三角形中的三角函数问题
玛丽莲梦兔
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2021年01月30日 18:23
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三角形中的三角函数问题
一、引言
（一）本节的地位：运用正弦定理、余弦定理解三角形是高考的考查内容， 高考考纲中就明确提出要
加强对正、余弦定理的考查．
（二）考纲要求：通过本节的 学习掌握正弦定理、余弦定理；并能够应用正弦定理、余弦定理解决问
题；同时在运用两个定理解决一些 实际问题的过程中，要学会用数学的思维方式去解决问题，增强应用意
识；注意数形结合和代数思想方法 的运用，不断提高分析问题和解决问题的能力．
（三）考情分析：应用正弦定理、余弦定理解 三角形、求值、求参数范围、恒等变形与其它知识交汇
等．对数形结合、函数与方程思想、分类与整合思 想、转化与化归等重要思想重点考查．
二、考点梳理
1
．正弦定 理
:
在
ABC
中，
a
,
b
,< br>c
分别为角
A
,
B
,
C
的对边，
R
为
ABC
的外接圆的半径，则有
a
b
c
2
R
．
sin
A
sin
B
sin
C
变形应用
:
a
:
b
:
c
sin
A
:sin
B
:sin
C；
a
2
R
sin
A
，
b
2
R
sin
B
，
c
2
R
sin
C
．
2
．余弦定理：在
ABC
中，有
a
b
c
2
bc
c os
A
，
2
2
2
b
2
a
2
c
2
2
ac
cos
B
；
c
2
a
2
b
2
2
ab
cos
C
．
b
2
c
2
a
2
b
2
a
2
c
2
a
2
c
2
b2
变形应用
:
如
cos
A
，
cos
C
．
cos
B
2
ba2
bc
2
ac
3
．三角形的有关公式：
< br>（
1
）射影公式如：
a
b
cos
C
c
cos
B
．
（
2
）三角形面积公 式：
S
1
1
1
1
ah
a
ab
sin
C
ac
sin
B
< br>cb
sin
A
．
2
2
2
2
A
B
C
cos
等．
2
2
4
．熟练掌握下列知识对解三角形有帮助：
（
1
）
sin(
A
B
)
sin
C
；
cos(
A
B
)
c os
C
；
sin
（
2
）三角形中，任意两边之和大于第三边 ，任意两边之差小于第三边；等角对等边，大边对大角，
大角对大边．
（
3
）在
ABC
中，
a
,
b
,
c< br>分别为角
A
,
B
,
C
的对边，若
a
b
c
，则
C
90
；
若
a
b
c
，则
C
< br>90
；若
a
b
c
，则
C
90
．
三、典型问题选讲
例
1
．
（
1
）在
ABC
中，
si n
A
:
sin
B
:
sin
C
2
:
6
:
(
3
1)
，则角
A度数是
。
（
2
）在△ABC
中，
A
，
B
，
C
所对边长分别为
a
、
b
、
c
，且
A
值是
。
（
3
）在锐角三角形
ABC
中，若
B =2A
，则
2
2
2
2
2
2
2
2< br>2
3
，
b
c
=
3
a< br>，则
sin(
B
6
)
的
b的取值范围是
_________________
。
a
（< br>4
）
△
ABC
中，
角
A,B,C
的对边分别 为
a,b,c,
△
ABC
的外接圆半径为
3
,
且满 足
1
cos
C
2
sin
A
sin
C
,
cos
B
sin
B
则
B+b=_______
。
（
5
）已知圆内接四边形
A BCD
的边长分别为
AB=2
，
BC=6
，
CD=DA=4
，则四边形
ABCD
的面积为
。
. < br>a
2
b
2
sin(
A
B
)
例
2.
在
ABC
中，角
A
,B
,
C
所对的三边分别为
a
,
b
,
c
．求证：
．
2
c
sin
C
例
3.
在
ABC中，已知
AB
例
4.
已知
△
ABC
的周长为
2
1
，且
sin
A
sin
B
面积为
sinC
，求角
C
的度数．
例
5.
在
△
ABC中，
tan
A
求最小边的边长．
2
4
6
6
，
cos
B=
，
AC
边上的中线
BD
=
5
，求
s in
A
的值．
3
6
2
sin
C
．
（
1
）求边
AB
的长；
（
2
）若
△
ABC
的
1
6
1
3
，
tan
B
．
（
1
）求角
C
的大小；
（
2
）若
△
ABC
最大边的边长为
17
，
4
5