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2021年1月30日发(作者：父女乱小芳第三十三章)
授课教案
（

12
月第


4
次
课
）
















































从心而悟


由学而通



学员姓名：

王尊












授课教师：



杨江超












所授科目：数学

学员年级：九年级








上课时间：



2013
年
12月
30
日
15
：
00
至
21
：
00
共
4
小时

教学标题

教学目标

上次作业完成情况

三角形



授课内容：


三角形的基本概念

三角形的概念
：

如图，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的 图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三
角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边 所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的
角．


三角形的主要线段：

三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和 交点之间的线段叫做三角形的角平分
线．这里我们要注意两点：一是一个三角形有三条角平分线，并且相 交于三角形内部一点；二是三角形的角
平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线．

在三角形中，连结一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．这里我们要注意两点：一是一个
三角形有三条中线，并且相交于三角形内部一点；二是三角形的中线是一条线段．

从三角形一 个顶点向它对边画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线
(
简称三角形的高
)
．这里
我们要注意三角形的高是线段，而垂线是直线．

三角形的稳定性：


三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做 三角形的稳定性．三角形的这个性质在生产和生活中应
用很广，需要稳定的东西都制成三角形的形状．< br>

10.2.

三角形的特性与表示
三角形有下面三个特性：

①三角形有三条线段；

②三条线段不在同一条直线上；

③首尾顺次连接．

以上三点表明三角形是封闭图形，如图就不是三角形．

“三角形”

用符号“

”

表示，顶点是
A
,
B
,
C
的三角形记作“

ABC
”

，读作“三角形
ABC
”

．

10.3.

三角形的分类及角边关系





10.3.1.

三角形的分类
三角形按边的关系可以如下分类：


不等边三角形

三角形

角形

底和腰不相等的等腰三
等腰三角形



等边三角形

三角形按角的关系可以如下分类：


直角三角形
(
有一个 角为直角的三角
形
)

三角形


锐角三角形(
三个角都是锐角的三角
形
)

斜三角形



钝角三角形
(
有一个角为钝角的三角
形
)














































1





























从心而悟


由学而通

把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形．它是 两条直角边相等的直角三角
形．

注意：
一
个三角形中，最多有三个 锐角，最少有两个锐角；最多有一个钝角；最多有一个直角．



10.3.2.

三角形的三边关系定理及推论
三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．

推论：三角形两边之差小于第三边．

三角形三边关系定理及推论的作用：

①判断三条已知线段能否组成三角形．

②当已知两边时，可确定第三边的范围．

③证明线段不等关系．



10.3.3.

三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定 理：三角形三个内角和等于
180
．

推论：

①直角三角形的两个锐角互余．

②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．

注意：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角．



10.3.4.

三角形的面积
三角形的面积＝
















































从心而悟


由学而通



1
×底×高．

2

10.4.

全等三角形





10.4.1.

全等三角形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形．
能够完
全重合的两个 三角形叫做全等三角形．两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫
做对应边， 互相重合的角叫做对应角．夹边就是三角形中相邻两角的公共边．夹角就是三角形中有公共端点
的两边所 成的角．



10.4.2.

全等三角形的表示和性 质
下图中的两个三角形能够完全重合，
就是全等三角形，
“全等”
用符号“≌ ”来表示，读作“全等于”

．下图中的

ABC
和
A

B

C

全等，记作“

ABC
≌

A

B

C

”

．

注意
:
记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．

因为能够重合的两条线段是相等的线段，
能够重合的两个角是相等的角，
所以全等三角 形的对应边相等，
对应角相等．这是全等三角形的性质．




10.4.3.

