a
b
2
b
2
的 距离（
焦准距
）
p
通径的一半
(
焦参数
)
：
c
a
a
2
a
2
焦半径公式
PF
1
|
e
(
x
)
|
|
a
ex
|
，
PF
2
|
e
(
x
)
|
|
a
ex
|
，< br>
c
c
F
1
PF
2
两焦半径与焦 距构成三角形的面积
S
F
1
PF
2
b
cot
.
2
2
2
x
0
y
0x
2
y
2
5.
双曲线的内外部
:
(1)
点
P
(
x
0
,
y
0
)在双曲线
2
2
1(
a
0,b
0)
的内部
2
2
1
.
a
b
a
b
2
2
x
0
y
0
x
2
y
2
(2)
点
P
(< br>x
0
,
y
0
)
在双曲线
2
2
1(
a
0,
b
0)
的 外部
2
2
1
.
a
b
a
b
6.
双曲线的方程与渐近线方程的关系
:
x
2
y
2
x
2
y
2
b
( 1
）若双曲线方程为
2
2
1
渐近线 方程：
2
2
0
y
x
.
a
a
b
a
b
x
y
x< br>2
y
2
b
(2)
若渐近线方程为
y
x
0
双曲线可设为
2
2
.
ab
a
a
b
x
2
y
2
x
2y
2
(3)
若双曲线与
2
2
1< br>有公共渐近线
,
可设为
2
2
a
b
a
b
（
0
,
焦 点在
x
轴上
;
0
,
焦点在
y
轴上）
.
(4)
焦点到渐近线的距离总是
b
7.
抛物线
y
2
px
的焦半径公式
:
2
抛物线
y
2
px
(
p
0)
焦半径
CF
x
0
2
p
p
p
.
过焦点弦长
CD
x
1
x
2
x
1
x2
p
.
2
2
2
y
2
8.
抛物线
y
2
px
上的动点可设为
P
(< br>
,
y
)
或
P
(2
pt
,2
pt
)
P
(
x
,
y
)
，其中
y
2
2
px
.
2
p
b
2
4
ac
b
2
2
(a
0
)
的
图
象
是
抛
物线
：
9.
二
次
函
数
y
ax
bx
c
a
(
x
)
（
1
）
顶
点
坐
标
为
2
a
4
a
b
4
ac
b
2
b
4
ac
b
2
1
4
ac< br>
b
2
1
(
,
)
；< br>,
)
；
（
2
）焦点的坐标为
(
（
3
）准线方程是
y
.
2
a
4
a
2
a
4
a
4
a
2
2
10.以抛物线上的点为圆心，焦半径为半径的圆必与准线相切；以抛物线焦点弦为直径的圆，必与准线相切；以抛物线的焦半径为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切
.
11.
直线与圆锥曲线相交的弦长公式
:
AB
(
x
1
x
2
)
2
(
y
1
y
2
)
2
或
AB
(1
k
2
)(
x
2
x
1
)
2
|
x
1
x
2
|
1
tan
2
|
y
1
y
2
|
1
co
t
2
（弦端点
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
)
，
由方程
y
kx
b
2
消去
y
得到
ax
bx
c
< br>0
，
0
,
为直线
AB
的
F
(
x
,
y
)
0
2
倾斜角，
k
为直线的斜率，
|
x
1
x
2
|
(
x
1
x
2
)
4
x
1
x
2
.
12.
圆锥曲线的两类对称问题
:
（
1
）曲线
F
(
x
,
y
)
0
关于点
P
(
x
0
,
y
0
)
成中心对称的曲线是
F
(2
x
0
-
x
,2
y
0
y
)
0
.
（
2
）曲线
F
(
x
,
y
)
0
关于直线
Ax
< br>By
C
0
成轴对称的曲线是
2
A
(
Ax
By
C
)
2
B< br>(
Ax
By
C
)
,
y
)
0
.
2
2
2
2
A
B
A
B
特别地，曲线
F
(
x
,
y
)
0
关于原点
O
成中心对称的曲线是F
(
x
,
y
)
0.
F
(
x
曲线
F
(
x
,
y
)
0
关于直线
x
轴对称的曲线是
F
(
x
,
y
)
0
.
曲线
F
(
x
,
y
)
0
关于直线
y
轴对称的曲线是
F
(
x
,
y
)
0
.
曲线
F
(
x
,
y
)
0
关于直线
y
x
轴对称的曲线是
F
(
y
,
x
)
0
.
