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2021年1月30日发(作者：木棉花的春天)
三角形的定义

三角形是多边形中边数最少的一种。
它的定义是：
由 不在同一条直线上的三条线段首尾顺次
相接组成的图形叫做三角形。

三条线段不在同 一条直线上的条件，
如果三条线段在同一条直线上，
我们认为三角形就不存
在。
另外三条线段必须首尾顺次相接，
这说明三角形这个图形一定是封闭的。
三角形中有三
条边，三个角，三个顶点。


三角形中的主要线段

三角形中的主要线段有：三角形的角平分线、中线和高线。

这三条线段必须在理解和 掌握它的定义的基础上，
通过作图加以熟练掌握。
并且对这三条线
段必须明确三点：< br>
（
1
）三角形的角平分线、中线、高线均是线段，不是直线，也不是射线。

（
2
）三角形的角平分线、中线、高线都有三条，角平分线、中线，都在三角形内部。 而三
角形的高线在当△
ABC
是锐角三角形时，三条高都是在三角形内部，钝角三角形 的高线中
有两个垂足落在边的延长线上，
这两条高在三角形的外部，
直角三角形中有两 条高恰好是它
的两条直角边。

（
3
）在画三角形的三条角平分线、 中线、高时可发现它们都交于一点。在以后我们可以给
出具体证明。
今后我们把三角形三条角平 分线的交点叫做三角形的内心，
三条中线的交点叫
做三角形的重心，三条高的交点叫做三角形的 垂心。

三角形的按边分类

三角形的三条边，有的各不相等，有的有两条边相等，有的三条边都相等。所以三角形按

的相等关系分类如下：

等边三角形是等腰三角形的一种特例。

判定三条边能否构成三角形的依据

△

ABC
的三边长分 别是
a
、
b
、
c
，根据公理
“
连接两点的 所有线中，线段最短
”
。可知：

△

③
a+b< br>＞
c
，①
a+c
＞
b
，②
b+c
＞
a
△

定理：三角形任意两边的和大于第三边。

△

由②、③得

b―a
＜
c
，且
b―a
＞
―c

△

故
|a―b|
＜
c
，同理可得
|b― c|
＜
a
，
|a―c|
＜
b
。

从而得到推论：

三角形任意两边的差小于第三边。


上 述定理和推论实际上是一个问题的两种叙述方法，
定理包含了推论，
推论也可以代替定理。另外，定理和推论是判定三条线段能否构成三角形的依据。如：三条线段的长分别是
5
、< br>4
、
3
便能构成三角形，而三条线段的长度分别是
5
、
3
、
1
，就不能构成三角形。

判定三条边能否构成三角形

对于某一条边来说，如一边
a
，只要满 足
|b-c|
＜
a
＜
b+c
，则可构成三角形。这是因为< br>|b-c|
＜
a
，
即
b-c
＜
a
， 且
b-c
＞
-a.
也就是
a+c
＞
b
且< br>a+b
＞
c
，再加上
b+c
＞
a
，便满足任 意两边之和大于
第三边的条件。反过来，只要
a
、
b
、
c< br>三条线段满足能构成三角形的条件，则一定有
|b-c|
＜
a
＜
b+c
。


在特殊情况下，如果已知线段
a
最大，只要 满足
b+c>a
就可判定
a
、
b
、
c
三条 线段能够构成
三角形。同时如果已知线段
a
最小，只要满足
|b-c|
＜
a
，就能判定三条线段
a
、
b
、
c
构 成三角
形。


证明三角形的内角和定理

除了课本上给出的证明方法外还有多种证法，这里再介绍两种证法的思路：

方法
1

如图，过顶点
A
作
DE
‖
BC
，

运用平行线的性质，可得∠
B
＝∠
2
，

∠
C
＝∠
1
，从而证得三角形的内角

和等于平角∠
DAE
。

方法
2

如图，在△
ABC
的边
BC
上任取

一点
D
，过
D
作
DE
‖
AB
，
DF
‖
AC
，

分别交
AC
、
AB
于
E
、
F
，再运用平行

线的性质可证得△
ABC
的内角和等于

平角∠
BDC
。

三角形按角分类

根据三角形的 内角和定理可知，三角形的任一个内角都小于
180°
，其内角可能都是锐角，
也可能 有一个直角或一个钝角。

三角形按角可分类如下：

根据三角形的内角和定理可有如下推论：

推论
1
直角三角形的两个锐角互余。

推论
2
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

推论
3
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

同时我们还很容易得到如下几条结论：

（
1
）一个三角形最多有一个直角或钝角。

（
2
）一个三角形至少有两个内角是锐角。

（
3
）一个三角形至少有一个角等于或小于
60°
（否则，若三个内角都大于
60°
；则这个三角
形的内角和大于
180°
，这与定理矛盾）
。

(4)
三角形有六个外角，其中两两是对顶角相等，所以三角形的三个外角和等于
3 60°
。

全等三角形的性质

全等三角形的两个基本性质

（
1
）全等三角形的对应边相等。

（
2
）全等三角形的对应角相等。

确定两个全等三角形的对应边和对应角

怎样根据已知条件准确迅速地找出两个全等三 角形的对应边和对应角？其方法主要可归结
为：

（
1
）若两个角相等，这两个角就是对应角，对应角的对边是对应边。

（
2
）若两条边相等，这两条边就是对应边，对应边的对角是对应角。

（
3
）两个对应角所夹的边是对应边。

（
4
）两个对应边所夹的角是对应角。

由全等三角形的定义判定三角形全等

由全等三角形的定义知，
要判定两个三 角形全等，
需要知道三条边，
三个角对应相等，
但在
应用中，
利用定 义判定两个三角形全等却是十分麻烦的，
因而需要找到能完全确定一个三角
形的条件，以便用较 少的条件，简便的方法来判定两个三角形的全等。