三角形全等的判定

三角形全等的判定公理：

三角形全等的判定公理有下面几个：

( 1)
边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
(
可以简写成“边角 边”或“
SAS
”
)
．

(2)
角边角公理：< br>有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
(
可以简写成
“角边角”
或
“
ASA
”
)
．
这
个公理还有下面的推论： 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
(
可以简写成“角角边”或
“AAS
”
)
．

(3)
边边边公理：有三边对应相等 的两个三角形全等．
(
可以简写成“边边边”或“
SSS
”
)
．


























































2





























从心而悟


由学而通




三角形全等判定公理的选择：


如何选择哪种判定公理必须根据已知条件而定，详细内容见下表：

已知条件

可选择的判定公理

一边一角对应相等

SAS



AAS



ASA















































从心而悟


由学而通



两角对应相等

ASA



AAS
两边对应相等

SAS



SSS

直角三角形全等的判定：

对于特殊的直角三 角形，判断它全等时，还有
HL
公理即斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相
等的两个直角三角形全等
(
可以简写为“斜边、直角边”或“
HL
”
)
．

注意：

①
HL
公理是直角三角形独有的， 它对一般三角形不成立；而一般三角形的全等判定公理同样适用于直角
三角形．

②有 两边和其中一边的对角
(
直角或钝角
)
对应相等，则这两个三角形全等．


10.4.4.

全等变换
只改变图形的位置 ，
而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换．
全等变换
包括以下三种：

①平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换．如图
1
，把

ABC
沿直线
BC
移动到

A

B

C

和

A


B


C


位置就是平移变换．

②对称变换：
将 图形沿某直线翻折
180
，
这种变换叫做对称变换．
如图
2
，
将

ABC
翻折
180
到

ABD位置的变换就是对称变换．

③旋转变换：
将图形绕某点旋转一定的角度到另一个 位置，
这种变换叫做旋转变换．
如图
3
，
将

AB C
绕
过
A
点旋转
180
到

ADE
的位置，就是旋转变换．

这里我们应该知道，无论是平移变换，对称变换还是旋转变换，变 换前后的两个图形全等，具有全等的
所有性质．







图
1






















图
2














图
3

10.5.

等腰三角形










10.5.1.

等腰三角形的性质



等腰三角形的性质定理及推论：

定理：
等腰三角形的两个底角相 等
(
简称：
等边对等角
)
．
即：
在
ABC
中，
若
AB

AC
，
则
B


C
．















































3





























从心而悟


由学而通

推论
1
：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边．即等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、< br>底边上的高互相重合．

推论
2
：等边三角形的各个角都相等，并且每 个角都等于
60
．


等腰三角形的其它性质：

1
、

等腰三角形的三线合一性：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互

相重合．即只要知道其中一个量，就可以知道其它两个量．

2
、

等腰直角三角形的两个底角相等且等于
45
．

3
、

等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角
(
或直角
)
，但顶角可以为钝角
(
或直角
)
．


















































从心而悟


由学而通



b

a
．

2

5
、

等腰三角形的三角关系：设顶角为

A
，底角为

B
,

C
，则有：

A

180

2

B
，

4
、

等腰三角形的三边关 系：设腰长为
a
，底边长为
b
，则
180

A

B


C

．

2


1
0.5.2.

等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理及推论
：

定理：如果一个 三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
(
简写成：等角对等边
).这个判定
定理常用于证明同一个三角形中的边相等．

推论
1
：三个角都相等的三角形是等边三角形．

推论
2
：有一个角是
60
的等腰三角形是等边三角形．
< br>推论
3
：在直角三角形中，如果一个锐角等于
30
，那么它所对的直角 边等于斜边的一半．

注意：推论
1
，推论
2
常用于证明一 个三角形是等边三角形；推论
3
常证明线段的倍分．

证明一个三角形是等腰三角形的方法：

1
、利用定义证明，有两边相等的三角形是等腰三角形．

2
、等腰三角形的判定定理：等角对等边．


证明一个三角形是等边三角形的方法：

1
、利用定义证明：证明三条边相等．

2
、证明三角形三个角相等．

3
、证明它是等腰三角形并且已有一个角是
60
．


等腰三角形的性质与判定：


等腰三角形性质

1
、等腰三角形底边上的中线垂直底边，
中
平分顶角

线

2
、等腰三角形两腰上的中线相等，并且
它们的交点与底边两端点距离相等

1
、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边

角
2
、等腰三角 形两底角平分线相等，并且
平
它们的交点到底边两端点距离相等

分
线

1
、等腰三角形底边上的高平分顶角、平
高
分底边

线

2
、等腰三角形两腰上的高相等，并且它
们的交点和底边两端点距离相等

角

等边对等角

边

底的一半
<
腰长
<
周长的一半
















































4





























从心而悟


由学而通




等腰三角形判定

1
、两边上中线相等的三角形是等腰三角形

2
、如果一个三角形的 一边中线垂直这条边
(
平分这个边的对角
)
，
那么这个三角形是等< br>腰三角形

1
、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角
的对边
(
平分对边
)
那么这个三角形是等腰
三角形