曲线
F
(
x
,
y
)
0
关于直线
y
x
轴对 称的曲线是
F
(
y
,
x
)
0
.
13.
圆锥曲线的第二定义：动点
M
到定点
F
的距离与到定直线
l
的距离之比为常数
e
，若
0
e
1
，
M
的轨
迹为椭圆；若
e
1
，
M
的轨迹为抛物线；若
e
1
，
M
的轨迹为双曲线
.
注意：
1
、还记得圆锥曲线的两种定 义吗？解有关题是否会联想到这两个定义？
2
、还记得圆锥曲线方程中的：
c
a
2
（
1
）在椭圆中：
a
是长半轴，< br>b
是短半轴，
c
是半焦距，其中
b
a
< br>c
，
e
,(0
e
1)
是离心率，
a
c
b
2
b
2
是准心距，
是 准焦距，
是半通径
.
c
a
c
a
22
2
2
（
2
）在双曲线中：
a
是实半轴，b
是虚半轴，
c
是半焦距，其中
b
c
a
，
e
,(
e
1)
是离心率，< br>是
a
c
b
2
b
2
准心距，
是准焦距 ，
是半通径
.
c
a
（
3
）在抛物线中 ：
p
是准焦距，也是半通径
.
2
2
2
3
、在利用圆锥曲线统一定义解题时，你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序？（到定点的距离比到定
直线的距离）
4
、离心率的大小与曲线的形状有何关系（圆扁程度，张口大小）？ 等轴双曲线的离心率是多少？（
e
5
、在用圆锥曲线与直线联立求解时，消 元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式
限制
.
（求交点，弦长，中 点，斜率，对称，存在性问题都在
下进行）
.
2
）
的< br>注意：尤其在求双曲线与直线的交点时：当
0
时：直线与双曲线有 两个交点（包括直线与双曲线一支交于
两点和直线与双曲线两支各交于一点两种情况）；当
< br>
0
时，直线与双曲线有且只有一个交点（此时称指向
与双曲线相切），反之， 当直线与双曲线只有一个交点时，直线与双曲线不一定相切，此时直线与双曲线的一
条渐近线平行，当< br>
0
时，直线与双曲线没有交点
.
6
、椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形
.
此时
a
b
c
.
7
、通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦< br>.
（想一想在双曲线中的结论？）
8
、你知道椭圆、双曲线标准方程 中
a
,
b
,
c
之间关系的差异吗？
9< br>、如果直线与双曲线的渐近线平行时
,
直线与双曲线相交
,
只有一个交 点；如果直线与抛物线的轴平行时
,
直线与
抛物线相交
,
只有一个交 点
.
此时两个方程联立，消元后为方程变为一次方程
.
椭圆练习
x
2
y
2
1.
过椭圆
2
2
1
(a>b>0)
的左焦点
F
1
任做一条不与长轴重合的弦
AB,F
2
为椭圆的右焦点
,
则 △ABF
1
的周长是
a
b
2
2
2
（
）
(A)2a
(B)4a
(C)2b
(D)4b
2.
设
a
,
b
R
,
a
2
2
b
2
6
,
则
a
b
的最小值是（
）
(A)
2
2
(B)
5
3
3
(C)
－
3
(D)
7
2
3.
椭圆的两个焦点和短轴的两个 顶点
,
是一个含
60
0
角的菱形的四个顶点
,
则椭 圆的离心率为（
）
（
A
）
1
1
3
3
3
（
B
）
（
C
）
（
D
）
或
2
2
2
3
2
4.
设常数
m>0
，椭圆
x
2
+m
2y
2
=m
2
的长轴是短轴的两倍，则
m
的值等于（
）
（
A
）
2
（
B
）
2
（
C
）
2
或
1
2
（
D
）
2
或
2
2
x
2
y
2
P
，
F
2
为右焦点，若
F
1
PF
2
60
，则5.
过椭圆
2
2
1
(
a
b
0
)
的左焦点
F
1
作
x< br>轴的垂线交椭圆于点
a
b
椭圆的离心率为
(
)
(A)
1
1
2
3
(B)
(C)
(D)
2
3
2
3
6.
如果椭 圆的两个焦点将长轴分成三等份，那么这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的（
）
（
A
）
18
倍
（
B
）
12
倍
（
C
）
9
倍
（
D
）
4
倍
7.