判定两个三角形全等的边、角、边公理

内容：有两边和它们的夹角对应相等的两个三 角形全等（即
SAS
）
。

这个判定方法是以公理形式给出的，我们 可以通过实践操作去验证它，但验证不等于证明，
这点要区分开来。

公理中的题设条 件是三个元素：边、角、边，意指两条边和这两条边所夹的角对应相等。不
能理解成两边和其中一个角相 等。否则，这两个三角形就不一定全等。

例如

在△
ABC
和△
A′B′C′
中，

如右图，AB=A′B′
，∠
A=
∠
A′
，

BC=A′C′
，但是△
ABC
不全等于

△
A′B′C′
。

又如，
右图，
在△
A BC
和△
A′B′C′
中，
AB
＝
A′B′
，∠
B=
∠
B′
，
AC
＝
A′C′
，< br>但△
ABC
和△
A′B′C′
不全等。

原因就在于两边和一角对应相等不是

公理中所要求的两边和这两条边的夹

角对应相等的条件。

说明：从以上两例可以看出，
SAS≠SSA
。

判定两个三角形全等的第二个公理

内容：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形 全等（即
ASA
）
。

这个公理也应该通过画图和实验去进一步理解它。

公理强调了两角和这两角的夹边对 应相等，
这里实质上包含了一个顺序关系。
千万不能理解
成为在其中一个三角形中是两 角和其夹边，而在另一个三角形中却是两角和其中一角的对
边。

如右图，在△
ABC
和△
A′B′C′
中，

∠< br>A=
∠
A′
，∠
B=
∠
B′
，
AB
＝
A′C′
，

但这两个三角形显然不全等。原因就是

没有注意公理中
“
对应
”
二字。

公理一中的边、 角、边，其顺序是不能改变的，即
SAS
不能改为
SSA
或
ASS< br>。而
ASA
公理却能改变其顺序，可改变为
AAS
或
SAA
，但两个三角形之间的
“
对应
”
二字不能变。同
时这个公理 反映出有两个角对应相等，
实质上是在两个三角形中有三个角对应相等，
故在应
用过程 中只须注意有一条对应边相等就行了。

由公理二可知，有一个锐角与一条边对应相等的两个直角三角形全等

判定两个三角形全等的边、边、边公理

公理：三条边对应相等的两个三角形全等（即边、边、边公理）
。

边、边、边公理在判定两个三角形全等时，其对应边就是相等的两条边。

这个公理告 诉我们，
只要一个三角形的三边长度确定了，
则这个三角形的形状就完全确定了。
这就 是三角形的稳定性。

判定两个三角形全等

通过以上三个公理的学习，可以知道，
在判定两个三角形全等时，
无需根据定义去判定两个
三角形的三角和三 边对应相等，而只需要其中三对条件。

三个角和三条边这六个条件中任取三个条件进行组合。无非有如下情况：

（
1
）三边对应相等。

（
2
）两边和一角对应相等。

（
3
）一边和两角对应相等。

（
4
）三角对应相等。

HL
公理

我们知道，满足边、边、角对应相等的两个三角形不一定全等。

但是，对于两个直角三角形来说，这个结论却一定成立。

斜边、直角边公理：有斜边 和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写为
HL
）
。

这 个公理的题设实质上也是三个元素对应相等，
其本身包含了一个直角相等。
这种边、

边、
角对应相等的两个三角形全等成立的核心是有一个角是直角的条件。
由于直角三角 形是一种
特殊的三角形，所以过去学过的四种判定方法对于直角三角形照常适用。

角平分线的性质定理和逆定理

性质定理：在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

点在角平分线上点到这个角的两边距离相等。

用符号语言表示角平分线的性质定理和逆定理

性质定理：


∵
P
在∠
AOB
的平分线上

PD
⊥
OA
，
PE
⊥
OB
∴
PD
＝
PE
逆定理：

∵
PD
＝
PE
，
PD
⊥
OA
，
PE
⊥
OB

∴点
P
在∠
AOB
的平分线上。


角平分线定义

如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线。

角的平分线是到角两边距离相等的所有点的集合。

三角形角平分线性质


三角形三条平分线交于一点，并且交点到三边距离相等。

互逆命题

在两个命题中，
如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个
命题的题设，
那么这两个命题叫做互逆命题，
如果把 其中一个叫做原命题，
那么另一个叫做
它的逆命题。

原命题和逆命题的真假性


每个命题都有逆命题，
但原命题是真命 题，
而它的逆命题不一定是真命题，
原命题和逆命题
的真假性一般有四种情况：真、假 ；真、真；假、假；假、真。

互逆定理

如果一个定理的逆命题经过证明是 真命题，
那么它也是一个定理，
这两个定理叫做互逆定理，
其中一个叫做另一个的逆定 理。

每个命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理

尺规作图

限定用直尺（没有刻度）和圆规的作图方法叫尺规作图。

基本作图

最基本最常见的尺规作图称之为基本作图，主要有以下几种：

（
1
）作一个角等于已知角；

（
2
）平分已知角；

（
3
）过一点作已知直线的垂线；

（
4
）作已知线段的垂直平分线；

（
5
）过直线外一点作已知直线的平行线。

有关概念

有两边相等的三角形称为等腰三角形。

三边都相等的三角形称为等边三角形，又称为正三角形。

有一个直角的等腰三角形称为等腰直角三角形。

等边三角形和等腰直角三角形都是等腰三角形的特例。

等腰三角形的有关概念

等腰三角形中，
相等的两边称为腰，
另一边 称为底边，
两腰的夹角称为顶角，
底边上的两个

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