2
、三角形中两个角的平分线相等，那么这
个三角形是等腰三角形

1
、如果一个三角形一边上的高平分这条边
(
平分这条边的对角
)
那 么这个三角形是等
腰三角形

2
、有两条高相等的三角形是等腰三角形

等角对等边

两边相等的三角形是等腰三角形


10.6.

直角三角形；





10.6.1.

直角三角形的性质
1
、直角三角形两锐角互余．


即：

C

90



A


B

90

．

2
、直角 三角形中，
30

角所对的直角边等于斜边的一半．


即：















































从心而悟


由学而通




A

30


1

BC

AB< br>．



C

90


2
3
、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．


即：
ACB

90


1

CD

AB

BD

AD
．


2
D
为
AB
中点

4
、勾股定理：直角三角形两直角 边
a
,
b
的平方和，等于斜边
c
的平方．

2
2
2
即：
a

b

c
．

注意：此定理揭示了直角三角形三边关系，蕴含了数形结合思想，是从图 形到数量的关系，常用来求线段
的长．

5
、
射影定理：
直 角三角形斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，
每条直角边是它在斜边
上的射影 和斜边的比例中项．


CD
2

AD

BD
，

ACB

90



2




即：




AC

AD

AB
，
CD

AB


2

BC

BD

AB
．< br>注意：

1
、
它是线段计算、
比例求等积式或证明中的常用定理；

2
、这个双垂直图形中还有：

①两对等角
(
除直角
)

A


BCD
，

B
< br>
ACD
；

②三个相似三角形即

ACD
∽

CBD
∽

ABC
；

③由面积公式 推导出来另一等积式：
AB

CD

AC

BC< br>．



10.6.2.

直角三角形的判定
1
、有一个角是直角的三角形是直角三角形．

2
、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

注意：它是“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”的逆定理．

3
、勾股定理逆定理：

如果三角形三边长
a
,
b
,
c
有下面关系：
a

b

c
， 那么这个三角形是直角三角形．

注意：它是利用三角形边长的数量关系判断三角形形状，体现了数形结合思想．



10.6.3.

锐角三角函数的概念
如图，在
ABC
中，

C

90

，我们把锐角
A
的

①对边与斜边的比叫做

A
的正弦，记作
sin
A
，





即：
si n
A

2
2
2

A
的对边
a
；

斜边
c
②邻边与斜边的比叫做

A的余弦，记作
cos
A
，


A
的邻边
b

；

即：
cos
A

斜边
c
③锐角
A
的对边与邻边的比叫做

A
的正切，记作
tan
A
，


A
的对边
a

；

即：
tan
A


A
的邻边
b
④锐角
A
的邻 边与对边之比叫做

A
的余切，记作
cot
A
，


A
的邻边
b

．

即：
cot
A


A
的对边
a

说明：

①当

A
固定时，

A
的正弦值，余弦值，正切值，余切值都是固定的，这与

A
的两边长短无关．















































5





























从心而悟


由学而通

②上面各式从整体看是一个等式，而右边是一个分式，因而具有等式、分式 的性质，当已知式中两个量
时，可求第三量．

锐角
A
的正弦、余弦 、正切、余切都叫做

A
的锐角三角函数．

说明：由于锐角三角函数都是线段的比值，因而都是正数，而且没有单位．



10.6.4.

特殊角度的三角函数值
特殊角度
(< br>0

,
30

,
45

,
60

,
90

)
的三角函数值：

三角函数
















































从心而悟


由学而通



0


0
1
0
－

30


1

2
3

2
3

3
3

45


2

2
2

2
1
1
60


3

2
1

2
3

90


1
0
－

0
sin


cos


tan


cot



3

3


10.6.5.