当关于
x,y
的方程
x
2
sin
－
y
2
co s
=1
表示的曲线为椭圆时
,
方程
(x+cos
)
2
+(y+ sin
)
2
=1
所表示的圆的圆心
在（
）
（
A
）第一象限
（
B
）第二象限
（
C
）第三象限
（
D
）第四象限
8.
已知椭圆的焦点为
F
1
,F
2
,P
是椭圆上的一个动点
,
如果延长
F
1
P
到
Q,
使得
|PQ|=|PF
2
|,
那么动点
Q
的轨迹是
（
）
（
A
）圆
（
B
）椭圆
（
C
）直线
（
D
）其它
x
2
y
2
9.
已知椭圆
1
与圆
(x-a)
2
+y
2
=9
有公共点
,
则
a
的取值范围是
(
)
9
4
(A)-6
(B)0
(C)a
2
<25
(D)|a|≤6
10.
设椭圆的两个焦点分别为
F< br>1
、
、
F
2
，过
F
2
作椭圆长轴的 垂线交椭圆于点
P
，若△F
1
PF
2
为等腰直角三角形，则
椭圆的离心率是（
）
（
A
）
2
2
1
（
B
）
（
C
）
2
2
（
D
）
2
1
2
2
x
2
y
2
11.
在椭圆
2
2< br>
1
上取三点，其横坐标满足
x
1
+x
3
= 2x
2
,
三点依次与某一焦点连结的线段长为
r
1
,r2
,r
3
,
则有
a
b
1
1
2
（
）
（
A
）
r
1
,r
2
,r
3
成等差数列
（
B
）
（
C
）
r
1
,r
2
,r
3
成等比数列
（
C
）以上都不对
r
1
r
3
r
2
x
22
y
1
的右焦点为
F
,
右准线为
l
，点
A
l
，线段
AF
交
C< br>于点
B
，若
FA
3
FB
,
则12.
已知椭圆
C
:
2
|
AF
|
=(
)
(A)
2
(B) 2
(C)
3
(D) 3
13.
已知
F
1
、
F
2
是椭圆的两个焦点，
满足
MF
1
MF
2
0
的点
M
总在椭圆 内部，
则椭圆离心率的取值范围是
（
）
(A)
(0,1)
(B)
(0,
1
]
(C)
(0,
2
)
(D)
[
2
,1)
2
2
2
|< br>F
1
F
2
|
、
|
PF
2
|
成等差数列，则
14.
一个椭圆中心在原点
,
焦点
F
1
、
F
2
在
x
轴上
,
P
（2
，
3
）是椭圆上一点
,
且
|
PF
1
|
、
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
椭圆方程为< br>(
)
（
A
）
1
（
B
）
1
（
C
）
1
（
D
）
1
8
6
1 6
6
8
4
16
4
1
x
2
y
2
15.
若椭圆
1
的离心率是
,
则
a
的值为
————————
.
2
a
8
9
16.
椭圆
x
2
cos
2
α+y
2
=1(0<α<
,α≠
=
——————
.
)
的半长轴
=
——————
，半短轴
=
———— ——
，半焦距
=
——————
，离心率
2
x
2y
2
P
使
17.
已
知
椭
圆
2
2
1(
a
b
0)
的
左
、
右
焦
点
分
别
为
F
1
(
c
,0),
F
2
(
c
, 0)
，
若
椭
圆
上
存
在
一
点
a
b
a
c
，则该椭圆的离心率的取值范围为
．
sin
PF
1
F
2
sin
P F
2
F
1
x
2
y
2
18.M
是椭 圆
1
上的一点
,F
1
,F
2
是椭圆的焦点
,
且∠F
1
MF
2
=90
0
,
则△F
1
MF
2
的面积等于
——————
.
9
4
19.
与圆
(x+1)
2
+y
2=1
相外切
,
且与圆
(x
－
1)
2
+ y
2
=9
相内切的动圆圆心的轨迹方程是
——————
x
4
cos
20.
设椭 圆
(
α
为参数
)
上一点
P
与
x
轴正向所成角∠
POx=
,
则点
P
的坐标是
__.
3
y
2
3
sin
2
2
y
2
x
21.
在平面直角坐标系
xOy中，
椭圆
2
2
1(
a
b
0)
的焦距为
2
c
，
以
O
为 圆心，
若过
P
(
a
，
a
为半径作圆
M，
0)
c
a
b
作圆
M
的两条切线相互垂直，则 椭圆的离心率为