各锐角三角函数之间的关系式
各锐角三角函数之间的关系式：

(1)
互余关系：
sin
A

cos(
90


A
)
，
cos
A

sin

90


A

，

tan
A

co t(
90


A
)
，
cot
A

tan

90


A

．
(2)
平方关系：
sin
A

cos
A
1
．

(3)
倒数关系：
tan
A
cotA

1
,
tan
A
tan(
90
< br>
A
)

1
,
cot
A
cot(< br>90


A
)

1
．

( 4)
相除关系：
tan
A

2
2
sin
A
cos
A
．

,
cot
A

cos
A
sin
A


10.6.6.

锐角三角函数的增减性
当角度在
0< br>

90

之间变化时，

(1)
正弦值随 着角度的增大
(
或减小
)
而增大
(
或减小
)
；

(2)
余弦值随着角度的增大
(
或减小
)
而 减小
(
或增大
)
；

(3)
正切值随着角度的增大
(
或减小
)
而增大
(
或减小
)
；

(4)
余切值随着角度的增大
(
或减小
)
而减小
(
或增大
)
．



10.6.7.

解直角三角形
解直角三角形的概念：

在直角三角形中，除直角外，一共有< br>5
个元素，即
3
条边和
2
个锐角，由直角三角形中除直角外的 已知
元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．



解直角三角形的工具：

在
Rt

ABC
中，
C

90
，

A
，

B< br>，

C
所对边分别为
a
,
b
,
c< br>．

1
、三边之间的关系：
a

b

c
(
勾股定理
)
．

2
、锐角之间的关系：
A
+

B
=
90
．

< br>
2
2
2
sin
A

3
、
边角之间的关系：
cot
B

a
．

b
a
b
a
b
b
a
b
cos
A

，
tan
A

，
cot
A

，
sin
B

，
cos
B

，
tan
B

，
，
c
c
b
a
c
c
a
说明：

①利用这些关系，知道其中的
2
个元素
(至少有一个边
)
，就可以求出其余的
3
个未知元素．

②已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，不一定全等．因此其边的
大 小不确定．
















































6





























从心而悟


由学而通

直角三角形解法：

直角三角形解法按除直角外已知
2
个元素的不同情况可大致分为四种类型：

1
、已知一条直角边和一个锐角
(
如
a
，

A
)
其解法为：
















































从心而悟


由学而通




B

90



A
,
c

a
,
b

a

cot
A
(< br>或
b

c
2

a
2
)
；< br>
sin
A
2
、已知斜边和一个锐角
(
如
c
，

A
)
其解法为：


B
< br>90



A
,
a

c

sin
A
,
b

c

cos
A< br>(
或
b

c
2

a
2
)< br>；

3
、已知两直角边
(
如
a
，
b
)
，其解法为：

a
c

a
2

b
2
,
由
tan
A

得

A
,

B

90



A；

b
4
、已知斜边和一直角边
(
如
c
，
a
)
，其解法为：

a
b

c
2

a
2
,
由
sin
A

得< br>
A
,

B

90



A
．

c


10.6.8.

解直角三角形的应用
仰角、俯角：

如图
1
，在我们进行测 量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方
的叫做俯角．

图
1

坡度、坡角：

如图
2
，我们通 常把坡面的铅直高度
h
和水平宽度
l
的比叫做坡度
(
或坡比
)
，用字母
i
表示，即
i

坡面与水平面的夹角叫 坡角．

坡度与坡角
(
若用

表示
)
的关 系：
i

tan

．坡角越大，坡度也越大，坡面越陡．


h
．

l

图
2
图
3


方向角：

如图
3
， 平面上，过观测点
O
作一条水平线
(
向右为东向
)
和一条铅 垂线
(
向上为北向
)
，则从
O
点出发的
视线与水平 线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．

例如，图中“北偏东
30
”是一 个方向角，又如“西北”即指正西方向与正北方向















































7





























从心而悟


由学而通

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